中考数学专项复习：与中点有关的辅助线作法 课件
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2
3. 如图，在△ABC中，D为AC中点，过点D作DE⊥AC交CB的延长线于 点E，交AB于点F，若BF＝3，F为DE中点，则AF的长为___9_____．
第3题图
4. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边上的中线AD垂直，垂 足为G，已知BE＝AD＝4，则AC＝___3__5___．
专项复习 与中点有关的辅助线作法
一、构造中位线
情形1 同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线 方法解读 情形1 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE. 结论：DE∥BC；DE＝ 1 BC；△ADE∽△ABC
2
1. 如图，点O为▱ABCD的对角线AC和BD的交点，点E为边BC的中点，
BD CD BDE CDH , ED HD
∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE＝CH，∠BED＝
∠H.
H 第9题图
∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠EAF＝∠H， ∴AC＝CH，∴AC＝BE.
H 第9题图
10.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边 上的点，GE⊥EF，若AG＝1，BF＝2，求GF的长．
9. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，连接BE并 延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE. 证法一(倍长中线)： 证明：证法一：如图，延长AD至点G， 使AD＝DG，连接BG， ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△ACD和 △GBD中，
G 第9题图
AD GD
1
连接AE交BD于点F，则OF∶BD的值为____6____．
第1题图
2. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE， AF，EF.若菱形ABCD的面积为24，则△AEF的面积为____9____．
第2题图
情形2 图形中出现中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线
方法解读 情形2 如图，在△ABC中，点D为AB边的中点，延长BC至点E，使得 CE＝BC，连接AE. 结论：CD∥EA；CD＝ 1 EA；△BCD∽△BEA
第5题图
6. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC的中点， 点E，F分别在AB，BC上，且∠EDF＝90°，EF＝3 2 ，则△DEF的周 长为_6___3__2__．
第6题图
情形2 遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合 一”解题 方法解读 情形2 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为底边BC的中点，连接 AD. 结论：AD⊥BC；∠BAD＝∠CAD；BD＝DC.用途： 解决线段位置关系，角度间数量关系．
第8题图
三、倍长中线或类中线构造全等三角形
方法解读 1. 倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边的中 线． 辅助线作法：延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE. 结论：△ACD≌△EBD.
2. 倍长类中线如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AB上一点， 连接DE. 辅助线作法：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF. 结论：△BDE≌△CDF.
解：如图，延长GE至点H， 使EH＝GE，连接BH， ∵E为AB边的中点，∴AE＝BE，在 △GEA和△HEB中，
第10题图 H
GE HE
∴A△EGEGAEBEA≌H△EBH, EB(SAS)，∴GA＝HB＝1，∴∠A＝∠EBH，∵四边形 ABCD为正方形，∴∠A＝∠EBH＝∠EBC＝90°，∴∠EBH＋∠EBC ＝180°，即F，B，H三点共∵GE⊥EF，∴GF＝FH＝3.
第10题图 H
第4题图
二、构造中线
情形1 遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线 方法解读 情形1 如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接 结CD论. ：CD＝ 1 AB
2
5. 两个含30°角的直角三角形按如图所示的方式摆放，E为AB的中点， 连接DE.若AC＝2，则DE的长为____7____．
∴C△DADACBCDD≌G△DBG, BD(SAS)，∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.∵AF＝EF， ∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BEG，∴∠BEG＝∠G，∴BE＝BG， ∴AC＝BE.
G 第9题图
证法二(倍长类中线)： 证法二：如图，延长ED至点H，使DH＝DE，连接CH， ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDE和 △CDH中，
7. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝74°，D是BC的中点， DE⊥AB于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，则∠F的度数为 ___5_3_°___．
第7题图
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝4 3
43
D为BC的中点，AE＝
1 3
AC，则△DEC的面积为____3____．
3. 如图，在△ABC中，D为AC中点，过点D作DE⊥AC交CB的延长线于 点E，交AB于点F，若BF＝3，F为DE中点，则AF的长为___9_____．
第3题图
4. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边上的中线AD垂直，垂 足为G，已知BE＝AD＝4，则AC＝___3__5___．
专项复习 与中点有关的辅助线作法
一、构造中位线
情形1 同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线 方法解读 情形1 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE. 结论：DE∥BC；DE＝ 1 BC；△ADE∽△ABC
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1. 如图，点O为▱ABCD的对角线AC和BD的交点，点E为边BC的中点，
BD CD BDE CDH , ED HD
∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE＝CH，∠BED＝
∠H.
H 第9题图
∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠EAF＝∠H， ∴AC＝CH，∴AC＝BE.
H 第9题图
10.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边 上的点，GE⊥EF，若AG＝1，BF＝2，求GF的长．
9. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，连接BE并 延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE. 证法一(倍长中线)： 证明：证法一：如图，延长AD至点G， 使AD＝DG，连接BG， ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△ACD和 △GBD中，
G 第9题图
AD GD
1
连接AE交BD于点F，则OF∶BD的值为____6____．
第1题图
2. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE， AF，EF.若菱形ABCD的面积为24，则△AEF的面积为____9____．
第2题图
情形2 图形中出现中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线
方法解读 情形2 如图，在△ABC中，点D为AB边的中点，延长BC至点E，使得 CE＝BC，连接AE. 结论：CD∥EA；CD＝ 1 EA；△BCD∽△BEA
第5题图
6. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC的中点， 点E，F分别在AB，BC上，且∠EDF＝90°，EF＝3 2 ，则△DEF的周 长为_6___3__2__．
第6题图
情形2 遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合 一”解题 方法解读 情形2 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为底边BC的中点，连接 AD. 结论：AD⊥BC；∠BAD＝∠CAD；BD＝DC.用途： 解决线段位置关系，角度间数量关系．
第8题图
三、倍长中线或类中线构造全等三角形
方法解读 1. 倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边的中 线． 辅助线作法：延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE. 结论：△ACD≌△EBD.
2. 倍长类中线如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AB上一点， 连接DE. 辅助线作法：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF. 结论：△BDE≌△CDF.
解：如图，延长GE至点H， 使EH＝GE，连接BH， ∵E为AB边的中点，∴AE＝BE，在 △GEA和△HEB中，
第10题图 H
GE HE
∴A△EGEGAEBEA≌H△EBH, EB(SAS)，∴GA＝HB＝1，∴∠A＝∠EBH，∵四边形 ABCD为正方形，∴∠A＝∠EBH＝∠EBC＝90°，∴∠EBH＋∠EBC ＝180°，即F，B，H三点共∵GE⊥EF，∴GF＝FH＝3.
第10题图 H
第4题图
二、构造中线
情形1 遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线 方法解读 情形1 如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接 结CD论. ：CD＝ 1 AB
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5. 两个含30°角的直角三角形按如图所示的方式摆放，E为AB的中点， 连接DE.若AC＝2，则DE的长为____7____．
∴C△DADACBCDD≌G△DBG, BD(SAS)，∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.∵AF＝EF， ∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BEG，∴∠BEG＝∠G，∴BE＝BG， ∴AC＝BE.
G 第9题图
证法二(倍长类中线)： 证法二：如图，延长ED至点H，使DH＝DE，连接CH， ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDE和 △CDH中，
7. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝74°，D是BC的中点， DE⊥AB于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，则∠F的度数为 ___5_3_°___．
第7题图
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝4 3
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D为BC的中点，AE＝
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AC，则△DEC的面积为____3____．