内蒙古包头市2017届高三数学上学期期中试题理

内蒙古包头市2017届高三数学上学期期中试题 理
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

每题只有一个正确答案) 1．设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )
A ．2＋3i
B ．2－3i
C ．3＋2i
D ．3－2i
2.已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a∥b ，则tan(α－π
4
)等于( )
A ．3
B ．－3 C.1
3
D ．－13
3．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为( )
A ．12
B ．18
C ．22
D ．44
4．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝9
2
，则公比q ＝( )
A.12 B ．－12 C ．1或－1
2
D ．1或1
2
5．不等式f (x )＝ax 2
－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图像为( )
6．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →
＝b ，|a |＝1，|b |＝2， 则CD →
＝( )
A.13a ＋23b
B.23a ＋13b
C.35a ＋45b
D.45a ＋35b
7．函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2
x 是( )
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为π2的奇函数
D ．周期为π
2的偶函数
8．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln5
5
，则 ( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <a <c
9．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π
3
]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )
A ．[－32，0)
B ．[－3,0)
C ．(0，3
2] D ．(0,3]
10．设函数f (x )＝x m
＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1
f n
}(n ∈N *
)的前n 项和
是( )
A.
n
n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1
D.
n ＋1
n
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，
则sin A ＋sin B 的最大值是( ) A ．1 B. 2 C. 3
D ．3
12 设,,a b c 是单位向量，且()()
0,a b a c b c ∙=-∙-则的最小值为 （ ）
A 2-
B 2
C 1-
D 1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ， 则a b
＝________；
14．已知在数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
11＋a n 是等差数列，则a 11等于________． 15．在90,3,ABC C CA CB ∆∠===中，点M 满足2,BM AM CM CA =∙=则
16．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为______
三、简答题(共70分),写出必要的解题过程.
17 ．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos(2x －π
6)．
(1)求函数f (x )的最小正周期并画出函数f (x )在区间[0，π]上的图像； (2)当x ∈[0，2π
3]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 的值．
18在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量
()(
)
c o s ,s i n ,
2s i n ,c o s ,m A A n A A ==-若2,m n +=
（1） 求角A 的大小；
（2） 若,b c ABC =求的面积
19（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且
125()
n n S S n n N *+=++∈ 1）证明数列{}1n a +是等比数列； 2） 求 数列{}n a 的前n 项和。

20．已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )．
(1)若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程； (2)若f (x )≤0恒成立，求m 的取值范围； (3)求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值．
21．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝
a n
a n ＋3
(n ∈N *
)． (1)求证：{1a n ＋1
2
}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；
(2)数列{b n }满足b n ＝(3n
－1)·n
2n ·a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n
λ<T n
＋n
2
n －1
对一切n ∈N *
恒成立，求λ的取值范围．
22（本题满分10分）
选修4—4 已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2＋t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极
点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.
(1)求曲线C 的参数方程；
(2)当α＝π
4
时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．
高三年级数学（理）试卷答案
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
13. 2 14. 0 ；
15 18 16. ()2,+∞ 三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17答案 (1)π 8分 (2)x ＝5π
12
时f (x )最大值为1 12分
解析 (1)∵f (x )＝2sin x cos x －cos(2x －π
6)
＝sin2x －(cos2x cos π6＋sin2x sin π
6)
＝12sin2x －32cos2x ＝sin(2x －π
3)， ∴f (x )＝sin(2x －π
3)．
∴函数f (x )的最小正周期为π. 列表，描点，作图．
(2)∵x ∈[0，2π3]，∴2x －π3∈[－π
3
，π]．
∴当2x －π3＝π2，即x ＝5π
12时，函数f (x )取得最大值1.
18答案：;4
A π
∠=
6分 16ABC
S
= 12分
19解：（1）由已知125()n n S S n n N *+=++∈
可得124(2)n n S S n n -=++≥两式相减得121n n a a +=+
从而()()11212n n a a n ++=+≥，由已知可求得()22111,121a a a =∴+=+
故总有()()
1121n n a a n N *
++=+∈
从而数列{}1n a +是等比数列； 6分 （2）
1162321n n n n a a -+=∙∴=∙-
0121126(2222)626n n n n S a a a n n -=++
+=+++
+-=∙-- 12
分
20解析：（1）切线方程为1y =- 3分
（2）设g (x )＝ln x x ，∵g ′(x )＝1－ln x
x
2
，∴当x ＝e 时，g ′(e)＝0； 当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )为单调增函数； 当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )为单调减函数．
∴g (x )max ＝g (e)＝1e ，∴当m ≥1
e 时，
f (x )≤0恒成立． 7分
(3)f ′(x )＝1x －m ＝1－mx
x
，
①当m ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数． ∴在x ∈[1，e]上，f (x )max ＝f (e)＝1－m e. ②当1e ≤m ≤1时，即1≤1
m
≤e 时，
x ∈(0，1
m )时，f ′(x )>0，f (x )为单调增函数； x ∈(1
m
，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为单调减函数．
∴在x ∈[1，e]上，f (x )max ＝f (1
m
)＝－ln m －1.
③当m >1时，0<1m <1，f (x )在(1
m
，＋∞)上为单调减函数，
∴在x ∈[1，e]上，f (x )max ＝f (1)＝－m .
④当0<m <1e 时，即1m >e 时，f (x )在(0，1
m )上为单调增函数，
∴在x ∈[1，e]上，f (x )max ＝f (e)＝1－m e. 综上所述，当m <1
e 时，
f (x )max ＝f (e)＝1－m e ；
当1e ≤m ≤1时，f (x )max ＝f (1
m
)＝－ln m －1； 当m >1时，f (x )max ＝f (1)＝－m . 12分 21解析 (1)由a n ＋1＝a n
a n ＋3，得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝1＋3
a n
. 即
1
a n ＋1＋12＝3(1a n ＋12)，又1a 1＋12＝3
2
， ∴{1a n ＋12}是以3
2为首项，3为公比的等比数列． ∴1
a n ＋12＝32×3n －1
＝3n
2，即a n ＝23n －1. 6分 (2)b n ＝n 2n －1，T n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×1
2n －1，
T n
2＝1×121＋2×122＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12
n ， 两式相减得T n 2＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n ×12n ＝2－n ＋22
n ，
∴T n ＝4－
n ＋2
2
n －1.∴(－1)n
λ<4－22
n －1.
若n 为偶数，则12
4,32n λλ-<-
∴<； 若n 为奇数，则12
4,2,2,2 3.2
n λλλλ--<-∴-<∴>-∴-<< 12分
22答案4—4 (1)C ：⎩⎨
⎧
x ＝－1＋2cos φ，
y ＝1＋2sin φ
(φ为参数)
(2)(2，π
2
)，(2，π)
解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2
＝2ρsin θ－2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2. 曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ
(φ为参数)．
(2)当α＝π
4时，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2
2t ，y ＝2
2t ，
化成普通方程为y ＝x ＋2.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝2y －2x ，
y ＝x ＋2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝0.。