山西省晋中市平遥县第二中学高二数学上学期期中试题

2018—2019学年第一学期高二期中测试
数学试题
（满分150分,时间120分钟)
一、选择题（每题5分,共60分）
1、过点且与直线垂直的直线方程是（）
A. B. C。

D.
2、若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）
A. B。

C。

D。

3、若直线与直线垂直，则的值是（）
A. 或B。

或 C. 或 D. 或1
4、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b M，a∥b,则a∥M；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M,则a∥b。

其中正确命题的个数有（ )
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
5、点P为ΔABC所在平面外一点,PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC,则点O是ΔABC的（）
A、内心
B、垂心
C、重心
D、外心
6。

如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图△A′B′O′,已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO 的面积为16，则A′O′的长为（）
A． 4 B． 4 C。

2 D. 80
7.已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80 cm，则这块扇形铁皮的半径是( ）
A． 48 cm B． 24 cm C． 96 cm D．192 cm
8。

四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是1、2，侧棱长为，则该四棱台的高为( ）
A． B． C。

D．
9。

如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，， , ，，直线AC与底面BCD所成角的大小为
B. C。

D.
10、某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为( ）
A。

B. C。

D。

11。

如图,在透明塑料制成的长方体－容器内灌进一些水,将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同,有下列四个说法：
(1）水的部分始终呈棱柱状;(2)水面四边形EFGH的面积不改变;(3)棱始终与水面EFGH平行 (4）当点E在上时,AE＋BF是定值．其中正确的说法是( )
A．(1）(2）（3） B．（1)(3） C．（1）（2）(3）（4）D．（1）（3)（4）
12、如图：直三棱柱ABC—的体积为V，点P、Q分别在侧棱A和
C上，AP=Q，则四棱锥B—APQC的体积为 ( )
A、 B、 C、 D、
二、填空题(每题5分，共20分）
13.不论k为何值，直线(2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是________．
Q P
C'
B'
A'
C
B
A
14.若两条直线x+ay+3=0，（a﹣1）x+2y+a+1=0互相平行，则这两条直线之间的距离为________．
15、圆锥的底面直径为AB＝6,母线SB＝9，D为SB上一点，且SD＝SB，则点A沿圆锥表面到D点的最短距离为 ______
16、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°
其中正确结论的序号 ____ __．
三、解答题（本题六小题，共70分））
17、（10分)已知直线经过点且圆的圆心到的距离为 .
（1）求直线被该圆所截得的弦长；
（2）求直线的方程。

18、(12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点。

（1)求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程。

19.（12分）如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－的棱BC、C、A的中点．求证：(1)GE∥平面BD （2)平面BDF∥平面H
20、 (12分）如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2错误!,M为BC的中点．
（1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小．
21、(12分）如图所示,在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3,AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1）证明：CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
22、（12分)在四棱锥E－ABCD中,底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．(1)求证：DE∥平面ACF；
(2）求证：BD⊥AE;
(3）若AB＝CE,在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE?若存在,求出的值，若不存在,请说明理由．
2018-2019学年第一学期高二期中测试
数学答案
一、选择题（每题5分，共60分)
CCBBD BAABA DB
二、填空题（每题5分，共20分）
13、（2,3） 14、 15、_3 16、_①②④_
三、解答题
17、（1）解：易得圆心坐标为（0,-2），半径为5
所以弦长为2
（2）解：易知，当直线的的斜率不存在时,不满足题意。

设直线的的斜率为k，则其方程为y+3=k（x+3),即kx-y+3k—3=0 因为圆心到的距离为，所以
解得k=2或所以直线的方程为x+2y+9=0或2x—y+3=0
18、(1）解：设线段的中点为，∵ ，
∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，
∴ 。

∴圆的方程为
（2）解：当切线斜率不存在时，切线方程为。

当切线斜率存在时,设切线方程为，即，
则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为 .
故满足条件的切线方程为或
19、证明(1)取B1D1中点O，连接GO,OB，
易证OG B1C1,
BE B1C1，∴OG BE，四边形BEGO为平行四边形．
∴OB∥GE.∵OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,∴GE∥平面BDD1B1.
（2)由正方体性质得B1D1∥BD,
∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF。

连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，∴HD1∥BF。

∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF,∴HD1∥平面BDF。

∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.
20、(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA,∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝错误!.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝错误!，AM＝错误!，AE＝3，
∴EM2＋AM2＝AE2。

∴AM⊥EM。

又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM,∴AM⊥PM.
（2)解：由（1)可知EM⊥AM,PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．
∴tan∠PME＝错误!＝错误!＝1，∴∠PME＝45°.
∴二面角P－AM－D的大小为45°.
21、（1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5。

又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE。

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平
面PAE.
(2）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.
由（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE。

于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE。

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．
AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意,知∠PBA＝∠BPF,
因为sin∠PBA＝错误!，sin∠BPF＝错误!，所以PA＝BF。

由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3。

于是
AG＝2。

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
BG＝错误!＝2错误!,BF＝错误!＝错误!＝错误!。

于是PA＝BF＝错误!.
又梯形ABCD的面积为S＝错误!×（5＋3）×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝错误!×S×PA＝错误!×16×错误!＝错误!。

22、（1)证明连接OF.由ABCD是正方形可知，点O为BD的中点．
又F为BE的中点，∴OF∥DE。

又OF⊂平面ACF，DE⊄面ACF，
所以DE∥平面ACF。

（2）证明由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD。

由ABCD是正方形可知，AC⊥BD。

又AC∩EC＝C,AC，EC⊂平面ACE，
∴BD⊥平面ACE。

又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE。

（3）解在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE。

理由如下：
取EO的中点G，连接CG.
在四棱锥E－ABCD中，AB＝CE，CO＝AB＝CE,∴CG⊥EO.
由(2)可知,BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，
∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE＝EO。

∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，
∴CG⊥平面BDE.故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE。

由G为EO的中点，得＝.。