平面向量的基本定理(B卷)-2017-2018学年高一数学同步单元双基双测“AB”卷()含解析

班级 姓名 学号 分数
《必修四专题八平面向量的基本定理》测试卷（B 卷）
(测试时间：120分钟 满分:150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1。

【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】如图,在ABC ∆中，
D 为线段BC 的中点， ,,
E
F
G 依次为线段AD 从上至下的
3个四等
分点，若4AB AC AP +=，则（ )
A 。

点P 与图中的点D 重合 B. 点P 与图中的点E 重合 C 。

点P 与图中的点F 重合 D 。

点P 与图中的点G 重合 【答案】C
2。

已知向量)2,1(),3,2(-==b a ,若b n a m +与b a 2-共线，则=n
m ( )
A ．21
B ．2
C ．-2
1
D ．2-
【答案】C 【解析】
231-2≠,所以a
与b 不共线,那么当b n a m +与b a 2-共线时，21-=n m ,即得2
1
-=n m ，故选C. 3. 已知点A(1,3)，B(4,−1),则与向量AB
⃑⃑⃑⃑⃑ 同方向的单位向量为( ） A. (35,−45) B. (45,−35) C. (−35,45) D. (−45,35
) 【答案】A
【解析】试题分析：AB
⃑⃑⃑⃑⃑ =(4−1,−1−3)=(3,−4),所以与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 同方向的意念向量为e =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=15(3,−4)=(35,−45
)，故选A 。

4
已知→
a =(-2，1)，→
b =（x ，21
-），且→a //→b
，则x =( ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
【答案】A
【解析】因为→
a //→
b ,直接由共线定理知,
x =-⨯-)2
1
(2，即1=x ，故
应选A 。

5。

已知向量)3,1(-=a ，)4,1(-+=x b ，且)(b a +∥b ，则=x ( )
A.3 B 。

31 C.3- D 。

31-
【答案】B 【解析】
()
1
(,1),//(1)(4)03
a b x a b b x x x +=-∴+=-+--=∴=。

6.已知向量p ＝(2，－3),q ＝(x,6),且p ∥q ，则｜p ＋q |的值为（ )
A. 5 B 。

13
C ．5
D ．13
【答案】B
【解析】由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒｜p ＋q ｜＝｜（2，－3)＋(－4,6)|＝｜(－2，3)｜＝
13.
7.【2018届河北省石家庄二中高三八月模拟】已知点D 是ABC ∆所在平面内的一点,且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+，则λμ-= ( ) A. 6 B 。

6-
C 。

3
2
-
D.
3-
【答案】D
【解析】由题意作图：C 是线段BD 的中点.
()
222AD AB BD BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+AB .
又AD AB AC λμ=+，由平面向量基本定理可知： 12λμ=-=，，
∴3λμ-=-. 故选:D.
8.如图,正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．43
B ．53
C ．158
D ．2
【答案】B
9.已知平面向量a =（2，-1）,b =(1，1），c =（—5，1），若()a kb +∥c ，则实数k 的值为（ ) A ．2 B 。

1
2 C.114
D.114-
【答案】B
【解析】∵a =21-（，），b =11（，）,
∴a kb +＝2111()()(21)k k k -++-，
，＝，，又 c =51-（，），且()a kb +∥c ，∴12510k k ⨯+--⨯-=（）（）（），解得：k =
1
2
．故
选B ．
10。

已知△ABC 的顶点分别为A （2，1)，B （3,2),C （－3，－1)，BC 边上的高为AD ，则点D 的坐标为( ) A ．(－95
，75
） B ．(92
，－75
)
C ．(95
，75
) D ．(－92
，－75
）
【答案】C
11.【2018届江西省六校高三上学期第五次联考】在等腰直角
ABC 中, ,AC BC D =在AB 边上且满足： ()1CD tCA t CB =+-,若30ACD ︒∠=，
则t 的值为（ ） A.
31
2
- B 。

