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解：① 设鱼的原重为a，第一年增长率 b=200%=2，每年的鱼的重量依次为a1，a2， a3，…an…
a1 a(1 b) 3a
a2

a1 (1
b) 2

3a(1
2) 2

6a
a3

a2 (1
b) 4

6a(1
2) 4

9a
a4

a3 (1
b) 8

9a(1
2) 8

想：下面一列数中，相邻两数的差是 1、1、2、2、3、3、4、4、…… 第20个拐弯处的数是 1+2×(1+2+……+10)=111
例4
:
求和 S n

1 1.3

1 3.5

(2n
1 1)( 2n
1)
通项 an

1 2
(1 2n 1

1) 2n 1
Sn

1 2
(1
1 3
解：我们先退到开始的简单情况来推算，从中归纳 出递推关系.
1月：只有1对小兔。 2月：长成一对大兔，但尚不会生殖. 3月：这对大兔生了一对小兔，这时共2对兔子。 4月：大兔又生了一对小兔，而上月出生的小兔正在长大，这
时共3对兔子。 5月：这时已有两对大兔可以生殖（原来的大兔和第三个月出
有3个图形， 周期为3
□○△ □○△□○△□○△ □○△ □○
15÷3=5（组）
答:第15个是△
16÷3=5（组）……１（个） 答:第16个是□
17÷3=5（组）……2（个） 答:第17个是○
所给数÷周期所得结果没有余数则题中 所求为印章的最后一个；若余数为1，题 中所求是印章的第一个；若余数为2，题 中所求是印章的第二个；若余数为3，题 中所求是印章的第三个……
数. (1)写出 a45 的值;
(2)写出 aij 的计算公式;
7 12 ( ) ()()() ()()()
() () () () () ()
… … …
a2j a3j a4j
… … …
(3)证明正整数 N 在该 … … … … … … … …
等差数阵中的充要条件是 ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij … 2N+1 可以分解成两个不 … … … … … … … …
综上所述, 正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积.
例6：
某养鱼场，据统计测算，第一年鱼的重 量增长率为200%，以后每年的增长率均为 前一年的一半。
（1）饲养四年后，鱼的重量预计是原来 的多少倍？
（2）若因环境污染等因素的影响，每年 约损失预计重量的10%，那么经过几年后， 总的鱼的重量开始下降。
17 25 17 16 d 2
d 2
Sn

25 n

n (n 1) ( 2) 2

n2

26 n
( n 13 ) 2 169
n 131 时 Sn 大 169
法2: an 25(n1)(2)0 n13.5 S13最大S13169
生的小兔），于是生了两对小兔，这时共有5对兔子。
斐波那契数列（Fibonacci，1170～1250，是 意大利数学家）.由于数列｛un｝具有许多重 要的奇特性质.因而受到数学家们的极大关注， 并把数列｛un｝取名为斐波那契数列.
3 .在一个圆周上按下面规则标上一些数：第一次先 把圆周二等分，在两个分点标上二分之一、三分之 一，第二次把2段圆弧二等分，在两个分点标上两个 相邻分点数之和，第三次把4段圆弧分别二等分，并 在4个分点旁边标上两个相邻分点数之 和，。。。。。。
22
P
1 2n1
P
(2 1 )P 2n1
(2)
S5 T5
5a 5 4 d

5a

2 5 4
d

8 7
22
d 1a 6
n
n
a n bn a (n 1) a [a (n 1) a ]
6
12
12 n a (n 1)
谢谢！
35

1 3

1 5

1 2n 1

1) 2n 1
1 (1 1 ) n 2 2n 1 2n 1
34
n1
9:
Sn

1
22

23


2n
an

(n
1) 1 2
Sn
1
3 22

4 23


n1 2n
1 13 4
1 n1
2 Sn

2

23

24


2n

2
n
a 2
11.25a
所以四年后，鱼的重量预计是原来的
11.25倍。
（2）设第n年开始，总的鱼的重量开始下降， 每年的鱼的重量依次为b1,b2,b3,…,bn…
由已知得：
b1 a(1 b)(1 10 %),
b
b2

