反常积分的判敛法

在上式中令 x 1 ，则得 ( 1 )2 eu2 du2 .
2
20
2
例 6．利用 函数求积分 x19ex8 dx 的值. 0
解：令 x8 t ，8x7dxdt ，( x)
et t x1 dt
0
x19ex8 dx 0
( x1) x( x)
1
1 x2
dx
收敛
，
∴

sin
1
1 x2
dx
收敛
。
（2）

0
1
dx x sinx
解：∵
1
1 x sinx
1 1 x
0
，而

dx 0 1 x
ln(1
x)

0

，
∴

dx 0 1 x
发散，故

0
1
dx x sinx
也发散。
由于
a
推论 3.2（极限判别法）
设 f ( x)C[a, b) ， f ( x)0 ， xb 为无穷型间断点，
且 lim (b x)q f ( x)l ，则
xb
（1）当q1
，0 l
时，
b a
f
(
x )dx
收敛；
（2）当q1
，0 l
时，
b a
f
(
x )dx
( 1 )


1 8
1800eettx5281xd1t28x187dx( 52
)
1 8
2
( 3 2
1)
1 3( 3 ) 1 3( 1 1) 1 31( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
第九章 常数项级数
常数项级数的概念与性质 常数项级数的判敛法 反常积分判敛法
复习：
1．反常积分
无穷限的反常积分 无 界 函 数 的 反 常 积 分
2． P 积分
a
dx xp
(a
0)
当 p1时收敛 ；当 p1时发散 。
3.
q
积分
b
a
(
x
dx a
)q
及
b
a
dx (b x
dx xp
(a0)
当
p1 时收敛
；当
p1 时发散
，因此
在定理
1
中取
g(
x)
1 xp
，即可得反常积分的极限判别法。
推论 3.1 (极限判别法)
设 f ( x)C[a, ) ， f ( x)0 ，且 lim x p f ( x)l ，则
x
（1）当
p1 ，0l
时，

a
2
∴ I2 收敛。故
0
1 sinx
dx I1 I2
收敛。
例 5．判别反常积分 et t x1 dt 的敛散性。 0
解：此积分的积分区间为无穷区间，又当 x1时 ，t 0
是被积函数的瑕点。
为此讨论下列两个反常积分：
I1
1 0
et
t
x1
dt
，
I
2

et t x1 dt ，

e
t
d
(t
x
)
x
et t x1dt x( x) 。
00
0
当 x 为正整数 n 时，有
(n1)n(n)n(n1)(n1)n(n1)(n2)21(1)n!(1)
而 (1) etdt1 ，故 (n1)n ! 。 0
3． 函数的定义域的扩充
x
3
1
1 x4
2
6
2
∴ x arctan xdx 发散。
1 3 x4 1
（2）

e

x
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
0
解：∵ lim x2ex2
x

lim
x
x2 ex2
0 ，( p2,
l 0.)
∴

e

xdx
收敛，
0

e

x
2
dx

—概率积分。
0
2
注意：比较法和极限法只有在被积函数非负的条件
当 1 x0 ，即x10 时，( x1) 有定义， 从而定义 ( x) ( x1) ，1 x0 ，
x
当 2 x1 ，即 1 x10 时，( x1) 有定义，
再定义 ( x) ( x1) ，2 x1 ， x
依次类推，可将( x) 的定义域扩充为除0 与负整数
∴ I(b) 单调不减且有上界，
故 lim I(b) lim b f ( x)dx 存在，即 f ( x)dx 收敛。
b
b a
a
（2）用反证法由（1）即得。
例 1．判别下列反常积分的敛散性：
（1）
1 1 sinx2dx
解：∵
0s
in
1 x2

1 x2
， 而
（2）当

a
f
(
x )dx
发散时，

a
g(
x )dx
也发散。
证明：（1）设 g( x)dx 收敛于A ，∵0 f ( x) g( x) ， a
∴
b
a
，有
I(b)
b a
f
(
x)dx

b a
g(
x)dx


g(
a
x)dx
A
,
∵ I (b) f (b)0 ，
f
( x)dx
收敛；
（2）当
p1 ，0l

时， a
f
( x)dx
发散。
例 2．判别下列反常积分的敛散性：
（1）
x arctan x dx
1 3 x4 1
5
解：∵ lim x 6 x arctan x lim arctan x ，
x
3 x4 1
( p 51, l 0.)
0
1 sinx
dx
和 I2


1 dx 的敛散性 sinx
2
1
∵ lim x 2
x0
1 lim sinx x0
x sinx
1
，(q 1, 2
l 1)
∴ I1 收敛。 1
∵ lim ( x)2 1 lim x 1 ，(q 1, l 1)
x
sinx x sin( x)
)q
(ab)
当 q1时收敛 ；当 q1 时发散 。
3.1 无穷区间上反常积分的判敛法
定理 3.1(比较判别法)
设 f ( x), g( x)C[a,) ，且0 f ( x) g( x) （x[a,) ），
则（1）当

a
g(
x )dx
收敛时，

a
f
(
x )dx
也收敛；
3.3 函数
1. 函数的定义
函数 ( x) ett x1 dt ，x(0, ) 称为伽马函数。 0
2． 函数的递推公式 ：
( x1) x( x)( x0)
证明：( x1) et t x dt t x d(et )
0
0
t xet
下才能使用。
3.2 无界函数反常积分的判敛法
定理 3.2（比较判别法）
设 f ( x),g( x)C[a, b) ， x b 为无穷型间断点，
且 x[a,b) 时， 0 f ( x) g( x) ，
则（1）当

b
g(
a
x )dx
收敛时，

b a
f
(
x )dx
也收敛；
b
b
（2）当 a f ( x)dx 发散时， a g( x)dx 也发散。
1
先讨论I1 的敛散性。
①当 x1 时，I1 是常义积分，收敛的；
∵ lim (t 0)1x et t x1 lim et 1 ，
t0
t0
②当0 x1 时，有 q1 x1, l 1,
∴ I1
1 et t x1 dt 收敛。
0
③ x0时,
有q1 x1
之外的一切实数，即
(
x
)

(
et t x1 dt,
0
x1), x0且x1,
2,
x0 3,
x
4． 函数的其它形式
在 ( x) et t x1 dt 中，令t u2(u0) ， 0
则得 函数的另一种形式： ( x)2 eu2 u2x1 du. 0
l 1,
∴ I1
1 et t x1 dt 发散。
0
再讨论 I2 的敛散性。
∵
lim t
t
2e
t
t
x1

lim
t
t
x1
et
0
，( p21,
l 0)
∴ I2
et t x1 dt 收敛。
1
综上可知，
反常积分 et t x1 dt ，当x0时 收敛；当 x0时 发散。 0
发散。
若 xa 为无穷型间断点，相应的极限式为
lim ( xa)q f ( x)l 。
xa
例 4．判别下列反常积分的敛散性：
（1） 1
dx
(k 2 1) (椭圆积分）
0 (1 x2 )(1k 2 x 2 )
解： x1是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1 ,(q 1, l 1 )
x1 (1 x)(1k 2 x2 ) 2(1k 2 ) 2
2(1k 2 )
∴ 1
dx
收敛。
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
（2）

0
1 dx sinx
解： x0 和x 是瑕点，为此讨论下面两个反常积分

I1 2