31- C 。

33
2
- D 。

31
2
+ 【答案】C 【解析】
()1CD tCA t CB =+-，∴A ,B ，D
三点共线，
∴由题意建立如图所示坐标系,设AC=BC=1，则C(0，0)，A(1，0）,B(0，1),
直线AB 的方程为x+y=1，直线CD 的方程为3
3
y x =， 故联立解得,
3331
,22x y --==，故3331,22D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 故()()3331,
,1,0,0,12
2CD CA CB ⎛
⎫
--=== ⎪
⎪⎝⎭
, 故()()1,1tCA t CB t t +-=-，故()3331,
,12
2t t ⎛⎫-
-=- ⎪
⎪⎝
⎭
,故33
2t -=。

本题选择C 选项.
12。

如图，在△ABC 中， 13AN NC =，P 是BN 上的一点，
若29
AP m AB AC −−→
−−→
−−→
=+,则实数m 的值为( ）
A ．1
B ．3
1 C ．19
D ．3
【答案】C
第II 卷(共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

)
13.【2017届西藏自治区拉萨中学高三第八次月考】已知()1,3a =，
()2,b k =-，且()()2//3a b a b +-，则实数k =__________．
【答案】—6
【解析】解析：因()()1,3,2,a b k ==-,故()23,32a b k +=-+，
()35,9a b k -=-，
由题设可得()()39532k k --=+，解之得6k =-,应填答案6-。

14.已知点()1,2P -，线段PQ 的中点M 的坐标为()1,1-．若向量PQ 与向量(),1a λ=共线，则λ= _____________． 【答案】23
-
【解析】
由题设条件，得(3,4)Q -，所以(4,6)PQ =-．因为向量PQ 与向量(),1a λ=共线，所以416λ⨯=-，所以23
λ=-．
15。

【2018届河南省中原名校高三第三次考评】向量a ， b ，
c
在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+（λ, R μ∈）
，则λ
μ
=__________．
【答案】4
【解析】以向量,a b 的公共点为坐标原点,建立
如图直角坐标系
可得116213a b c =-==--（，），（，），（，）
161113{
32c a b R λμ
λμλμλμλμ
--+=+=-+--∈∴-+＝（，）（，）（，），＝ ，解之得
1
22
λμ=-=-且，
因此，
4λ
μ
= 16.已知梯形ABCD 中，AB//DC , AD =DC =CB =1
2
AB , P 是BC 边上一点，且AP
⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAD ⃑⃑⃑⃑⃑ .当
P
在
BC
边上运动时,
x +y
的最大值是
________________． 【答案】32
【解析】设BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +t(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD
⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =(1−1
2
t)AB
⃑⃑⃑⃑⃑ +tAD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，故x +y =1+12t ≤3
2
．
三、解答题 (本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点
(,)
P x y 在
ABC
∆三边围成的区域（含边界）上，且
(,)OP mAB nAC m n R =+∈。

（1）
若23
m n ==，求||OP ；
(2）用,x y 表示m n -,并求m n -的最大值。

【答案】（1）
(2）m n y x -=-,1. 【解析】 （1）
(1,1),(2,3),(3,2)A B C
(1,2)AB ∴=,(2,1)AC =
OP mAB nAC =+
又23
m n ==
22
(2,2)33
OP AB AC ∴=
+= ||=22OP ∴（2）
OP mAB nAC =+
(,)(2,2)x y m n m n ∴=++
即22x m n
y m n
=+⎧⎨
=+⎩ 两式相减得：m n y x -=-
令y x t -=,由图可知,当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.
x
y
Ｃ
Ｂ
Ａ
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
23–1–2–3
O
18。

（本小题12分）已知向量()()13cos ,sin 02,,22a b αααπ⎛
⎫
=≤<=- ⎪
⎪⎝⎭
,且a 与b 不共线。

(1)设,,OA a OB b OC OA OB ===+，证明：四边形OACB 为菱形； （2）当两个向量4a b +与4a b -的模相等时,求角α。

【答案】（1)证明见解析;(2） 6
πα=或76
π.
试题解析:
(1）证明：∵OC OA OB =+,∴四边形OACB 为平行四边形， 又1OA OB ==，∴四边形OACB 为菱形. （2）解：由题意44a b
a b
+=-,得()()2
2
44a b a b +=-.又由(1)知 ,
220a b -=,
∴0a b ⋅=，∴13022cos sin αα-+
=，得3
3
tan α=
.又02απ≤<,∴6πα=或76
π。