b1 (1
)(1 10 %), 2
b3
b2 (1
b )(1 10 %) 4
1

Sn

3
n3 2n
(S n

1
1 2

3
1 4

5
1 8


(2n
1) 1 2n
)
(S n

3

2n 2n
3)
例5：在等差数列{an}中，a1=25，S9= S17问 这个数列前多少项和最大？并求出这个最
大值。
解法1：
S9

S 17
,9
25

98 2
d
4、 二(1)班同学参加学校拔河比赛，他们 比赛的队伍按“三男二女”依次排成一队， 第26个同学是男还是女？
◆例2 50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都 配上配套的钥匙，至多要试多少次？
49＋48＋…＋3＋2＋1
高
= （49＋1）×49÷2
斯
= 1225次
求
答：至多试1225次。
和
公式：（首项＋末项）×项数÷2
第六年开始，即经过5年后，鱼的重量 开始下降。
例7
甲乙两企业第一年的销售量均为P（2000 年为第一年）根据市场分析，甲企业前n年 总 量销 比售前量一为年的P2 (销n2 售n量2)多；乙P 企业第n年的销售
2 n1
（1）求甲乙两企业第n年销售量表达式。
（2）根据甲乙两企业所在地的市场规律， 如果某企业的年销量不足另一企业的20%， 则该企业被另一个企业收购，问哪一个企 业将被收购？这个情况将在哪一年出现， 并说明理由。
数列
知识 结构
数列
通项an 前n项和Sn 等比数列
等差数列
an
Sn
S1(n1) Sn1(n2)
定义 通项 前n项和 性质
（一）知识点归纳： 1、数列及数列的通项公式。 2、等差数列及通项公式，等差数列前n
项和公式。 3、等比数例及其通项公式，等比数列前
n项和公式。 4、数列的求和。
法3: S9 S17 a10 a11 a12 a13 a14
a15 a16 a17 0 a13 a14 0 a13 > 0 a14 < 0 S13最大
(
5.下表给出一个等差数阵: 其中每行每列都是等差数列, aij
表示位于第 i 行, 第 j 列的 4 7 ( ) ( ) ( ) … a1j …
10个盒子，44只乒乓球，能不能把44只乒乓球放到盒 子里，使每个盒子里的乒乓球数都不相等？
1＋2＋3＋…＋9＋10=55
55＞44
所以，无论怎么放都不能把44只乒乓球数 目不相等的放入10个盒子里。
例3 假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能 生下雌雄一对小兔，此后每月生下一对小兔. 如果养了初生的一对小兔，问满一年时共可得 多少对兔子？
是 1 的正整数之积;
(1)解: 依题意 a15=4+(5-1)(7-4)=16, a25=7+(5-1)(12-7)=27, ∴a45=16+(4-1)(27-16)=49.
(2)解: 依题意 a1j=4+(j-1)(7-4)=3j+1, a2j=7+(j-1)(12-7)=5j+2,
∴aij=3j+1+(i-1)[(5j+2)-(3j+1)]=2ij+i+j.
二、典例分析
例1 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几 部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分 成几部分？
有一个十层台阶，若每一次可以上一层或 两层，那么登上十层台阶共有多少种不同 的办法？
1 找出下图图形排列的规律，根据规律算出 第15个图形是什么？第16个呢?第17个呢?
⑴□○△□○△□○△□○△……
当第八次标完数以后，圆周上所有已标的数的和是 多少？
解：设第一次所标的两数分别为a、b，
S1＝a＋b，
S2＝S1+2S1＝3S1
S3=S2+2S2＝3S2

…

Sn=
将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，2处 拐一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个 弯…，问拐第20个弯的地方是哪个数。
解：（1）甲企业第n年销售量为an，乙企业 第n年销量为bn，a1=b1=P
P
n1
an SnSn1(n2)
P (n1) an P(n1) (n2)
SnSn11 2(n2n2)1 2[n (1)2(n1)2] P(n1)
bn
P1P 1
2
余数小于除数。
2.找出下图圆形排列的规律，根据规律算 出第16个图形是什么？
⑴□△△□△△□△△□△△……
⑵☆○○△☆○○△☆○○△……
周期为3 16÷3=5（组）……1（个） 答：第16个图形是□ 16÷4=4（组）
周期为4 答：第16个图形是△
3、国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、 绿、紫”的顺序挂，一共挂了300只彩灯， 第57只彩灯是什么颜色？
(3)证: 必要性: 若 N 在等差数阵中, 则存在正整数 i, j 使得:
N=2ij+i+j.
则有 2N+1=4ij+2i+2j+1 =(2i+1)(2j+1). 即 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积;
充分性: 若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积, ∵ 2N+1 是奇数, ∴它必为两个不是 1 的奇数之积. 即存在正整数 m, n 使得: 2N+1=(2m+1)(2n+1). ∴2N+1=4mn+2m+2n+1. ∴N=2mn+m+n=amn. 即 N 在等差数阵中.

bn

b n 1 (1
b )(1 10 %) 2 n1

b n 1 (1
1 2 n2
) 9 10
若 bn
< bn1
b n 1 (1
1 ) 9 2 n 2 10
< b n1
1 <1 2 n2 9
2n2 > 9 n 2 4 n 6