2018届湖北省宜昌市高三第一次模拟考试卷 数学(理)

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U =R ，集合{}13A x x =<<，{}230B x x =-≥，则()U A B =ð（ ）
A ．3,2⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
2．若复数()211i z m m =-++是纯虚数，其中m 是实数，则2
z =（ ）
A ．i
B ．i -
C ．2i
D ．2i -
3．下列命题正确的是（ ）
A ．命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；
B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；
C ．“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；
D ．命题“存在0x R ∈，使得2
0010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”．
4．已知随机变量()1,1N ξ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）
注：()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．
A ．6038
B ．6587
C ．7028
D ．7539
5．已知数列{}n a 满足15255n n a a +=⋅，且2469a a a ++=，则()15793
log a a a ++=（ ）
A ．3-
B ．3
C ．13-
D ．1
3
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）
A ．1
6 B ．1
3 C ．1
2 D ．1
7．偶函数()f x 和奇函数()g x 的图象如图所示，若关于x 的方程()()1f g x =，()()2g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 9．已知()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，若0170a a a ++⋅⋅⋅+=，则3a =（ ） A ．5- B ．20- C ．15 D ．35 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ） A
．8+ B
．12+ C
．6+ D ．12 11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ） A
．3+B
． C
．1+ D
．12 12．已知函数()2ln x f x e x x =++与函数()22x g x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞- B ．1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．(],1-∞- D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．平面向量()2,λ=a ，()3,1=-b ，若向量a 与b 共线，则⋅=a b ．
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第4页（共6页） 14．设椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，
离心率为则此椭圆的方程为 ．
15．已知x ，y 满足不等式组20
30230
y x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若不等式7ax y +≤恒成立，则实数a 的取
值范围是 ．
16．设数列{}n a 满足012a =，()2
10,1,22018n
n n a a a n +=+=⋅⋅⋅，若使得11k k a a +<<，则正整
数k = ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）
已知向量)22x x =a ，()cos ,sin 2θθθπ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭b ，若()f x =⋅a b ，
且函数()f x 的图象关于直线6x π
=对称．
（1）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
若()f A =，且5b =
，c =，求ABC △外接圆的面积．
18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点．
（1）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；
（2）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面
角的余弦值为10？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由．
19．（12分）手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X 名，求X 的分布列和数学期望； （2）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
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20．（12分）已知倾斜角为4π
的直线经过抛物线Γ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物
线Γ相交于A 、B 两点，且8AB =．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）过点()12,8P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N ．如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点．
21．（12分）已知函数()ln f x ax x =-．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若21,e a ⎛⎤
∈-∞- ⎥⎝⎦，求证：()1
2e ax f x ax x -≥-．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在极坐标系中，已知圆C
的圆心为4π⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为．以极点为原点，极轴方向为
x 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为131x t a
y t
⎧=+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数，a R ∈且0a ≠）．
（1）写出圆C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求AB 的最小值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设不等式112x x +--<的解集为A ．
（1）求集合A ；
（2）若m A ∀∈，不等式2210mx x m -+-<恒成立，求实数x 的取值范围．
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数学（理） 答 案
一、选择题．
1-5：CBBBA 6-10：CDCAC 11、12：DC
二、填空题．
13．203- 14．22
1248x y += 15．[]4,3- 16．2018
三、解答题．
17．【答案】（1）2,63k k ππ
⎡⎤
π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）7π．
【解析】（1）(
)()2cos sin 2f x x x x θθθ=⋅==+a b ， ∵函数()f x 的图象关于直线6x π
=对称，∴262k θπ
π
⨯+=π+，k ∈Z ， ∴6k θπ
=π+，k ∈Z ，又2θπ
<，∴6θπ
=．
∴(
)26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭．
∵函数sin y x =的单调递减区间为32,222k k ππ⎡⎤
π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． 令322,2622x k k π
π
π⎡⎤
+∈π+π+⎢⎥⎣⎦，∴2,63x k k ππ⎡⎤
∈π+π+⎢⎥⎣⎦．
∴()f x 的单调递减区间为2,63k k ππ⎡⎤
π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．
（2）∵(
)26f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 216A π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭．
∵()0,A ∈π，∴132,666A π
π
π⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭，∴262A π
π
+=，∴6A π
=．
在ABC △
中，由余弦定理2222cos 25122576a b c bc A π
=+-=+-⨯⨯=，
∴a =
由正弦定理得2sin 2a R A ==
