2021年中考数学 三轮查漏补缺：多边形与平行四边形(含答案)

2021中考数学三轮查漏补缺：多边形与平行四
边形
一、选择题
1. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是
A．180°B．360°C．540°D．720°
2. 一个正六边形共有n条对角线，则n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( )
A. 66°
B. 104°
C. 114°
D. 124°
4. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为()
A.12
B.15
C.18
D.21
5. 如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为( )
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 8 cm
6. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状不可能是( ) A ．六边形 B ．五边形
C ．四边形
D ．三角形
7. (2020
自贡)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB ，∠B 是锐角，AE
⊥BC 于点E ，F 是AB 的中点，连结DF 、EF ．若∠EFD ＝90°，则AE 长为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
8. (2020·潍坊)如图，点
E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且
1
2
DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则□ABCD 的周长为（ ）
F
E
D
C
B
A
A .
21
B. 28
C. 34
D. 42
二、填空题
9. 在平行四边形ABCD 中，∠A=30°，AD=4，BD=4，则平行四边形ABCD 的面
积等于 .
10. 若一个多边形的内角和与外角和之和是
900°，则该多边形的边数是______
____．
11. 如图，在四边形ABCD 中，若∠A ＋∠B ＋∠C ＝260°，则∠D 的度数为________．
12. 如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__________．
13. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE ∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．
O
E D
C
B
A
14. 如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE 的度数为________．
15. 今年暑假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派一名教师作为指导老师．为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间(包括指导教师)每周至少通一次电话，现知该校八年级(5)班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？
为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S之间的关系用下列模型表示，如图
根据小明设计的模型，可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为________．
16. （2020
·扬州）如图，在▱ABCD中，∠B =60°，AB=10，BC=8，点E为边
AB上的一个动点，连接ED
并延长至点F，使得DF=
1
4
DE，以EC、EF为邻边构
造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为 .
三、解答题
17. 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF.求证:
(1)△ABF≌△DAE;
(2)DE=BF+EF.
18. （2020·陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E使边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
E C
B
A D
19. 如图，已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AC=2.
(1)求平行四边形ABCD的面积;
(2)求证:BD⊥BC.
20. （2020·重庆B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=DF．
21. 如图，△ABC是正三角形，剪去三个边长均不相等的小正三角形(即△ADN，△BEF，△CGM)后，得到一个六边形DEFGMN.
(1)六边形DEFGMN的每个内角是多少度？为什么？
(2)六边形DEFGMN是正六边形吗？为什么？
22. （2020·扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥A C，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE.
（1）若OE=3
2
，求EF的长；
（2）判新四边形AECF的形状，并说明理由.
23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C
两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ．
（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；
（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？
24.
如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR ．
S
R Q
P
H G
O
E
F
D
C
B A
2021中考数学 三轮查漏补缺：多边形与平行四
边形-答案
一、选择题 1. 【答案】C
【解析】黑色正五边形的内角和为：(5–2)×180°=540°， 故选C ．
2. 【答案】D
[解析] 六边形的对角线的条数为
6×（6－3）
2
＝9.
3. 【答案】C
【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组
⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.
4. 【答案】C
[解析]∵折叠后点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处，∴AC ⊥DE ，
EC=CD=AB=3， ∴ED=6.
∵∠B=60°，∴∠D=60°，∴AD=2CD=6， ∴AE=6，∴△ADE 的周长=AE +AD +ED=18，故选C .
5. 【答案】B
【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形
ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC
的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝1
2BC ＝4 cm.
6. 【答案】A
[解析] 剪去一个角的方法有三种：经过两个顶点，则少了一条边；
经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．所以一个n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n 边形或(n ＋1)边形或(n －1)边形．
7. 【答案】 B
【解析】本题考查了平行四边形、全等三角形、勾股定理、一元二次方程等知识．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，
∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，
∴AE，因此本题选B．
8. 【答案】B
【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵
1
2
DE
AE
=，DE=3，∴AE=6.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB, ∴
DE DF
AE AB
=,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD的周长为28.故选B.
二、填空题
9. 【答案】16或8[解析]过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=4，
∴DE=AD=2，AE=AD=6.
在Rt△BDE中，∵BD=4，∴BE===2.
如图①，AB=8，∴平行四边形ABCD的面积=AB·DE=8×2=16;
如图②，AB=4，∴平行四边形ABCD的面积=AB·DE=4×2=8.
故答案为:16或8.
10. 【答案】5
【解析】∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360=540°，
∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5．
故答案为：5．
11. 【答案】100°
12. 【答案】50°
【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FBA
＝∠C ＝40°，∵FD ⊥AD ，∴∠ADF ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠ADF ＝90°，∴∠BEF ＝180°－90°－40°＝50°.
