线性代数的应用论文

论文:线性代数的应用与心得体会班级：
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完成时间：2014年10月20日
目录
摘要 (2)
关键词 (2)
一、线性代数被广泛运用的原因 (2)
二、线性代数在实际中的应用 (2)
1. 用二阶行列式求平行四边形面积,用三阶行列
式求平行六面面体 (2)
2. 希尔密码 (2)
3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实
现 (3)
4、在城市人们出行的应用——交通流的分析 (4)
5、马尔可夫链 (5)
6、在人口迁移的应用人口迁徙模型 (5)
三、心得与体会 (7)
摘要我们对线性代数的了解大概是,线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容,还有其主要知识：矩阵、方程组和向量；我们也应该了解其在众多的科学技术领域和实际生活中的应用都十分广泛;下面就是看一些具体实例应用,和一些心得体会;
关键词线性代数；实际生活；应用实例；心得体会；
;
一、线性代数被广泛运用的原因
为什么线性代数得到广泛运用,也就是说,为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事,而并非解非线性方程组是经常的事呢
原因之一,大自然的许多现象恰好是线性变化的,研究的是单个变量之间的关系;例如我们高中学过的物理学科中,物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动;而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律,即物体的加速度同它所受到的力成正比,其实这又恰恰符合基本的线性微分方程;再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组,这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比,而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比,因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组;
原因之二,之后随着科学的发展,我们不仅要研究单个之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而且由于计算机的发展,了的问题又可以计算出来,所以,线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用;
原因之三,在数学中线性代数与几何和代数有着不可分割的联系;线性代数所体现的观念与代数方法之间的联系,从具体概念变为出来的,对于强化人们的,增强科学性是非常有用的;
二、线性代数在实际中的应用
1.用二阶行列式求平行四边形面积,用三阶行列式求平行六面面体
2.希尔密码
希尔密码Hill Password是运用基本矩阵论原理的替换密码,由Lester S. Hill在1929年发明;每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量,跟一个n×n的矩阵相乘,再将得出的结果模26;注意用作加密的矩阵即密匙在\mathbb_^n必须是可逆的,否则就不可能译码;只有矩阵的行列式和26互质,才是可逆的;
例题、
设明文为HPFRPAHTNECL,密钥矩阵为：
3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现
大学生在饮食方面存在很多问题,多数大学生不重视吃早餐,日常饮食也没有规律,为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养;大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物,下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养它们的质量以适当的单位计量;
设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表,表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方;现在的问题是：如果用这三种食物作为每天 营养 每100g 食物所含营养g
减肥所要求的每日营养量
脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 34 74 45 脂肪
7
3
123
个单位100g,表中的三个营养成分列向量为：
12136511352,34,74,07 1.1a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
则它们的组合所具有的营养为
11223312336511352347407 1.1x a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等,就可以得到以下的矩阵方程：
12336
5113335234744507 1.13x x Ax b x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
用MA TLAB 解这个问题非常方便,列出程序ag763如下： A=36,51,13;52,34,74;0,7, b=33;45;3 x=A\b
程序执行的结果为：
0.2772 0.3919 0.2332x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即脱脂牛奶的用量为,大豆面粉的用量为,乳清的用量为,就能保证所需的综合营养量;
4、在城市人们出行的应用——交通流的分析
某城市有两组单行道,构成了一个包含四个节点A,B,C,D 的十字路口如图所示;在交通
繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量每小时的车流数标于图上;现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x 1,x 2,x 3,x 4;
解：在每个节点上,进入和离开的车数应该相等,这就决定了四个流通的方程： 节点A: x 1+450＝x 2+610 节点B: x 2+520＝x 3+480 节点C: x 3+390＝x 4+600 节点D: x 4+640＝x 2+310
将这组方程进行整理,写成矩阵形式：
12
23
341
4= 160 = - 40 - = 210
= -330x x x x x x x x ---
其系数增广矩阵为：
11 160 1
1 - 40 [,]1
12101
1 -330A b -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥
-⎢⎥
-⎣⎦ 用消元法求其行阶梯形式,或者直接调用U0=rrefA,b,可以得出其精简行阶梯形式为
1 0 0 -1
330 0 1 0 -1 170 U0= 0 0 1 -1 210 0 0 0 0
0⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
注意这个系数矩阵所代表的意义,它的左边四列从左至右依次为变量x 1,x 2,x 3,x 4的系数,第五列则是在等式右边的常数项;把第四列移到等式右边,可以按行列写恢复为方程,其结果为：
x 1=x 4+330, x 2=x 4+170, x 3=x 4+210
图3 单行线交通流图
0＝0
