人教版本初中九年级数学上册的小专题十证明切线的两种常用方法总结计划

初中数学试卷 金戈铁骑整理制作
小专题(十) 证明切线的两种常用方法
种类1
直线与圆有交点
方法概括：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只要 常利用圆中的关系获得 90°的角，如直径所对的圆周角等于
“连半径，证垂直，得切线 90°等．
”．“证垂直”时通
【例1】
如图，AB ＝AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM⊥AC 于M.求证：DM 与⊙O
相切．
1．(旭日中考)如图，AB 是⊙O 的弦，OA⊥OD，AB ，OD 交于点C ，且CD ＝BD. (1)判断BD 与⊙O 的地点关系，并证明你的结论； (2)当OA ＝3，OC ＝1时，求线段 BD 的长． 2．(德州中考
B 点，四边形 (1)求AD
)如图，已知⊙O 的半径为 BCOE 是平行四边形． 的长；
1，DE
是⊙O 的直径，
过
D 作⊙O
的切线，
C 是
AD
的中点，
AE
交⊙O
于
(2)BC 是⊙O 的切线吗？假如，给出证明，若不是，说明原因．
3．(毕
节中考)如图，以
△ABC 的BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过
下半圆弧的中点，连结
AD 交BC 于F ，AC
＝FC. (1)求证：A C 是⊙O 的切线； (
2)已知圆的半径
R
A ，
B 两点，
且与
BC边交于点E，
为BE的
D
种类2 不确立直线与圆能否有公共点
方法概括：直线与圆没有已知的公共点时，往常“作垂直，证半径，得
切线
的方法是利用三角形全等或许利用角均分线上的点到角的两边的距离相等．
”．证明垂线段的长等于半径常用【例2】如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．
4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别订交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的均分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB 长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.
(1)求证：AC是⊙D的切线；
(2)求线段AC的长．
∵参照答
案
∵【例1】
证明：法一：
连结OD.
∵AB＝AC，
∵∴∠B
＝∠C.
∵OB＝OD，
∴∠BDO＝∠B.
∵∴∠BD
O＝∠C.
∵OD∥AC.
∵DM⊥AC，
∵DM⊥OD.
∵DM与
⊙O相切．法二：
连结OD，AD.
∵AB是
⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，
∵∴∠BA
D＝∠CAD.
∵DM⊥AC，
∵∴∠CA
D＋∠ADM＝90°.
∵OA＝OD，
∵∴∠BA
D＝∠ODA.
∵∴∠OD
A＋∠ADM＝90°.
即OD⊥DM，
∵∴DM是⊙O的切线．
∵ 1.(1)
连结OB，
∵OA＝OB，
∵∴∠OA
C＝∠OBC.
∵OA⊥OD，∴∠AOC＝90°.
∴∠OAC＋
∠OCA＝90°.
DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC.
∵∠DCB＝
∠ACO，
∴∠ACO＝
∠DBC.
∴∠DBC＋
∠OBC＝90°.
∴∠OBD＝
90°.
∵点B是半
径OB的外端，
∴BD与⊙O
相切．
(2)设BD＝x，
则CD＝x，OD＝x
＋1，OB＝OA＝3，
由勾股定理得：
32＋x2＝(x
＋1)2.解得x＝4.
BD＝4.
2.(1)连结
BD，则∠DBE＝
90°.
∵四边形
BCOE是平行四边
形，
∴BC∥OE，
BC＝OE＝1.在
Rt△ABD中，C
为AD的中点，
∴BC＝1AD＝
1.
2
∴AD＝2.
(2)BC是⊙O的切线，原因以下：
连结
∴四边形BCDO是平行四边形．又∵
∴OD⊥AD.
∴四边形BCDO是矩形．
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
OB，由(1)得BC∥OD，
且
AD是⊙O的切线，
BC＝OD.
∴3.(1)连结OA，OD，
∴D为BE的下半圆弧的中点，∴∠FOD＝90°.∴AC＝FC，
∴∴∠CAF＝∠AFC.
∴∵∠AFC＝∠OFD，
∴∴∠CAF＝∠OFD.
∴OA＝OD，
∴∴∠ODF＝∠OAF.
∴∵∠FOD＝90°.
∴∴∠OFD＋∠ODF＝90°.
∴∴∠OAF＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°.
∴AC与⊙O相切．(2)
∴∵半径R＝5，EF＝3，
∴OF＝OE－EF＝5－3＝2.在Rt△ODF中，DF＝52＋22＝29. ∴【例2】法一：连结DE，作DF⊥AC，垂足为 F. ∴∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
∴DF⊥AC，
∴∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∴AB＝AC，
∴∴∠B＝∠C.
∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.
∴DF＝DE.
∴F在⊙D上．
∴∴AC是⊙D的切线．
∴法二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∴∵AB与⊙D相切，
∴DE⊥AB.
∴AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.
∴DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∴F在⊙D上，
∴AC与⊙D相切．
∴4.证明：连结OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∴∵⊙O与BC相切于M，
∴OM⊥BC.
∴∵正方形ABCD中，AC均分∠BCD，
∴又∵ON⊥CD，OM⊥BC，
∴OM＝ON.
∴N在⊙O上．
∴CD与⊙O相切．
∴5.(1)证明：过点D作DF⊥AC于F.
∴∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC.
∴AD均分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF.
∴∴点F在⊙D上．
∴∴AC是⊙D的切线．
∴在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，∴EB＝FC.
∴AB＝AF，
∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC，
∴AC＝5＋3＝8.。