盐城市届高三上学期期中考试数学模拟试卷.doc

盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把
答案写在答题纸的指定位置上. 1．若集合(,]A m =-∞，{}22B x x =-<≤，且B A ⊆，则实数m 的取值范围 是 ▲ .
2．命题“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”）
3. 设点(2)P m 是角α终边上一点，若2
cos α=
，则m = ▲ . 4．函数()x f x e x =-的单调递增区间为 ▲ .
5．若函数()cos f x x x =-的零点在区间(1,)k k -（k Z ∈）内，则k = ▲ . 6．设函数2()lg(1f x x mx =++是奇函数，则实数m 的值为 ▲ . 7．已知直线3
x π
=过函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中2
2
π
π
ϕ-
<<
）图象上的一个最
高点，则5(
)6
f π
的值为 ▲ . 8．在锐角ABC ∆中，2AB =，3BC =，ABC ∆的面积为33
，则AC 的长为 ▲ .
9．设向量(5cos ,4sin )OA θθ=++u u u r ，(2,0)OB =u u u r ，
则||AB u u u r
的取值范围是 ▲ . 10．如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，4AD =，
点P 是DC 边的中点，则PA PB ⋅u u u r u u u r
的值为 ▲ . 11．若函数2()ln (2)f x x ax a x =+-+在1
2
x =
处取得极 大值，则正数a 的取值范围是 ▲ .
12．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，且252m a a a +=， 则m = ▲ .
13．已知数列{}n a 的前n 项和1
(1)n n S n
=-⋅
，若存在正整数n ，使得1()()0n n a p a p +-⋅-<成立，则实数p 的取值范围是 ▲ .
14. 设函数2()||x a f x e e =-，若()f x 在区间(1,3)a --内的图象上存在两点，在这
P
A B
C
D 第10题图
两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)
已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）若()1f x =-，求2cos(2)3
x π
-的值.
16．(本小题满分14分)
设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<.
（1）若3a =，求A B U ；
（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实
数a 的取值范围.
17. (本小题满分14分)
在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知4
A π
=
，a =
（1）若3
sin 5B =，求边c 的长；
（2）若||CA CB +=u u u r u u u r
，求CA CB ⋅u u u r u u u r 的值.
18．(本小题满分16分)
如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，
4BC km =，94DF km =，3FE km =，3
2
EC km =. 若以,OA OD 所在直线分别
为,x y 轴建立平面直角坐标系xOy ，
则河岸DE 可看成是曲线x b
y x a +=
+（其中,a b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kx m =+（其中,k m 为常数）的一部分.
（1）求,,,a b k m 的值；
（2）现准备建一座桥MN ，其中,M N 分别在,DE AC 上，且MN AC ⊥，设点M 的横坐标为t . ①请写出桥MN 的长l 关于t 的
函数关系式()l f t =，并注明定义域；
②当t 为何值时，l 取得最小值？
最小值是多少？
19. (本小题满分16分) 已知函数()ln f x x =.
（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；
（2）若函数()k y f x x =+在21
[,)e
+∞上有两个不同的零点，求实数k 的取值范
围；
（3）是否存在实数k ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()k
y f x x
=+的图
象在()x
e g x x
=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存
在，请说理由.
第18题图
（参考数据：ln 20.6931=，12
1.6487e =）.
20. (本小题满分16分)
设各项均为正数的数列{}n a 满足
n
n
S pn r a =+（,p r 为常数）
，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.
（1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列；
（2）若1
3
p =
，12a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若201512015a a =，求p r ⋅的值.
盐城市2016届高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. [2,)+∞
2. 假
3. 2
4. (0,)+∞
5. 1
6. 1
7. －1
8. 7 9. [4,6] 10. 7 11. (0,2) 12. 8 13. 3
(1,)2
-
14. 11
(,)22-
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）因为
1cos 2()22x
f x x +=
-
…………2分
cos 211
2sin(2)2262
x x x π=--=--
， …………6分
所以()f x 的最小正周期为22
T ππ==. …………8分
（2）因为()1f x =-，所以1
sin(2)162
x π--=-，即
1
sin(2)62
x π-=-， …………10分
所以
21cos 2cos (2)sin(2)32
662x x x ππ
ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ………
…14分
16．解：（1）解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即()3,1A =-， ..............2分 当3a =时，由31x +<，解得42x -<<-，即集合
()4,2B =--， ..............4分
所以()4,1A B =-U ； ..............6分（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. ...............8分
又集合()3,1A =-，
(1,1)B a a =---+， ..............10分
所以13
11a a --≥-⎧⎨
-+<⎩
或13
11
a a -->-⎧⎨
-+≤⎩， ..............12分 解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围是02a ≤≤. ...............14分
17．解：（1）在ABC ∆中，因为3sin sin 5B A =<=4
B A π
<=，
所以
4
cos 5
B =， ............
...2分
所以
43sin sin()55C A B =+== ............