由于最后一行变为全零,这个精简行阶梯形式只有三行有效,也就是说四个方程中有一个是相依的,实际上只有三个有效方程;方程数比未知数的数目少,即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3,和x4;其原因也不难从物理上想象,题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量,如果有些车沿着这四方的单行道绕圈,那是不会影响总的输入输出流量的,但可以全面增加四条路上的流量;所以x4被称为自由变量,实际上它的取值也不能完全自由,因为规定了这些路段都是单行道,x1,x2,x3,和x4;都不能取负值;
所以要准确了解这里的交通流情况,还应该在x1,x2,x3,和x4中,再检测一个变量;
5、马尔可夫链
马尔可夫链Markov Chain,描述了一种状态序列,其每个状态值取决于前面有限个状态;马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列;这些变量的范围,即它们所有可能取值的集合,被称为“状态空间”,而的值则是在时间n的状态;如果对于过去状态的条件概率分布仅是的一个函数,则这里x为过程中的某个状态;上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质;
例题、
6、在人口迁移的应用人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的;人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化;每年有6%的市区居民搬到郊区去住,而有2%的郊区居民搬到市区;假如开始时有30%的居民住在市区,70%的居民住在郊区,问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少30年、50年后又如何
这个问题可以用矩阵乘法来描述;把人口变量用市区和郊区两个分量表示,即
,ck k sk x x x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦其中x c 为市区人口所占比例,x s 为郊区人口所占比例,k 表示年份的次序;在k=0
的初始状态：0000.30.7c s x x x ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦;
一年以后,市区人口为x c1= x c0+,郊区人口x s1= + x s0,用矩阵乘法来描述,可写成：
11010.940.020.3 0.29600.060.980.7 0.7040c s x x Ax x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ 此关系可以从初始时间到k 年,扩展为2
120k k k k x Ax A x A x --===
=,用下列
MATLAB 程序进行计算：
A=,;, x0=; x1=Ax0, x10=A^10x0 x30=A^30x0 x50=A^50x0
程序运行的结果为：
1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,,,, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
无限增加时间k,市区和郊区人口之比将趋向一组常数 ;为了弄清为什么这个过程趋向
于一个稳态值,我们改变一下坐标系统;在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的效果;选u 1为稳态向量,T 的任意一个倍数,令u 1=1,3T 和u 2=-1,1T ;可以看到,用A 乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度,不影响其相角方向：
110.940.02110.060.9833Au u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
220.940.0210.920.920.060.9810.92Au u --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；
0120.30110.250.050.250.050.7031x u u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅-⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
因此
0120.250.05(0.82)k k k x A x u u ==-
式中的第二项会随着k 的增大趋向于零;如果只取小数点后两位,则只要k>27,这第二项
就可以忽略不计而得到
0127
0.250.250.75k k
k x A x u >⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子,避免相角项出现,使得问题简单化;这也是方阵求特征值的基本思想;
这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型;所得到的向量序列x1,x2,...,x k称为马尔可夫链;马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态x k完全可由其前一个时刻的状态x k-1所决定,与k-1时刻之前的系统状态无关;
三、心得与体会
没上线性代数的时候,心中还有点忐忑,怕自己学不好;但是当真的学时,用心听老师讲的每节课,还是感觉很轻松的;然后每章结束后的习题,自己认真完成,不会的再翻翻以前学过的知识点和笔记,自己就会豁然开朗,而且死死地记住题型,考试的时候不会紧张而且游刃有余;
可以总结一下,线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量;这三种对象的理论是密切相关的,大部分问题在这三种理论中都有等价说法;因此,熟练地从一种理论的叙述转移到另一种中去,是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质;如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点,那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题,因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性;由此可见,只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系,遇到问题就能左右逢源,举一反三,化难为易;
线性代数作为数学的一门,体现了数学的思想;数学上的方法是相通的;比如,考虑特殊情况这种思路;线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组,这些都是先考虑特殊情况;高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程,这用的也是这种思路;通过思想方法上的联系和内容上的关系,线性代数中的内容以及线性代数与高等数学甚至其它学科可以联系起来;只要建立了这种联系,线代就不会像原来那样琐碎了;在线性代数的学习中,注重知识点的衔接与转换,努力提高综合分析能力;线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,学习时应当常问自己做得对不对再问做得好不好只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了;
现在我们可以在线完成过程考核,在电脑上登录,然后有不同的题型,说是考核其实也是一种练手和复习,加强知识的巩固;每一题解答过后都会有详解,可以看到自己到底错在哪,哪里学的不好;我觉得这是一种很好的学习工具,我们一定要好好利用,来学习线性代数;了解每种题型很关键,当然都离开不了矩阵、方程组和向量,掌握它们是关键;线性代数有很多在现实生活中的应用,我们要会运用线性代数来解决现实生活中的一些事或麻烦;我们的生活中到处都存在着数学,所以用心它的魅力吧;。