19。

(本小题12分）在平行四边形ABCD 中，E,G 分别是BC,DC 上的点且BE BC 3=，CG CD 3=。

DE 与BG 交于点O. （1）求DE OE :；
(2）若平行四边形ABCD 的面积为21，求BOC ∆的面积。

【答案】（1)
71=
DE
OE ;（2）2
3
=∆BOC S 【解析】(1)设b AD ,a AB ==，据题意可得)(=∈R λDE λOE b a DE 3
2
-=,
从而有b λ
a λ
b a λOE 32-=)32-(=.由G ,O ,B 三点共线，则存在实数m ，使
得EG m EB m EO )-1(+=，即
)31-32)(1-(+31=])-1(+-[=a b m b m EG m EB m OE b m a m 3
2
-3+3-1=，由平面向量基本定理，13
2323
3m m λλ-⎧
=⎪⎪⎨
--⎪=⎪⎩解得71
=λ,7
1=DE OE ；
(2）由（1）可知71=
ΔΔBDC
BOC h
h
,所以2
3221717171=⨯==⇒=∆∆∆∆BDC BOC BDC BOC S S S S 。

20。

（本小题12分）已经向量()4,3AB =，()3,1AD =--，点A ()1,2--. （1)求线BD 的中点M 的坐标；
（2）若点P ()2,y 满足()PB BD R λλ=∈,求y 和λ的值。

【答案】(1))1
,12
M ⎛--
⎝ （2）17λ=，37
y = 【解析】（1）设点B 的坐标为()1
1
,y x ，∵()4,3AB = ，A ()1,2--，
∴()1
1
1,2y x ++=()4,3。

∴
{
111423x y +=+=,解得{
1131
x y ==,
∴点()3,1B ,同理可得()4,3D --。

设线段BD 的中点为()2
2
,y x ，2
341
22
x
-==-，21312y -=
=-, ∴)1
,12
M ⎛--
⎝ (2)()()()3,12,1,1PB y y =-=-,()())4,33,17,4BD =---=--， ∵,PB BD λ= ∴()()1,17,4y λ-=--. 即{
1714y λ
λ
=--=-,得1
737
y λ=-=⎧⎨⎩.
21。

（本小题12分）在平面直角坐标系中,给定ABC ∆，点M 为BC 的中点，点N 满足2=AN NC ，点P 满足,==AP AM BP BN λμ. （1）求λ与μ的值；
(2)若A B C 、、三点坐标分别为(2,2),(5,2),(3,0)--，求P 点坐标。

【答案】（1）45
3
5⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
λμ；（2）P 点的坐标为62(,)55. 【解析】（1）设,==BM a CN b
则3,2=+=--=+AM AC CM a b BN a b
3==--AP AM a b λλλ， 2==+BP BN a b μμμ，
故(2)(3)=-=+++BA BP AP a b λμλμ 而23=+=+BA BC CA a b
由平面向量基本定理得2233+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得45
35⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
λμ
22.（本小题12分）设G 为ABC ∆的重心,过G 作直线l 分别交线段
,AB AC （不与端点重合)于Q P ,．若,AP AB AQ AC λμ==．
（1）求11λ
μ
+的值；
（2)求AC AB ,的取值范围． 【答案】（1)
1
1
3λ
μ+
=；（2） 41,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

【解析】
（1)连结AG 并延长交BC 于M ，则M 是BC 的中点，设
c AC b AB ==,,则
)(21)(21c b AC AB AM +=+=
， )(3
1
32c b AM AG +== ①
又,AP AB b AQ AC c λλμμ===⋅=⋅， ②
b c u AP AQ PQ λ-=-=∴，c b b c b AP AG PG 3
1)3
1()(3
1+-=-+=-=λλ
Q G P ,, 三点共线，故存在实数t ，使PQ t PG =，11
()33
b c t c t b λμλ∴-+=- 1
313
t t λλμ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，
消t 得:13λλμ
-=-，即113λμ
+=
或者另一种解法由②式得1
,
b AP λ
=1
c AQ
μ
=
， ③
将③代入①得11
33AG AP AQ λμ=
+．Q G P ,, 三点共线, 故11
133λμ+=,即
1
13λ
μ
+
=．。