13. 【答案】16
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，
∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE ＝12AD ，OE ＝1
2
CD ．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，
∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋CD ＝8．∴平行四边形ABCD 的周长＝16．故答案为16．
14. 【答案】50°
【解析】本题考查了平行四边形的性质．∵□ABCD 中，AD ∥BC ，∠EAD ＝40°，∴∠EBD ＝40°．∵CE ⊥AB ，∴∠BCE ＝50°．故答案为50°．
15. 【答案】1378
[解析] 将八年级(5)班师生共53人看作五十三边形的53个
顶点，由多边形对角线条数公式可得对角线为53×（53－3）
2
＝1325(条)，
1325＋53＝1378(次)．
因此该班师生之间每周至少要通1378次电话．
[点评] 本题的数学模型实质上是n 个人之间彼此握一次手，求握手总次数的问题，其次数为n ＋12(n －3)·n ＝1
2
n(n －1)．
DE ，∴ED =5DF ，又EF =GC ，∴5
GC =，∵EF ∥CG ，∴△EHD ∽△GHC ，∴
4
5
DH ED EH HC CG HG ===，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E 在AB 上如何运动，H 始终是定点，H 又在E G 上，它到A B 的最短距离就是H N ，S ▱A B C D =
AM BC HN AB ⨯=⨯，∴AM BC NH AB ⨯=
==，当动点E 运动到与N
重合（见答图2），EG最短，此时，HG=5
4
NH=53，∴EG的最小值= HG+NH=93．因
此本题答案为93．
（答图1）（答图2）
三、解答题
17. 【答案】
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC，∴∠BPA=∠DAE.
在△ABP和△DAE中，又∵∠ABC=∠AED，∴∠BAF=∠ADE.
∵∠ABF=∠BPF，∠BPA=∠DAE，
∴∠ABF=∠DAE，
又∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA).
(2)∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF.
∵AF=AE+EF=BF+EF，
∴DE=BF+EF.
18. 【答案】
解：∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE．∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD＝BE．19. 【答案】
解:(1)作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图.
设BE=x，CE=h，
在Rt△CEB中:x2+h2=9①，
在Rt△CEA中:(5+x)2+h2=52②，
联立①②解得:x=，h=，
∴平行四边形ABCD的面积=AB·h=12.
(2)证明:作DF⊥AB，垂足为F，
∴∠DFA=∠CEB=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠CBE，
又∵∠DFA=∠CEB=90°，
∴△ADF≌△BCE(AAS)，
∴AF=BE=，BF=5-=，DF=CE=，
在Rt△DFB中，BD2=DF2+BF2=2+2=16，
∴BD=4，
∵BC=3，DC=5，
∴CD2=DB2+BC2，
∴BD⊥BC.
20. 【答案】
（1）解：∵CF平分∠BCD，∴∠BCD=2∠BCF.
∵∠BCF=60°，∴∠BCD=2×60°=120°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.
∴∠ABC=180°-120°=60°.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∠BAD=∠DCB. ∴∠ABE=∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=1
2
∠BAD=
1
2
∠DCB=∠DCF.
在△ABE和△CDF中，∵∠ABE=∠CDF，AB=CD，∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
21. 【答案】
解：(1)六边形DEFGMN的各个内角都是120°.
理由：∵△ADN，△BEF，△CGM都是正三角形，
∴它们的每个内角都是60°，即六边形DEFGMN的每个外角都是60°. ∴六边形DEFGMN的每个内角都是120°.
(2)六边形DEFGMN 不是正六边形．
理由：∵三个小正三角形(即△ADN ，△BEF ，△CGM)的边长均不相等，
∴DN ，EF ，GM 均不相等．
∴六边形DEFGMN 不是正六边形．
解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO =CO ，AB ∥DC ，∴∠OAE =∠OCF ，∵EF ⊥AC ，∴∠AOE =∠COF =90°，在△AEO 和△CFO 中，∠OAE ＝
∠OCF ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO ，∴OE =OF ，又OE =32
，∴OE =OF =32
，∴EF = OE +OF =3； （2）四边形AECF 是菱形，证明：由（1）得OE =OF ，又∵AO =CO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．
（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43
y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502
t ＜≤． 在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43
PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65
AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153
S PE PM t t =⋅=+． ②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532
t ＜≤． 因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-．
因此2132223
S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163
t =． 因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633
t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322
S MQ PM t =⋅=-+．
图2 图3 图4
（3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153
S t t t =+=+-． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，
所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339
S t t t =-+=--+． 因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289
． ③当1633t ＜≤时，16322
S MQ PM t =⋅=-+． 因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14． 综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289
． 考点伸展
第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？ 此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322
S MQ PM t =⋅=-．
图5
24. 【答案】
设法证明四边形PORS 为平行四边形．
因为F ，G 分别为OB ，OC 的中点，所以
FG BC ∥，且12
FG BC =
， FG AD ∥，且12
FG AD =， 从而F 是AQ 中点．同理可证，F 是PC 的中点（EF 是PCD ∆的中位线）．所以四边形APQC 为平行四边形，
PQ AC ∥，PA AC =．
同理，RS AC RS AC ，∥=．因此
PQ RS PQ RS ，∥=，
即四边形PQRS 为平行四边形，故
PQ RS =．
说明 本题证明显示了用平行四边形证题的技巧，平行四边形PQRS ，APQC ，ACRS 像三座互相连接的桥梁一样沟通了条件与结论之间的道路．
事实上，由于PQRS 为平行四边形，我们还可得到
PQ SR ∥，PS QR ∥，PS QR =，SQ 与PR 互相平分等等一系列结论．F 为AQ 的中点（同样G 为DQ 的中点）的断言可以证明于下：
取AD 中点M ，连MF ，则FG MD ∥且FG MD =，
所以四边形MFGD 为平行四边形，MF DG ∥．因此F 为AQ 的中点．。