人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第四章 指数函数与对数函数 第1课时 根式与分数指数幂

第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
第1课时 根式与分数指数幂
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升


【课标要求】理解方根与根式的概念;通过对有理指数幂 ( > 0,且 ≠ 1,,为整数,
且 > 0)、实数指数幂 ( > 0且 ≠ 1, ∈ )含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
( − 1)2 − ( + 3)2 = | − 1| − | + 3|.
∵ −3 < < 3,
∴当−3 < < 1时,原式= −( − 1) − ( + 3) = −2 − 2;
当1 ≤ < 3时,原式= ( − 1) − ( + 3) = −4.
−2 − 2, −3 < < 1,
提示不一样. ( ) 是对实数先求次方根，再对其进行次方运算，即先进行开方
运算，再进行同次的乘方运算，且当为任意正整数时，( ) = .

表示先求的次方，再对其进行次方根运算，即先乘方再进行同次的开方运算，


且当为奇数时， = ;当为偶数时， = ||.
化时,分数不能轻易约分.
( ) (

=
3
)
( ≠ 0)
6
> 0)D. 2 =


1
3


[解析]对于A,− = − ( ≥ ),(−) = −( ≤ ),故A错误;对于B,



−
=




( ≠


−


),故B错误;对于C,( ) =

( )



= = || ,故D错误.故选C.
3.根式的定义
式子 叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
4.根式的性质
（1）( ) = ；
, ≥ 0,


（2）当为奇数时， = ；当为偶数时， =∣ ∣= ቊ
−, < 0.
名师点睛
1.在次方根的概念中，关键是数的次方根满足 = ，因此求一个数的
（2）在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值

范围,即确定 中的正负,再结合的奇偶性给出正确结果.
探究点三 根式与分数指数幂的互化
【例3】 下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( C
1
2
A.− = (−) B.
4
−3
4
C.( ) =

1
−3
3
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
探究点二 根式的化简求值
【例2】 求下列各式的值:
5
6
（1）( − )5 + ( − )6 ( > )；
解原式= − + − = 0.
（2） 2 − 2 + 1 − 2 + 6 + 9(−3 < < 3).
解原式=
=


( ) (

> ),故C正确;对于D,


规律方法分数指数幂是指数概念的又一推广,分数指数幂 是根式的一种新的写法,

不可理解为 个相乘.在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形

式不同而已.
变式训练2 下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( D )
5






,而 无意义,故B错误;对于C,( ) = ( ) = ,故C错

(−)
=

(−)
=
( − )− ,故D正确.故选D.
1.知识清单：（1）次方根.
（2）正分数指数幂和负分数指数幂.
2.方法归纳:定义法、转化法.
3.常见误区:（1）0的任意实数指数幂没有意义;（2）在进行根式与分数指数幂互
6
3
2
4
A. ⋅ − = − B. =
3
3 3
2 2
C.( ) =
3 D.(
− )
5
−2
=
( − )−5


[解析]对于A,由 −有意义可知 ≤ ,而当 < 时， =


对于B,当 < 时, =

−
误;对于D,( − )
=



无意义，故A错误；
2.正数的负分数指数幂的意义:


−
=
1


=

1

∗ , > 1).
(
>
0,
,

∈


3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
规定了分数指数幂的意义以后，幂 中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数.
名师点睛
1.分数指数幂



不可理解为 个相乘，它是根式的一种写法.
解若 > 3,则 − 1 > 0, + 3 > 0,
故原式= ( − 1) − ( + 3) = −4.

规律方法（1）化简 时,首先明确根指数是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进
行化简;化简( ) 时,前提是 有意义,只要 有意义,则( ) = .
0次方根
1.次方根的定义:一般地，如果 = ，那么叫做____________，其中
> 1，且 ∈ ∗.
2.次方根的性质
（1）当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，这


时，的次方根用符号____表示.

[解析]要使 + 有意义，则需满足 + ≥ ，即 ≥ −.
规律方法根式概念问题应关注的两点
（1）的奇偶性决定了次方根的个数；
（2）为奇数时，被开方数的正负决定着次方根的符号.
变式训练1已知 ∈ , ∈ ∗ ,给出下列4个式子：
5
9
6
6
① (−3)2 ;② 2 ;③ (−5)2 +1 ;④ −2 .其中无意义的有() A
次方根，就是求一个数使得这个数的次方等于.
2.次方根实际上就是平方根与立方根的推广.
3.次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算.
过关自诊
1.( ) 中实数的取值范围是任意实数吗？
提示不是,当为大于1的奇数时, ∈ ；当为大于1的偶数时, ≥ 0.

2.( ) 与 的含义一样吗？
（2）当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正



−

的次方根用符号____表示，负的次方根用符号______表示.正的次方根与负的次
± ( > 0)
方根可以合并写成____________.负数没有偶次方根.

0=0
（3）0的任何次方根都是0，记作________.
±2
3
【例1】（1） 27的立方根是___；16的4次方根是____.


[解析]27的立方根是 = ,16的4次方根为± = ±.
6
6
±
17
（2）已知 = 17，则 =_______.

[解析]由根式的定义可得 = ± .
4
[−3, +∞)
（3）若 + 3有意义，则实数的取值范围为__________.
2
4
2
4
= (−4) =
4
(−4)2 =
4
1
2
1
2
16 = 2,而 = (−4) ,无意义.
1
3
−5
1
1
= 3 = 5 3.
5 3


2. ( > 0)化为根式的形式为___________________.
5
3
−5
3.［北师大版教材例题］把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式:
（1） 5 = 20;
1
5
解 = 20 ;
（2） 4 = 25 ;
5
4
解 = 2 ;
（3） = 3 (, ∈ ∗ );


解 = 3 ;
（4） 3 = π9 (, ∈ ∗ ).
解 = π
9
3
=π
3

.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 根式的概念

2.正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
3.我们可以类似得出:一般地，给定正数，对任意无理数， 都是一个确定的
实数.同理规定
−
=
1
.

这样指数幂中指数的范围就扩展到了全体实数.
过关自诊
2
4
1
2
1. 与 一定相等吗？
2
4
1
2
提示不一定.当 ≥ 0时, = ；当 < 0时,两者不相等,如 = −4时,
故原式= ቊ
−4,1 ≤ < 3.
变式探究
解由例题解析可知原式= | − 1| − | + 3|.
（1）该例中的（2）,若 < −3呢？
解若 < −3,则 − 1 < 0, + 3 < 0,
故原式= −( − 1) − [−( + 3)] = 4.
（2）该例中的（2）,若 > 3呢？
3.化简 ( + 3)2 −
3
6或−2
( − 3)3 得_________.
[解析]原式= | + | − ( − ),
当 ≥ −时,原式= ；当 < −时,原式= − .
知识点2 分数指数幂（也可称为有理指数幂）
.
.
1.正数的正分数指数幂的意义:


=

( > 0, , ∈ ∗ , > 1).