高中数学《1-3-2函数的极值与导数》课件新人教A版选修
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极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x) 极小值．
>0，右侧f′(x) <0，右侧f′(x)
< 0 ，那么，f(x0)是 0 >，那么，f(x0)是
想一想：极值点与单调区间有什么关系？ 提示 极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的
转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增 区间的转折点．
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3. (2)函数的定义域为 R. 2x2＋1－4x2 2x－1x＋1 f′(x)＝ ＝－ . 2 2 2 2 x ＋1 x ＋1 令 f′(x)＝0，得 x＝－1，或 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ提示
一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还
要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反， 才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如 f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．
2．求函数f(x)极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)
f(1) ＝－1建立关于 a， b，c 的方程组．求出 a， b，c 值，再由
判定极值的方法判定其极值情况．
解
(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝± 1 是函数 f(x)的极值点， ∴x＝± 1 是方程 f′(x)＝0 的两根， 即 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根， 2b －3a＝0， 由根与系数的关系，得 c ＝－1 3a 又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 1 3 由①②③解得 a＝2，b＝0，c＝－2. ③ ① ②
【变式1】 求函数y＝x4－4x3＋5的极值．
解 y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)， 令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x y′ y (－∞，0) － 0 0 不是极值 (0,3) － 3 0 极小值－22 (3，＋∞) ＋
(1)极小值与极小值点 如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其 他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左 侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极
小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值与极大值点 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点
解
3 (1)函数 f(x)＝ ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， x
3 3 3x－1 f′(x)＝－ 2＋ ＝ ， x x x2 令 f′(x)＝0 得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f ( x)
(0,1) －
1 0 极小值3
(1，＋∞) ＋
1.3.2 函数的极值与导数
【课标要求】
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超 过三次)． 【核心扫描】 1．求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值(重难点)．
2．有关极值的正向或逆向问题的考查(难点)．
自学导引
1．极值点与极值
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一 定是函数的极值点． (2)导数为0的点可能是函数的极值点，如y＝x2，y′(0)＝0，x＝0
是极小值．导数为0的点也可能不是函数的极值点，如y＝x3，
y′(0)＝0，x＝0不是极值点．
题型一
求函数的极值
【例 1】 求下列函数的极值． 3 2x (1)f(x)＝x ＋3ln x； (2)f(x)＝ 2 －2. x ＋1 [思路探索] 求出 f′(x)和使 f′(x)＝0 成立的点，再结合定义 域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．
1 3 3 (2)f(x)＝2x －2x， 3 2 3 3 ∴f′(x)＝2x －2＝2(x－1)(x＋1)， 当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0， 当－1<x<1 时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数， ∴当 x＝－1 时，函数取得极大值 f(－1)＝1， 当 x＝1 时，函数取得极小值 f(1)＝－1.
的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧
f′(x)>0 ，右
侧 f′(x)<0 ，则把点b叫做函数y＝f(x)的 极大值点 ，f(b)叫做函数y ＝f(x)的 极大值 ，极小值点、极大值点统称为 极值点 ，极大值 和极小值统称为 极值 ．
想一想：若求得某点处的导数值为0，此点一定是极值点吗？
名师点睛
1．正确理解函数极值的概念
(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近 的大小情况． (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可 能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．
(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不
存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极 小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不 一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
x f′(x) f ( x)
(－∞，－1) －1 (－1,1) － 0 －3 ＋
1 0 －1
(1，＋∞) －
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行， 其重点是列表解题时注意考查导数为零的点的左、右两侧的导数 值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．
故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.
题型二 已知极值求参数值
【例2】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且 f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值； (2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由， 并求出极值． [思路探索] 先求f′(x)，再由函数f(x)在x＝±1处取得极值，且
>0，右侧f′(x) <0，右侧f′(x)
< 0 ，那么，f(x0)是 0 >，那么，f(x0)是
想一想：极值点与单调区间有什么关系？ 提示 极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的
转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增 区间的转折点．
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3. (2)函数的定义域为 R. 2x2＋1－4x2 2x－1x＋1 f′(x)＝ ＝－ . 2 2 2 2 x ＋1 x ＋1 令 f′(x)＝0，得 x＝－1，或 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ提示
一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还
要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反， 才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如 f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．
2．求函数f(x)极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)
f(1) ＝－1建立关于 a， b，c 的方程组．求出 a， b，c 值，再由
判定极值的方法判定其极值情况．
解
(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝± 1 是函数 f(x)的极值点， ∴x＝± 1 是方程 f′(x)＝0 的两根， 即 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根， 2b －3a＝0， 由根与系数的关系，得 c ＝－1 3a 又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 1 3 由①②③解得 a＝2，b＝0，c＝－2. ③ ① ②
【变式1】 求函数y＝x4－4x3＋5的极值．
解 y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)， 令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x y′ y (－∞，0) － 0 0 不是极值 (0,3) － 3 0 极小值－22 (3，＋∞) ＋
(1)极小值与极小值点 如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其 他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左 侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极
小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值与极大值点 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点
解
3 (1)函数 f(x)＝ ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， x
3 3 3x－1 f′(x)＝－ 2＋ ＝ ， x x x2 令 f′(x)＝0 得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f ( x)
(0,1) －
1 0 极小值3
(1，＋∞) ＋
1.3.2 函数的极值与导数
【课标要求】
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超 过三次)． 【核心扫描】 1．求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值(重难点)．
2．有关极值的正向或逆向问题的考查(难点)．
自学导引
1．极值点与极值
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一 定是函数的极值点． (2)导数为0的点可能是函数的极值点，如y＝x2，y′(0)＝0，x＝0
是极小值．导数为0的点也可能不是函数的极值点，如y＝x3，
y′(0)＝0，x＝0不是极值点．
题型一
求函数的极值
【例 1】 求下列函数的极值． 3 2x (1)f(x)＝x ＋3ln x； (2)f(x)＝ 2 －2. x ＋1 [思路探索] 求出 f′(x)和使 f′(x)＝0 成立的点，再结合定义 域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．
1 3 3 (2)f(x)＝2x －2x， 3 2 3 3 ∴f′(x)＝2x －2＝2(x－1)(x＋1)， 当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0， 当－1<x<1 时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数， ∴当 x＝－1 时，函数取得极大值 f(－1)＝1， 当 x＝1 时，函数取得极小值 f(1)＝－1.
的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧
f′(x)>0 ，右
侧 f′(x)<0 ，则把点b叫做函数y＝f(x)的 极大值点 ，f(b)叫做函数y ＝f(x)的 极大值 ，极小值点、极大值点统称为 极值点 ，极大值 和极小值统称为 极值 ．
想一想：若求得某点处的导数值为0，此点一定是极值点吗？
名师点睛
1．正确理解函数极值的概念
(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近 的大小情况． (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可 能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．
(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不
存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极 小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不 一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
x f′(x) f ( x)
(－∞，－1) －1 (－1,1) － 0 －3 ＋
1 0 －1
(1，＋∞) －
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行， 其重点是列表解题时注意考查导数为零的点的左、右两侧的导数 值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．
故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.
题型二 已知极值求参数值
【例2】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且 f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值； (2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由， 并求出极值． [思路探索] 先求f′(x)，再由函数f(x)在x＝±1处取得极值，且