2017年高考数学(四海八荒易错集)专题01 集合与常用逻辑用语 理

专题01 集合与常用逻辑用语
1.【2016高考新课标1理数】设集合{
}2
430A x x x =-+< ,{
}
230x x ->,则A
B = （ ）
（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
（D ）3,32⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】因为2
3
{|430}={|13},={|},2
A x x x x x
B x x =+<<<>
-所以33
={|13}{|}={|3},22
A B x x x x x x <<><<故选D.
2.【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S
T =（ ）
(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+ ∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】D
【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以
{|023}S T x x x =<≤≥或，故选D ．
3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A
Z =--，故其中的元素个数为5，选C.
4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）
（A ）(1,1)-
（B ）(0,1)
（C ）(1,)-+∞
（D ）(0,)+∞
【答案】C
【解析】}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A
B =∞（-1，+），选C.
5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =
（ ）（A ）{1} （B ）{1
2}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C
【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而{1,2,3}A =，所以{0,1,2,3}A B =，故选C.
6.【2016年高考北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）
A.{0,1}
B.{0,1,2}
C.{1,0,1}-
D.{1,0,1,2}- 【答案】C
【解析】由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.
7.【2016高考浙江理数】已知集合{}
{
}
2
13,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ） A ．[2,3] B ．( -2,3 ] C ．[1,2) D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B
【解析】根据补集的运算得
．故选B ．
8. 【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D
【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2
n x ≥的否定是2
n x <．故选D ．
9.【2016高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A. 10.【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数
n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】由题意得，22
212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q
q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.
易错起源1、集合的关系及运算 例1、(1)已知集合A ＝{x |x －1x ＋2<0}，B ＝{y |y ＝sin n π
2
，n ∈Z }，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{－1,0,1} C ．{－1,0}
D ．{0,1}
(2)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；
④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．
其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________． 答案 (1)C (2)②④
【变式探究】(1)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(∁R A )∩B 为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －1
3≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b
－a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )
A.1
3 B.23 C.112
D.512
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]，
B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)．
所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)． 故答案为C.
(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≥0，m ＋3
4
≤1，即0≤m ≤1
4
，
⎩⎪⎨⎪⎧
n －13≥0，
n ≤1，
即1
3
≤n ≤1，
取m 的最小值0，n 的最大值1，
可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝1
12.
故选C. 【名师点睛】
(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 易错起源2、四种命题与充要条件 例2 (1)下列命题：
①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③“若am 2
<bm 2
，则a <b ”的逆命题为真命题．
其中正确的命题序号是________．
(2)已知ξ服从正态分布N (1，σ2
)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫ax ＋1x
23的展开
式的常数项为3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件 答案 (1)① (2)A
【变式探究】(1)下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x 2
＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；
②命题：“∀x ∈R，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R，sin x 0>1”； ③“若x ＝π
4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；
④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)已知“x >k ”是“
3
x ＋1
<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )
A ．[2，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－1]
答案 (1)A (2)A
解析 (1)对于①，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2，故“x 2
＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π
4
”，∵tan x ＝1推出的是
x ＝π4
＋k π，k ∈Z.所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．②正确．故选A.
(2)由
3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2
x ＋1
<0， 所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3
x ＋1
<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 【名师点睛】
充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 【锦囊妙计，战胜自我】
1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．
2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 易错起源3、逻辑联结词、量词
例3、(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2
>bc 2
”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假
D ．“p ∧q ”为真
(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2
－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R，x 2
0＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈
p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤－2或a ＝1
B ．a ≤－2或1≤a ≤2
C ．a >1
D ．－2≤a ≤1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B . 故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．
若c ＝0，当a >b 时，则ac 2
＝0＝bc 2
，故a >b ⇏ac 2
>bc 2
，若ac 2
>bc 2
，则必有c ≠0，则c 2
>0，则有a >b ，所以ac 2
>bc 2
⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2
>bc 2
”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题，故选C.
(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2
＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2
－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1. 【变式探究】(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正
确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为真
D ．p ∨q 为假
(2)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．
答案 (1)B (2)0
【名师点睛】
(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立； (2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 【锦囊妙计，战胜自我】
1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．
2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．
3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．
1．已知集合A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1}
答案 A
解析 A ＝{x |x >－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}， 所以有(∁R A )∩B ＝{－2，－1}，故选A.
2．已知集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7} 答案 D
解析 由M 中不等式变形得：log 2x <3＝log 28， 即0<x <8，∴M ＝{x |0<x <8}， ∵N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }， ∴M ∩N ＝{1,3,5,7}，故选D.
3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( )
A ．5
B ．6
C ．12
D ．13 答案 D
4．已知集合M ＝{x |y ＝lg 1－x x
}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N 等于( )
A ．{x |0<x <1}
B ．{x |x >1}
C ．{x |x ≥2}
D ．{x |1<x <2}
答案 C
解析 由1－x
x
>0得0<x <1，故M ＝{x |0<x <1}，
∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2
＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(∁R M )∩N ＝{x |x ≥2}．
5．设命题甲：ax 2
＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既非充分又非必要条件 答案 C
解析 由命题甲ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，可知a ＝0时，原式＝1>0恒成立，
当a ≠0时，⎩⎪⎨
⎪⎧
a >0，Δ＝
a
2
－4a <0，
解得0<a <1，所以0≤a <1，
所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C. 6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π
2对称．则
下列判断正确的是( )
A ．p 为真
B ．綈q 为假
C ．p ∧q 为假
D ．p ∨q 为真
答案 C
解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 7．已知命题p ：2x
x －1
<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－3，－1]
B ．[－3，－1]
C ．(－∞，－1]
D ．(－∞，－3] 答案 C 解析 由p ：
2x x －1<1，得x ＋1
x －1
<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，q ⇏p ，所以－a ≥1，a ≤－1.故选C.
8．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2
－3x ＋2≠0”； ②“x ＝1”是“x 2
－4x ＋3＝0”的充要条件；
③若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
④对于命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.
上面四个命题中正确的是( )
A．①②B．②③
C．①④D．③④
答案 C
9．下列说法中，不正确的是( )
A．已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”为真命题
B．命题“∃x0∈R，x20＋x0－2>0”的否定是：“∀x∈R，x2＋x－2≤0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题
D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件
答案 C
解析A正确，因为此时m2>0；B正确，特称命题的否定就是全称命题；C不正确，因为命题“p或q”为真命题，那么p，q有一个真，p或q就是真命题；D项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C.
10．已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
答案 A
解析∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．
由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假命题，
得綈p：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，
∴m≥0.①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，
得綈q：∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0为真命题，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m ≥1.故选A.
11．下列选项错误的是( )
A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”
B ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件
C ．若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0”
D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题
答案 D
解析 对于若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，∴D 选项错误．故选D.
12．已知集合M ＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，53∪(9,25] 解析 ∵集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |
ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0，
当a ＝0时，显然不成立，
当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －5a ()x －a (x ＋a )<0， 若a <5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <3<5a ，a ≥1，
解得1≤a <53； 若a >5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5a <3<a ，a ≤5，
解得9<a ≤25，
当a <0时，不符合条件， 综上，答案为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，53∪(9,25]． 13．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：
①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2
y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．
答案 ②④
解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12
)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．
对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2
＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．
对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14
)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．
对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3
＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，
故④是具有性质P 的点集．
综上，具有性质P 的点集是②④.。