苏教版数学高二- 选修2-3试题 1.4分类加法与分步乘法及简单应用

课时提升作业(一)
1.4 分类加法与分步乘法及其简单应用
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()
A.56
B.65
C. D.6×5×4×3×2
【解析】选A.要完成选择听讲座这件事,需要分六步完成,即6名同学逐个选择要听的讲座,因为每名同学均有5个讲座可选择,由分步乘法计数原理,6位同学共有5×5×5×5×5×5=56种不同的选法.
2.已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数为()
A.9
B.12
C.8
D.24
【解题指南】确定圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径,可以用分步乘法计数原理解决.
【解析】选D.完成表示不同的圆这件事有三步:第一步,确定a有3种不同的选取方法;第二步,确定b有4种不同的选取方法;第三步,确定r有2种不同的方法.由分步乘法计数原理,方程
(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有3×4×2=24个.
3.甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有()
A.4种
B.5种
C.6种
D.12种
【解析】选C.若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲,3种不同的传法;同理甲先传给丙,也有3种不同的传法,共有6种不同的传法.
4.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有()
A.24种
B.36种
C.42种
D.60种
【解析】选D.每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行,共有43=64种安排方案;三个项目都在同一个体育馆进行,共有4种安排方案.所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有
60种.
5.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为()
A.25
B.26
C.36
D.37
【解析】选C.设另两边长分别为x,y,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.
当y取11时,x=1,2,3,…,11,可有11个三角形;
当y取10时,x=2,3,…,10,可有9个三角形;……;
当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.
所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.
【误区警示】本题易因分类不全而导致错误.
6.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有()
A.18个
B.15个
C.12个
D.9个
【解析】选B.根据“六合数”的定义,首位数字为2,则第二位数字最大为4,此时对应的数字只有1个,为2400;当第二位数字为3时,后面两位分别为1,0,共有2种数字对应,分别为2310或2301;当第二位数字为2时,后两位有2,0或1,1对应,因此有3种数字对应,分别为2220,2202,2211;当第二位数字为1时,后两位分别为3,0或2,1,共有4种数字与之对应,分别为2103,2130,2121,2112;当第二位数字为0时,后两位数分别为4,0或2,2或1,3,对应5种数字,分别为2040,2004,2022,2013,2031,因此“六合数”的个数为15个.
【变式训练】已知a,b∈{0,1,2,…,9},若满足|a-b|≤1,则称a,b“心有灵犀”.则a,b“心有灵犀”的情形共有()
A.9种
B.16种
C.20种
D.28种
【解析】选D.当a为0时,b只能取0,1两个数;当a为9时,b只能取8,9两个数,当a为其他数时,b 都可以取3个数.故共有28种情形.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知集合A={0,3,4},B={1,2,7,8},集合C={x|x∈A或x∈B}则当集合C中有且只有一个元素时,C 的情况有种.
【解析】分两类进行,第一类,当元素属于集合A时,有3种.第二类,当元素属于集合B时,有4种.所以共有3+4=7种.
答案:7
8.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的
数字均不同的填法有种.
【解析】将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即2143,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应着3种填法,因此共有填法为3×3=9(种).
答案:9
9.已知a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},u=log a b,则u的不同取值个数为.
【解析】要保证u的取值不同,则有a=2时,b可取{1,2,3,4,5,6,7,8,9}共9种;当a=3时,b可取{2,4,5,6,7,8}共6种情况;当a=4时,b可取{2,3,5,6,7,8}共6种情况;当a=5时,b可取{2,3,4,6,7,8,9}共7种情况;当a=6时,b可取{2,3,4,5,7,8,9}共7种情况;当a=7时,b可取{2,3,4,5,6,8,9}共7种情况;当a=8时,b可取{2,3,4,5,6,7,9}共7种情况;当a=9时,b可取{2,5,6,7,8}共5种情况.所以u的不同取值个数为9+6+6+7+7+7+7+5=54.
答案:54
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.某出版社的7名工人中,有3人只会排版,2人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从7人中安排2人排版,2人印刷,有几种不同的安排方法?
【解析】首先分类的标准要正确,可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准,按照被选出的人数,可将问题分为三类:
第一类: 2人全不被选出,即从只会排版的3人中选2人,有3种选法;只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步乘法计数原理知共有3×1=3种选法.
第二类:2人中被选出一人,有2种选法.若此人去排版,则再从会排版的3人中选1人,有3种选法,只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步乘法计数原理知共有2×3×1=6种选法;若此人去印刷,则再从会印刷的2人中选1人,有2种选法,从会排版的3人中选2人,有3种选法,由分步乘法计数原理知共有2×3×2=12种选法.再由分类加法计数原理知共有6+12=18种选法.
第三类:2人全被选出,同理共有16种选法.
