2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及
应用》
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》
2
a b
+的理解
2
a b
+≤求最值
【题型三】：基本不等式应用
【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用
2
a b
+的理解 【例1】. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.
（1）a b
++
（2）11
()()a b a b ++的最小值为4；
（3）1
4
a a ++的最小值为2-.
【解析】（1）；（2）
（1）∵0a >，0b >，∴a b
+≥≥（当且仅当2a b ==时取等
号）.
（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a b
a b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.
（3）∵0a >，∴11444244a a a a +
=++-≥=-++， （当且仅当1
44
a a +=
+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即1
24
a a +>-+
【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.
【变式训练】：
【变式1】给出下面四个推导过程：
① ∵,a b R +∈，∴
2a b b a +≥=；
② ∵,x y R +∈，∴lg lg x y +≥
③ ∵a R ∈，0a ≠，∴ 44a a +≥=；
④ ∵,x y R ∈，0xy <，∴[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-. 其中正确的推导为（ ）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【解析】①∵,a b R +∈，∴,b a
R a b
+∈，符合基本不等式的条件，故①推导正确.
②虽然,x y R +∈，但当(0,1)x ∈或(0,1)y ∈时，lg ,lg x y 是负数，∴②的推导是错误的.
③由,a R ∈不符合基本不等式的条件，∴44a a +≥=是错误的.
④由0,xy <得,y x x y 均为负数，但在推导过程中，将整体x y
y x
+提出负号后，
()()x y
y x
-+-均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D. 【变式2】下列命题正确的是（ ）
A.函数1
y x
x =+的最小值为2. B.函数2y =的最小值为2
C.函数423(0)y x x x =-->最大值为2-
D.函数 4
23(0)y x x x
=-->的最小
值为2
【答案】C
【解析】A 选项中，∵0x ≠，∴当0,x >时由基本不等式1
2x x
+
≥； 当0x <时1
2x x
+
≤-.∴选项A 错误.
B 选项中，∵22
y =
=
= 2
1=时，成立）
2≥，∴这是不可能的. ∴选项B 错误.
C 选项中，∵0x >，∴44
232(3)2y x x x x
=--
=-+≤-C 正确。

2
a b
+≤
求最值
【例2】．设0a b >>，则211()
a a
b a a b ++-的最小值是 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【解析】
221111()()
11
()()
()4a a ab ab ab a a b ab a a b a a b ab a a b ab
+
+=-+++--=-+++-≥ 当且仅当1()()1
a a
b a a b ab ab ⎧
-=⎪-⎪
⎨⎪=⎪⎩
即2a b ==时取等号.
【答案】D 【变式训练】：
【变式1】若0x <,求9
()4f x x x
=+
的最大值. 【解析】因为0x <,所以0x ->, 由基本不等式得
:
99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==,
（当且仅当94x x -=-即3
2
x =-时, 取等号）
故当32x =-时,9
()4f x x x
=+取得最大值12-.
【变式2】已知0x <，求16
()204f x x x
=++的最大值.
【解析】∵0x <，∴0x ->，
∴4()224x x -+
≥=⨯=-（当且仅当4x x
-=-，即2x =-时，等号成立） ∴4()204[()]20444f x x x =--+
≤-⨯=-（当且仅当4
x x
-=
-，即2x =-时，等号成立）
故当2x =-时，()f x 的最大值为4.
【例3】.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝
的最小值是 14
a b
+
A ．
B ．4
C ．
D ．5
【解析】∵0a >,0b >，
∴141141419()()(5)(52222
b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 【答案】选C 【变式训练】：
【变式1】若0x >,0y >,且28
1x y
+=,求xy 的最小值 .
【解析】∵0x >,0y >，
∴281x y =
+≥=（当且仅当
281
2
x y ==即4x =，16y =时，等号成立） ∴64xy ≥（当且仅当4x =，16y =时，等号成立） 故当4x =，16y =时，xy 的最小值为64.
【变式2】已知x ＞0，y ＞0，且19
1x y
+=，求x+y 的最小值。

【解析】∵191x y +=，∴199()10y x
x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭
∵x ＞0，y ＞0
，∴
96y x x y +≥= （当且仅当
9y x x y
=，即y=3x 时，取等号） 又19
1x y
+=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16。

【题型三】：基本不等式应用
【例4】. 设,x y R +∈,1x y +=,求证：1125
()()4
x y x y ++≥
72
92
【证明】11254x y x y ⎛⎫⎛
⎫⇐++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()222222222
25
10425
1210
4
33
204
180
41
24x y x y xy x y xy xy x y xy xy xy x y xy ⇐++-+≥⇐+--+≥⇐-+≥⎛
⎫⇐--≥ ⎪⎝
⎭+⎛⎫⇐≤=
⎪
⎝⎭
()1804xy xy ⎛
⎫⇐∴--≥ ⎪⎝
⎭
成立 【变式训练】：
【变式1】已知3a >，求证:4
73
a a +≥- 【解析】
44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当
4
33
a a =--即5a =,等号成立）. 【例5】已知0,0,0a
b
c >>>，且1a b c ++=.
(1)若a b c ==则111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 .
(2)求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】(1)由题意可得13a
b c ===带入计算可得111111
8a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2)由题意和基本不等式可得0a
b +≥>
，0
a c +≥>，0
b
c +≥>
1a b c ++=
111111118
a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b a b c a b c
++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴---=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++=
≥=
1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【变式训练】： 【变式】已知函数(
)f x =R.
(1)求实数m 的取值范围.
(2)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足21
32n a b a b
+=++时，求7a +4b 的最小值. 【解析】(1)因为函数的定义域为R,
130x x m ∴++--≥恒成立
设函数()13g x x x =+--则m 不大于()g x 的最小值
()13134x x x x ++-≥+--=即()g x 的最小值为4，4m ∴≤
(2)由(1)知n=421
432a b a b ∴
+=++
()()()12
17462243222322211955242344
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++ ⎪
++⎝⎭
⎛++⎛
⎫=++≥+⋅= ⎪ ++⎝⎭⎝
当且仅当23a b a b +=+时，即2b a =时取等号.
74a b ∴+的最小值为94
【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用
【例6】. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为2112m ，预计（1）修复1m 旧墙的费用是建造1m 新墙费用的
25% ，（2）拆去1m 旧墙用以改造建成1m 新墙的费用是建1m 新墙的50%，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m 的空缺。

试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？
【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。

设修复成新墙的旧墙为xm ,则拆改成新墙的旧墙为(12)x m -， 于是还需要建造新墙的长为112224
2(1)(12)213.x x x x x
⋅
+---=+- 设建造1m 新墙需用a 元，建造围墙的总造价为y 元，
则
224
25%(12)50%(213) y x a x a x a
x
=⋅⋅+-⋅++-7224
(7)7)
4
x
a a
x
=+-≥
（当且仅当7224
4
x
x
=即x=
故拆除改造旧墙约为12-.
【变式训练】：
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？
【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，
则
488
402403840.
y x
x
⨯
=⋅+≥（当且仅当x=8时取“=”）
此时每人最少交80元.。