...4分
由
正
弦
定
理
sin sin a c
A C
=
，
得
=
，所
以
c =
. ...............6分 （2）
因CA CB +=u u u r u u u r
，
得
23cos 6b C ++=
①， ...............8分
由余弦定理，有223cos b C c +-= ②， ①＋②，
得c =， ...............10分
再由余弦定理，
有223b c +=，解
得b c == ...............12分
所以222a b c +=，即2C π
=
，所以0CA CB ⋅=u u u r u u u r
. ……………14分 （说明：其它方法类似给分）
18．解：（1）将7(0,),(3,4)4D E 两点坐标代入到x b
y x a
+=+中，得
74343b
a
b a ⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪+⎩
， ……………2分 解得4
7a b =-⎧⎨
=-⎩. …………3分
再将39
(,0),(,4)22
A C 两点坐标代入到y kx m =+中，得
302
942
k m k m ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩， …………5分 解得432
k b ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩. …………6分
（2）①由（1）知直线AC 的方程为4
23
y x =
-，即4360x y --=. …………7分
设点M 的坐标分别为7
(,)4
t M t t --，则利用点到直线的距离公式， 得
7
194|49|54t t l t t --=
=+--， ……
……9分
又由点,D E 向直线AC 作垂线时，垂足都在线段AC 上，所以03t ≤≤，
所以19
()|49|
54
l f t t t ==+--，03t ≤≤. …………10分
② 方法一：令9()49,034g t t t t =+-≤≤-，因为2
(25)(211)
()(4)t t g t t --'=
-， 所以由()0
g t '=，解得52t =或11
2
t =（舍）， …………12分
所以当5(0,)2t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当5
(,3)2
t ∈时，()0g t '<，()
g t 单调递减.
从而当5
2
t =时，()
g t 取得最大值为5
()52
g =-， …………14分 即当5
2
t =时，l 取得最小值，最小值为
1km . …………16分 方法二：因为03t ≤≤，所以144t ≤-≤，
则999494(4)77[4(4)]444t t t t t t +-=-++=--+--- ……
……12分
77265≤-=-⨯=-，
当且仅当94(4)4t t -=-，即5
2
t =时取等
号， …………14分
即当5
2
t =时，l 取得最小值，最小值为
1km . …………16分
方法三：因为点M 在直线AC 的上方，所以9
4904t t +-<-， 所以19
()(49)54
l f t t t ==-+--，
03t ≤≤， …………12分
以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. …………16分 方法四：平移直线AC 至11AC ，使得11AC 与曲线DE 相切， 则切点即为l 取得最小值时的M 点. …………12分
由74x y x -=-，得23(4)y x '=-，则由234
(4)3
k t ==
-，且03t ≤≤，解得5
2
t =， …………14分
故当5
2
t =时，l 取得最小值，最小值为
1km . …………16分
19. 解：（1）因为1
()f x x
'=，所以(1)1f '=，则所求切线的斜率为
1， ……………2分 又(1)ln10
f ==，故所求切线的方程为y x =. ................4分（2）因为
()ln k k f x x x x +=+，则由题意知方程ln 0k x x +=在21,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上有两个不同的根.
由ln 0
k
x x
+=，得ln k x x -=， ……………6分
令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+，由()0g x '=，解得1
x e
=.
当211,x e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()
g x 单调递增，
所以当1
x e =时，()
g x 取
为11
()g e e =-. ……………8又2212()g e e
=-，(1)0g =（图象如右图所示），
所以2
12
k e e
-<-≤-，解得221k e e
≤<. ……………10分 （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1
(,)2
x ∈+∞恒成立.
即ln x k e x x <-对1
(,)2
x ∈+∞恒成立.
令()ln x h x e x x
=-，则()ln 1x h x e x '=--， ……………12分
令()ln 1x r x e x =--，则1
()x r x e x
'=-，
因为()r x '在1
(,)2
+∞上单调递增，1
21()202r e '=-<，(1)10r e '=->，且()
r x '的图象在1(,1)2上不间断，所以存在01
(,1)2
x ∈，使得0()0r x '=，即0010x e x -=，
则00ln x x =-，
所以当01
(,)2
x x ∈时，()r x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()r x 单调递增，
则()r x 取到最小值00000
1
()ln 11x r x e x x x =--=+
-110≥-=>， ……………14分
所以()0h x '>，即()h x 在区间1
(,)2
+∞内单调递增.
所以11
2
21111()ln ln 2 1.995252222
k h e e ≤=-=+=，
所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1. ……………16分 20．解：（1）证明：由1p =，0r =，得n n S na =，所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥，
两式相减，得10(2)n n a a n --=≥，所以
{}
n a 是等差数
列. ……………4分 （2）令1n =，得1
p r +=，所以2
3
r =， ……………5分
则12()33n n S n a =+，所以1111
()(2)33
n n S n a n --=+≥，两式相减，
得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………7分
所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-L L ，化简得1(1)
(2)12n a n n n a +=≥⋅，
所以2(2)n a n n n =+≥， ……………9分
又
12
a =适合
2(2)
n a n n n =+≥，所以
2n a n n =+. ……………10分
（3）由（2）知1r p =-，所以(1)n n S pn p a =+-，得11(12)(2)n n S pn p a n --=+-≥，
两式相减，得1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥， 易
知
p ≠，所以
1
(2)12(1)
n n a a n pn p p n -=≥+--. ……………12分
①当1
2p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-，所以201520141201520141
a a a ===L ，
满足201512015a a =； ……………
14分
②当1
2
p >
时，由1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，又0n a >， 所以1(1)(2)n n p n a pna n --<≥，即1(2)1n n a a n n n -<≥-，所以2015120151
a a
<，不满足
201512015a a =；
③当1
2
p <且0p ≠时，类似可以证明201512015a a =也不成立；
综上所述，12p =，1
2
r =
，所以1
4
pr =. ……………16分。