九年级上册数学人教版一元二次方程

九年级上册数学人教版一元二次方程
一元二次方程学习资料。

一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 举例。

- 方程x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3，它是一元二次方程。

- 而方程x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它不是整式方程（分母中含有未知数x）。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥slant0)的方程，可以直接开平方求解。

- 例如，方程x^2=9，解得x=±3。

- 对于方程(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，即x = 1±2，所以x = 3或x=-1。

2. 配方法。

- 步骤：
- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)变形为x^2+(b)/(a)x=-(c)/(a)。

- 在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。

- 把左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

- 例如，解方程x^2+4x - 1 = 0。

- 首先将方程变形为x^2+4x=1。

- 然后在两边加上4（因为4 = ((4)/(2))^2），得到x^2+4x + 4 = 1+4，即(x + 2)^2=5。

- 解得x=-2±√(5)。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-
4ac}{2a}。

- 其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。

- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如，解方程2x^2-3x - 2 = 0，这里a = 2，b=-3，c=-2。

- 先计算Δ=(-3)^2-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0。

- 然后代入求根公式x=(3±√(25))/(2×2)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。

4. 因式分解法。

- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式，即(mx + n)(px + q)=0，则mx + n = 0或px + q = 0。

- 例如，解方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，所以x - 1 = 0或x - 2 = 0，解得x = 1或x = 2。

三、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
1. 内容。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，如果方程的两根为x_1，x_2，那么x_1+x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。

2. 应用。

- 已知方程x^2-3x - 4 = 0的两根为x_1，x_2。

- 根据韦达定理，x_1+x_2=-(-3)/(1)=3，x_1x_2=(-4)/(1)=-4。

- 可以利用韦达定理来求一些代数式的值，如x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-
2x_1x_2=3^2-2×(-4)=9 + 8 = 17。

四、一元二次方程的实际应用。

1. 面积问题。

- 例如，有一个长方形，长比宽多2米，面积为8平方米，设宽为x米，则长为(x + 2)米。

- 根据长方形面积公式S =长×宽，可列出方程x(x + 2)=8，即x^2+2x - 8 = 0。

- 因式分解得(x + 4)(x - 2)=0，解得x = 2或x=-4（因为宽度不能为负数，舍去x=-4），所以宽为2米，长为4米。

2. 增长率问题。

- 若某产品原来的产量为a，平均增长率为x，经过n年后的产量为b，则可列出方程a(1 + x)^n=b。

- 例如，某工厂去年的产量为100件，预计今年的产量比去年增加10%，设增长率为x = 0.1，则今年的产量为100(1 + 0.1)=110件。

如果要计算经过两年产量达到121件时的增长率，设增长率为x，则100(1 + x)^2=121，(1 + x)^2=1.21，1+x=±1.1，解得x = 0.1或x=-2.1（增长率不能为负，舍去x=-2.1），所以增长率为10%。