2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套阶段质

阶段质量检测(四) 定积分
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知∫b a f (x )d x ＝m ，则∫b
a nf (x )d x ＝( )
A ．m ＋n
B ．m －n
C ．mn
D ．m n
2.∫10(e x ＋2x )d x 等于( )
A ．1
B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1
3．若∫k 0(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．不确定
4．(江西高考)若f (x )＝x 2
＋2⎠⎛01
f (x )d x ，则⎠⎛01
f (x )d x ＝( ) A ．－1 B ．－1
3
C.13
D ．1
5．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06
f (x )d x ＝8，则⎠
⎛6－6
f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16
6.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
7．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.5
3 B.32
3 C.643
D ．9
8．由曲线y ＝x ，x ＝4和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为( ) A ．16π B ．32π C ．8π
D ．4π 9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A ．gt 20
B.gt 20
3 C.gt 20
2
D.gt 206
10.如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是
( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．3
答 题 栏
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11. ⎠⎜⎛0
π
3 cos x d x ＝________.
12．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 13．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________cm 3.
14．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝2所围成的平面图形的面积．
16.(本小题满分12分)如图，求由曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积．
17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)，直线l 1，l 2与函数f (x )的图像围成的封闭图形，以及直线l 2，y 轴与函数f (x )的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t 变化时，阴影部分的面积的最小值．
18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝13x 3＋1
2ax 2＋bx ，f ′(x )是函数f (x )的导数．在区间
[－1,1]内任取实数a ，b ，求方程f ′(x )＝0有实数根的概率．
答 案
1．选C 根据定积分的性质，∫b
a nf (x )d x ＝n ∫
b a f (x )d x ＝mn . 2．选C
∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)
⎪⎪⎪
1
＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C.
3．选B
∫k 0(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)
⎪⎪⎪
k
＝k 2－k 3＝0，
∴k ＝0(舍去)或k ＝1，故选B. 4．选B ∵f (x )＝x 2
＋2⎠⎛01
f (x )d x ，
∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛
01
f (x )d x . ∴⎠⎛01
f (x )d x ＝－1
3.
5．选D ∵f (x )为偶函数，∴其图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛－66
f (x )d x ＝2⎠⎛
06
f (x )d x ＝16. 6．选B 根据题意得S 阴影＝∫103x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪
1
＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴影S 长方形＝13×1＝13
. 7．选B 解⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x 2
，
y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．
则y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积
S ＝∫1－3(－x 2)d x －∫1
－3(2x －3)d x
＝－13x 3| 1－3－(x 2－3x ) |1－3＝323
. 8．选C 由图知旋转体的体积为π∫40(x )2d x ＝π2
x 2 |4
＝8π.
9．选C s ＝⎠⎛0
t
0v (t )d t ＝12gt 2⎪⎪⎪
t 00
＝12gt 20. 10．选B 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝3－x 2
，
y ＝x 2
－2x －1， 解得交点(－1,2)，(2，－1)，
所以S ＝∫2－1[(3－x 2)－(x 2
－2x －1)]d x ＝∫2－1(－2x 2＋2x ＋4)d x
＝⎝⎛⎭⎫－23x 3＋x 2＋4x ⎪⎪⎪
2
－1＝9.
11．解析：⎠⎜⎛0
π3cos x d x ＝sin x |30π
＝32.
答案：
3
2
12．解析：∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 则x 0＝3
3. 答案：
33
13．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝∫604(6t －t 2)d t ＝4∫6
0(6t
－t 2
)d t ＝4⎝
⎛⎭⎫3t 2
－13t 3⎪⎪⎪
6
0＝144(cm 3
)． 答案：144
14．解析：由题意可得
f (x )＝⎩⎨⎧
10x ，0≤x ≤12
，
10－10x ，1
2
<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝
⎩⎨⎧
10x 2，0≤x ≤12
，
10x －10x 2
，12
<x ≤1.
与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛012∫12
010x 2d x ＋⎠⎜⎛121 (10x －10x 2)d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪
120
＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3⎪⎪⎪⎪
1
12
＝54.
答案：54
15．解：S ＝⎠⎛01
(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12
(3x －x 2－2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－32x 2＋2x |10＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2－2x |2
1 ＝⎝⎛⎭⎫13－32＋2＋⎝⎛⎭⎫－13×8＋32×4－4－⎝⎛⎭⎫－13＋3
2－2 ＝56－23＋56＝53－23
＝1. 16．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．
法一：由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x 2
，
y ＝－1，得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．
则所求图形的面积
S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫∫10⎣⎡⎦⎤－x 2
4－(－x 2)d x ＋∫21⎣⎡⎦⎤－x 2
4－(－1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫∫103x 2
4d x －∫21x 2
4d x ＋∫21d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34⎪⎪⎪
10
－x 312⎪⎪⎪ 2
1＋x ⎪⎪⎪
2
1＝4
3.
法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2∫0
－1(2－y －－y )d y
＝2∫0－1
－y d y ＝2×⎝⎛⎭⎫－23×(－y )3
2⎪⎪⎪
－1＝43. 17．解：依题意知，阴影部分的面积
S ＝∫t 0(e t －1－e x ＋1)d x ＋∫1t (e x －1－e t
＋1)d x ＝∫t 0(e t －e x )d x ＋∫1t (e x －e t )d x
＝(x e t
－e x
)⎪⎪⎪
t
0＋(e x －x e t )⎪⎪⎪
1
t
＝(2t －3)e t ＋e ＋1，
令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝(2t －1)e t ， 取g ′(t )＝0，解得t ＝1
2
.
当t ∈⎣⎡⎭⎫0，1
2时，g ′(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(t )>0，g (t )是增函数． 因此g (t )的最小值为g ⎝⎛⎭⎫12＝e ＋1－2e 1
2＝(e －1)2， 故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 18.解：f ′(x )＝x 2＋ax ＋b .
若方程f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则Δ≥0，即a 2≥4b ， 因此方程f ′(x )＝0有实数根的条件是⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，
a 2≥4
b ，
满足此不等式组的点P (a ，b )形成的图形为图中阴影部分，其面积为 S 1＝∫1
－1⎣⎡⎦⎤a 2
4－(－1)d a ＝∫1－1
⎝⎛⎭
⎫a 2
4＋1d a
＝a 312 |1－1＋2＝136
. 而坐标满足条件－1≤a ≤1，－1≤b ≤1的点形成的图形的面积S ＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f ′(x )＝0有实数根的概率为P ＝S 1S ＝1324
.。