2019海淀一模试题(文科)--评分标准

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数 学 （文科） 2019.04 阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. A
2. C
3. D
4. D
5.B
6. B
7. C
8. B 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 1 10. 6,
11. 48
12. (1,2)-（答案不唯一） 13.
,2
14. 2,[0,)+∞
三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15.（共13分）
解：（I ）因为522a a +=，2d =
所以11252102a d a +=+=， ---------2分
所以14a =- ---------4分 所以26n a n =- ---------6分
(II) 21()52
m m a a m
S m m +=
=- ---------9分 又912a =，1524a = ---------10分
因为915,,m S a a 是等比数列，
所以2915()m a S a = ---------11分
所以 2560m m --= ---------12分 6,1m m ==-
因为*m ∈N ，所以6m = ---------13分
解：（Ⅰ）π
(0)sin()cos014
f a =+= ---------1分
12
a += ---------2分 所以1a =- ---------3分
（Ⅱ）()cos()cos 14
f x x x π=--
(2sin 2cos )cos 1x x x =+- ---------5分
22sin cos 2cos 1x x x =+-
sin 2cos 2x x =+ ---------8分
π
)4x =+ ---------9分
由图象得0ππ242x += ---------10分 所以0π8
x = ---------11分 函数()f x 的单调增区间为31
(ππ,ππ)88
k k -+，k ∈Z ---------13分
解：（I ）证明：因为三棱柱
111ABC A B C -中，11
A B AB
又因为,D E 分别为
1111,AC B C 的中点，所以DE 11A B ---------1分 于是DE
AB
---------2分
AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF 所以AB
平面DEF
---------4分
(II) 在三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC
所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥ ---------5分 又AC BC ⊥
1BC
CC C =，1,BC CC ⊂平面11C BC B
所以AC ⊥平面11C BC B ---------7分
EF ⊂平面11C BC B
所以AC EF ⊥ ---------8分 又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，
所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ 而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C =，1,AC CB ⊂平面1ACB 所以EF ⊥平面1ACB
---------10分
又EF ⊂平面DEF
所以平面1ACB ⊥平面DEF
---------11分 （Ⅲ） 1111
2
33
E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅=
---------14分
解：(Ⅰ) 人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，
人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省 ---------4分
(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为
事件A ---------5分 在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%， 则3
()10
P A =
---------7分
（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B ---------8分
新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为
1234,,,a a a a ，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北，即12,a a
---------10分
从4个地区中任取2个地区共有6种情况，
()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a
其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，
()()()()()1213142324,,,,,,,,,a a a a a a a a a a ---------12分
则5
()6
P B =
---------13分
解：（Ⅰ）当6,
0a x =>时，32
15()6132
f x x x x =-+- ---------1分
所以2'()56(2)(3)f x x x x x =-+=--， ---------2分 令'()0,f x =得2x =，或3x =. ---------3分 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：
---------5分 所以()f x 在(0,+)∞上的单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)
----------6分
(Ⅱ)当0a <时，
若0x <，则32
15()132
f x x x ax =
---， 所以2'()5(5)f x x x a x x a =--=-- ----------7分 因为0,0x a <<，所以'()0f x > ----------8分 若0x >，则32
15()132
f x x x ax =
-+-， 所以2'()5f x x x a =-+ ----------9分 令'()0,f x = 2540a ∆=->，
所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x < ----------10分 不妨设20x >，所以当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：
----------12分
因为函数()f x 图象是连续不断的，
所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值 ----------13分
解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a = ----------1分
因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，
所以b c = ----------2分 又222b c a += ----------3分
所以b c = ，
所以椭圆方程为22
142
x y +=
----------4分
（Ⅱ）方法一： 设(,)m m M x y 所以1
m
MP m y k x =
-，=2m AM m y k x + ----------5分
因为AM 与MN 垂直
1AM MP k k ⋅=-
----------6分
22
11214
2m
m m m
m m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩ ----------7分
m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20
m m x y =-⎧⎨
=⎩（舍） ----------8分
所以AM 分 方法二： 设(,)m m M x y ， 因为AM 与MN 垂直，
所以点M 在以AP 为直径的圆上， ----------5分 又以AP 为直径的圆的圆心为1
(,0)2-，半径为
32，方程为22
19()24
x y ++= ----------6分
22
22
19()24
14
2m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ----------7分
m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20
m m x y =-⎧⎨
=⎩（舍） ----------8分
所以AM 分 方法三：
设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+ ，其中 0k ≠
2
2
(2)14
2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222(12)8840k x k x k +++-= ----------5分
当0∆>时，22
84
12A M k x x k -⋅=+
得2
22412M k x k -=+ ，2421
M
k y k =+ ----------6分 显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.
因为AM 与MN 垂直，
所以2
2
421=24112MP
k
k k k k
+
=--+1k
=- ----------7分 得212k =
，2
k =， 0M x = ----------8分
所以2M AM += ----------9分 （Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0) ----------10分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，
由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，
由 22
1,
240
x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，
显然，0∆>，则12222m y y m -+=
+，122
3
2
y y m -=+， ----------11分
因为直线PQ 与AM 平行，所以1
12
PQ AM y k k x ==
+， 则PQ 的直线方程为1
1(1)2
y y x x =
-+， 令52x =，则1
11133222(3)
y y y x my ==++，即1135(,
)22(3)y Q my + 1
211221
12232(3)263(3)(23)2
NQ y y my my y y y k my my x -++-=
=
+--， 直线NQ 的方程为1221
2221221263()2639
my y y y y y x x m y y my my +--=
-+-- ----------12分
12211221222212211221263(263)(1)
26392639
my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=
-++--+--
12211221
2212211221263215326392639
my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=
-+--+--
令0y =，得1221
1221
2153263my y y y x my y y y +-=
+- ----------13分
因为121223()my y y y =+，故2
2
1829y x y =
=， 所以直线NQ 恒过定点(2,0). ----------14分。