所以共有3+18+16=37种选法.
11.王华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读.
(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,则有多少种不同的带法?
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本,则有多少种不同的带法?
(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,则有多少种不同的带法?
【解析】(1)完成的事情是带一本书,无论带外语书,还是数学书、物理书,事情都已完成,从而确定应用分类加法计数原理,结果为5+4+3=12种.
(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理书中各选1本后,才能完成这件事,因此应用分步乘法计数原理,结果为5×4×3=60种.
(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理,有5×4=20种选法;同样,选外语书、物理书各1本,有5×3=15种选法;选数学书、物理书各1本,有4×3=12种选法.即有三类情况,应用分类加法计数原理,结果为20+15+12=47种.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.满足a,b∈,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为()
A.14
B.13
C.12
D.10
【解析】选B.对a进行讨论,为0与不为0,当a不为0时,还需将判别式与0比较.若a=0,则b=-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有4个;若a≠0,则方程ax2+2x+b=0有实根,需Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.此时(a,b)的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0),共9个.所以(a,b)的个数为4+9=13.
2.已知集合M∈{1,-2,3},N∈{-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是
()
A.18
B.10
C.16
D.14
【解析】选D.M中元素作为横坐标,N中元素作为纵坐标,则在第一、二象限内点的个数有
3×2=6;M中元素作为纵坐标,N中元素作为横坐标,则在第一、二象限内点的个数有4×2=8,共有6+8=14个.
【误区警示】误认为M中元素为横坐标,N中元素为纵坐标而未分类致误.
【变式训练】已知x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},则xy可表示不同值的个数为()
A.16
B.4
C.8
D.15
【解析】选D.完成xy这件事分两步走,第一步:从集合{1,2,3,4}中选一个数,共有4种选法;第二步:从集合{5,6,7,8}中选一个数,共有4种选法,共有4×4=16种选法.其中3×8=4×6,所以xy可表示的不同值的个数为15.
3.已知直线Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示出
的不同直线的条数是()
A.19
B.20
C.21
D.22
【解析】选D.当A或B中有一个为0时,则可表示出2条直线;当A,B均不为0时,A有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线,由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.
4.若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为()
A.27
B.36
C.39
D.48
【解析】选D.一位“良数”有0,1,2,共3个;两位数的“良数”十位数可以是1,2,3,两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个;三位数的“良数”有百位为1,2,3,十位数为0的,个位可以是0,1,2,共3×3=9个,百位为1,2,3,十位不是零时,十位、个位可以是两位“良数”,共有3×9=27个.根据分类加法计数原理,共有48个小于1000的“良数”.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为.
【解析】根据数的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,则剩余5,6,7,8四个数字,如图所示,8只能放在A,B两个位置,
若8放在B处,则可以从5,6,7三个数字中选一个放在C处,剩余两个按照大小放在A,D处,此时共有3种,同理若8放在A处,则可以从5,6,7三个数字中选一个放在D处,剩余两个按照大小放在B,C 处,此时也有3种,所以共有6种填法.
答案:6
6.圆周上有2n个等分点(n大于2),任取3个点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数
为.
【解析】先在圆周上找一点,因为有2n个等分点,所以应有n条直径,不过该点的直径应有n-1条,这n-1条直径都可以与该点形成直角三角形,即一个点可形成n-1个直角三角形,而这样的点有2n个,所以一共可形成2n(n-1)个符合条件的直角三角形.
答案:2n(n-1)
三、解答题(每小题13分,共26分)
7.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),a∈{1,2,3,4,5,6,7},b∈{1,2,3,4,5},这样的椭圆共有多少个?
【解题指南】根据分类加法计数原理依次讨论a,b的取值.
【解析】依题意按a,b的取值分为6类,第一类:a=2,b=1;第二类:a=3,b=1,2;第三类:a=4,b=1,2,3;第四类:a=5,b=1,2,3,4;第五类:a=6,b=1,2,3,4,5;第六类:a=7,b=1,2,3,4,5.由分类加法计数原理得:这样的椭圆共有1+2+3+4+5+5=20个.
8.某校高二共有三个班,各班人数如下表.
男生人数女生人数总人数
高二(1)班30 20 50
高二(2)班30 30 60
高二(3)班35 20 55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?
(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?
【解题指南】(1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事,因此应采用分类加法计数原理.(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理.
【解析】(1)从每个班选1名学生任学生会主席,共有3类不同的方案:
第1类,从高二(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;
第2类,从高二(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;
第3类,从高二(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.
根据分类加法计数原理知,从三个班中选1名学生任学生会主席,共有50+60+55=165种不同的选法.
(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有3类不同的方案:
第1类,从高二(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;
第2类,从高二(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;
第3类,从高二(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.
根据分类加法计数原理知,从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有30+30+20=80种不同的选法.。