，∴R =7S =π． 18．【答案】（1）见解析；（2）13λ=或23λ=． 【解析】（1）证明：连接1AB 、1AC ，显然A 、Q 、1B 三点共线． ∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ； 在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥， 又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC A C ⊥， ∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ，∴1AC ⊥平面1A BC ， 而1PQ AC ∥，∴PQ ⊥平面1A BC ． （2）以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，连接1A P 、1B Q ，设(),,Q x y z ， ∵1BQ BA λ=，∴()(),2,2,2,2x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()2,22,2Q λλλ-． 当点Q 在线段1A B 上运动时，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1A PB 的法向量， 设平面1A PB 的法向量为()1,,x y z =n ，由11100BP PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩， 令2y =得()11,2,1=n ， 设平面1B PQ 的法向量为()2,,x y z =n ，由212100PB B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得()010y x z λλ=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令1z =得()211,0,11,0,λλλλλ-⎛⎫==- ⎪⎝⎭n ，取()21,0,λλ=-n ， ∵
121,2,11,0,cos ,10λλ⋅-===n n ， ∴29920λλ-+=，∴13λ=或23λ=． 19．【答案】（1）见解析，65；（2）没有．
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好教育云平台 一模汇编卷答案 第4页（共6页） 【解析】（1）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为6
2
155=．
X 可能取值分别为0，1，2，3，
∴()030323270C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12
1
32354
1C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()212323362C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
33238
3C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
X 的分布列为
则()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．
（2）完成22⨯列联表
2k 的观测值()203091164750
3.394 3.84115151317221k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．
据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
20．【答案】（1）24y x =；（2）见解析．
【解析】（1）由题意可设直线AB 的方程为2p
y x =-，
令()11,A x y ，()22,B x y ．
联立222p
y x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩得2
2304
p x px -+=，∴123x
x p +=，
根据抛物线的定义得，又124AB x x p p =++=，
又8AB =，∴48p =，∴2p =．
则此抛物线的方程为24y x =．
（2）设直线1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，直线1l 的斜率为k ，则tan k α=．
由于直线1l 与2l 的倾斜角互余， 则sin cos 112tan tan sin 2sin tan cos cos 2ααβααααααπ⎛⎫- ⎪π⎛⎫⎝⎭=-==== ⎪π⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， 则直线2l 的斜率为1k ． 于是直线CD 的方程为()812y k x -=-，即()128y k x =-+， 联立()21284y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得2432480ky y k -+-=，∴4C D y y k +=， 则241624C D x x k k +=+-，∴228212,M k k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 同理将k 换成1k 得：()21228,2N k k k +-， ∴22121111428MN k k k k k k k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则直线MN 的方程为()212122814y k x k k k k ⎡⎤-=-+-⎣⎦+-， 即1410k y x k ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，显然当10x =，0y =． 所以直线MN 经过定点()10,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）()11'ax f x a x x -=-=， ∵0a ≤，()'0f x <在(0,)+∞上恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递减． 当0a >时，由()'0f x >，得1x a >；由()'0f x <，得10x a <<； 综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）令()()112e e ln ax ax g x f x ax x x ax x --=-+=--，
好教育云平台 一模汇编卷答案 第5页（共6页） 好教育云平台 一模汇编卷答案 第6页（共6页） 则()()1111
1'e e 1e ax ax ax g x ax a ax x x ---⎛⎫
=+--=+- ⎪⎝⎭， 由于1
11e 1e ax ax x x x ----=，设()1e 1ax r x x -=-，()()1
'1e ax r x ax -=+， 由()1'010r x ax x a >⇒+>⇒<-，∴()r x 在10,a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增；
由()1
'010r x ax x a <⇒+<⇒>-，∴()r x 在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．
∴()2max 1110e r x r a a ⎛⎫⎛⎫=-=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（∵21a e ≤-），从而1
1
e 0ax x --≤．
则()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
∴()min 1g x g a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭， 设(21
0,e t a ⎤=-∈⎦，()()221ln 10e e t
g h t t t a ⎛⎫
-==-+<≤ ⎪⎝⎭，
()21
1'0e h t t =-≤，()h t 在(20,e ⎤⎦上递减，∴()2(e )0h t h ≥=； ∴()0g x ≥，故()12e ax f x ax x -≥-．
22．【答案】（1
）4ρθπ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，310ax y a +--=；（2
）
【解析】（1）在极坐标系中，令BOX θ∠=，4AOX π
∠=，
在ABC △中，AC
为直径，4OB ρθπ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭， ∵131x t a
y t
⎧
=+⎪⎨⎪=-⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为：310ax y a +--=． 在直角坐标系中，圆C 的圆心为(2,2)，则方程为()()22228x y -+-=． 即22440x y x y +--=，∴24cos 4sin 0ρρθρθ--=，
即4cos 4sin 4ρθθθπ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭．
（2）法一：直线过圆C 内一定点()3,1P ，当CP AB ⊥时，AB 有最小值，
∴AB === 法二：点(2,2)C 到直线l
的距离d =，
∴
AB === 当1a =
时，AB 有最小值 23．【答案】（1）{}11A x x =-<<；
（212x ≤≤． 【解析】（1）由已知，令()()()()211121121x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩， 由()2f x <得{}11A x x =-<<． （2）将不等式2210mx x m -+-<整理成()21210x m x --+<， 令()()2121g m x m x =--+，要使()0g m <， 则()()()()()22111210111210g x x g x x ⎧-=-⨯--+≤⎪⎨=-⨯-+≤⎪⎩， ∴2222020x x x x ⎧+-≥⎪⎨-≤
⎪⎩
，∴1102x x x ⎧≤--≥⎪⎨≤≤⎪
⎩12x ≤≤．。