(浙江专版)2019版高考数学一轮复习 第三章 函数、导数及其应用 第六节 指数与指数函数课件

[由题悟法] 指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关 键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相 应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应 的指数型函数图象数形结合求解．
2 3
·b－3)
1 2
＝－54a－
1 6
b－
3÷(a
1 3
－
b
3 2
)＝－54a－
1 2
abb2 .
3
3
2．若
x
1 2
＋x－
1 2
＝3，则xx22＋＋xx－－2＋ 2＋23的值为________．
1
1
解析：由 x 2 ＋x－ 2 ＋＝3，得 x＋x－1＋2＝9，
∴a＝23
1 3
>b＝23
1 2
，
∴a>b>c.故选 A.
答案：A
角度二：简单指数方程或不等式的应用
2．(2018·湖州模拟)已知函数 f(x)＝m·9x－3x，若存在非零实数 x0，
使得 f(－x0)＝f(x0)成立，则实数 m 的取值范围是
()
A．12，＋∞
所以 x＋x－1＝7，所以 x2＋x－2＋2＝49，所以 x2＋x－2＝47.
3
3
1
1
1
1
因为 x2 ＋x－ 2 ＝(x 2 ＋＋x－ 2 )3－3(x 2 ＋＋x－ 2 )＝27－9＝18，
所以原式＝1487＋ ＋23＝25.
答案：25
[谨记通法]
指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数， 底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表 示，运用指数幂的运算性质来解答．
[提醒] 在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的 大小关系不明确时，要分类讨论．
[演练冲关]
1．函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是____． 解析：因为 x∈[－3,2]，所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.
答案：34，57
2．函数f(x)＝12 x2 +2 x+1 的单调减区间为________．
解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝12u在R上为减函数，
∴函数f(x)＝
1 2

x2
+2
x+1
的减区间即为函数u＝－x2＋
2x＋1的
增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
_减__函__数__
[小题体验] 1．若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点 A2，13，则
f(－1)＝________.
答案： 3
2．(教材习题改编)已知 0.2m<0.2n，则 m______n(填“>”或“<”)． 答案：>
3．(2015·浙江高考)若 a＝log43，则 2a＋2－a＝________.
[即时应用] 1．函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是
()
解析：将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)＝1－e|x| 是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有 A 满足上述两个性质．
答案：A
2 若函数 y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，求 k 的取值范围．
解：函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的 图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下 方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函 数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减， 所以 k 的取值范围是(－∞，0]．
1 2
－(0.01)0.5；
解：原式＝1＋14×49
1 2
－1100
1 2
＝1＋14×23－110
＝1＋16－110＝1165.
化简与求值：
(2)
5 6a
1 3
·b－2·－3a－
1 2

b－1÷4a
2 3
·b－3

1 2
.
解：原式＝－52a－
1 6
b－3÷(4a
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
R
__(_0_，__＋__∞__)__
y＝ax
a>1
0<a<1
过定点(0,1)
当x>0时， y>1 ； 性质 x<0时， 0<y<1
当x>0时， 0<y<1； x<0时， y>1
在区间(－∞，＋∞)上是 在区间(－∞，＋∞)上是
_增__函__数__
2．指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关， 要特别注意区分 a>1 或 0<a<1.
[小题纠偏]
1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．
n
(1)
an＝(n
a)n＝a.
()
m
(2)分数指数幂a n 可以理解为mn 个a相乘． (
)
2
1
(3)(－1) 4 ＝(－1) 2 ＝ －1.
1 3
，b＝23
1 2
，c＝35
1 2
，则
a，b，
c 的大小关系是
()
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>a>b
解析：∵23>35，y＝x
1 2
在(0，＋∞)上是增函数，
∴b＝23
1 2
>c＝35
1 2
，
∵13<12，y＝23x 在 R 上是减函数，
∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知1ax＋1bx－m≥0 在(－∞，1]上恒成立可转化为 m≤12x＋13x 在(－∞，1]上恒成立． 令 g(x)＝12x＋13x， 则 g(x)在(－∞，1]上单调递减， ∴m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56， 故所求实数 m 的取值范围是－∞，56.
解析：∵a＝log43＝12log23＝log2 3，
∴2a＋2－a＝2log2
3＋2－log2
3＝
3
3＋2log2 3＝
3＋
3 3
＝4 3 3.
答案：4 3 3
必过易错关
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示， 并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分 母又含有负指数．
第六 节 指数与指数函数
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必过 教材 关
1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：
B．0，12
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
解析：由题意得到 f(－x)＝f(x)，
∴m·9－x－3－x＝m·9x－3x，
整理得到：m＝3x32x＋1＝3x＋1 31x<12，又 m>0，
所以实数 m 的取值范围是 0<m<12，故选 B. 答案：B
角度三：探究指数型函数的性质
3．已知函数 f(x)＝b·ax(其中 a，b 为常数且 a>0，a≠1)的图象经
[通法在握]
应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略
题型
求解策略
比较幂值的 大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单 调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般 引入“1”等中间量比较大小
解简单指数 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用 不等式 单调性转化为一般不等式求解
探究指数型 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、 函数的性质 奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
过点 A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定 f(x)；
(2)若不等式1ax＋1bx－m≥0 在 x∈(－∞，1]上恒成立，求实
数 m 的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝b·ax 的图象过点 A(1,6)，B(3,24)，
∴bb··aa3＝＝62，4，
① ②
②÷①得 a2＝4，又 a>0 且 a≠1，
图象是在 y＝ax 的基础上向下平移 b 个单位长度得到的，
所以 0<b<1.
答案：D
2．已知 a>0，且 a≠1，若函数 y＝|ax－2|与 y＝3a 的图象有 两个交点，则实数 a 的取值范围是________．
解析：①当 0<a<1 时，作出函数 y ＝|ax－2|的图象，如图 a.若直线 y ＝3a 与函数 y＝|ax－2|(0<a<1)的图 象有两个交点，则由图象可知 0<3a<2，所以 0<a<23. ②当 a>1 时，作出函数 y＝|ax－2|的图象，如图 b，若直线 y＝ 3a 与函数 y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知 0<3a<2，此时无解．所以 a 的取值范围是0，23. 答案：0，23
m
a n ＝n am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：
－ a
m n
＝1
m
an
＝ 1 (a>0，m，n∈N*，且n>1)． n am
③0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 ．
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
∴f(x)的减区间为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
考点三 指数函数的性质及应用
[锁定考向]
高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应 用，难度偏小，属中低档题．
常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小； (2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．
[题点全练]
角度一：比较指数式的大小
1．(2018·杭州模拟)已知
a＝23
()
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若函数 y＝(a－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数 a 的取 值范围是________．
答案：(1,2)
课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 指数幂的化简与求值
[题组练透]
1．化简与求值：
(1)2350＋2－2·214－
考点二 指数函数的图象及应用
[典例引领]
1．(2018·嘉兴能力测试)若函数 f(x)＝ax－b 的图象
如图所示，则
()
A．a>1，b>1
B．a>1,0<b<1
C．0<a<1，b>1
D．0<a<1,0<b<1
解析：由 f(x)＝ax－b 的图象可以观察出，函数 f(x)＝ax－b
在定义域上单调递减，所以 0<a<1，又函数 f(x)＝ax－b 的