第六章 连续损伤力学 PPT课件

第六章 连续损伤力学
第一节 弹脆性损伤理论 第二节 粘脆性(蠕变)损伤理论 第三节 弹塑性损伤理论 第四节 疲劳损伤理论
第一节 弹脆性损伤理论
1）弹性各向同性损伤模型 对于等温和线弹性情况下的弹性各向同性损伤材
料，由于塑性变形很小、温度梯度为零，因此耗散不 等式变为：
R 0
其中损伤扩展力R的含义是表征材料提供产生新的弹 脆性损伤的能力，数量上等于损伤扩展所耗散的能量 密度。因此， R也可称为损伤能量释放率密度。
金属材料在恒定单轴拉伸应力下的典型蠕变曲线 由OACDEF表示，常可分为3阶段： * 第1阶段是减速蠕变（CD段），应变率随时间连续 降低。
* 第2阶段是稳定蠕变（DE段），应变率近似常数， 应变随时间线性增大。 * 第3阶段是加速蠕变（EF段），应变率随时间迅速 加大，最后发生材料破坏。
实际上，材料在不同的应力水平或不同的温度环 境下，可能处于不同蠕变阶段，具有不同的蠕变机制 和微结构变化。
1
nm
t fi

n 1
A
I
n 0
h0

例2 等矩形截面梁受一般弯曲
设弯矩M=M（x），x是沿梁长度方向的坐标，有 应力场：
x, y M x y1 m
I0
积分损伤演变主程，可得：
x, y,t

1
n
1
A
M
n
I
n 0
x
损伤准则和破坏准则，也可推广到三维的情况。
4）损伤演化方程
（1）Kachanov方程
Kachnov于1958年在研究最简单的单轴拉伸脆性 损伤破坏时，提出以下损伤演变方程：


A(
)n (
th )
（6）
式中，材料参数A>0和n≥1。上式右边括号中表示 的实际上是有效应力 。可见，损伤扩展是受有 效应力控制的，负号表示材料的连续性标量是逐步减 少的，反映损伤度的逐步加大。 σth是由应力表示的 损伤值，即说明：当σ≤ σth时，ψ=1且dψ=0；当当σ > σth时，ψ＜1且dψ ＜ 0。

t


A

Mn
n I0n
yn
m


得到：

1


n

1
A
Mn
I
n 0
y
n
mt
1

n 1

注意到，在y=h0处， σ =σmax ，有ψ =ψmin 。当 ψmin（h0）=0时，在y=h0处发生断裂。因此，由上式 可以导出断裂起始时间：

M n
(t
)
积分并利用初始条件，得：
(n 1) nd 1

t 0
t
1 f
(t
)dt
于是得到ψ-t关系：


t d 1 n1
1

0
t
1 f



（12）
利用破坏条件：t=t*f时，ψ=0时得到：
tf d 1
0 t f
可见，损伤演变方程与线性叠加原理是等价的；
Kachanov方程（6）等价于下列用损伤度表示脆性 损伤演变过程：

A(

)n
1
（7）
（a）恒载荷情况
对于均匀拉伸杆受恒载荷，由于脆性材料的变形 很小，因则恒载荷意味着恒应力，设σ =σ0 。积分式 （6），利用初始条件：t=0时，ψ=1，有：
nd 1


A
n 0
t
其临界值ψC ，或损伤度ω达到其临界值ωC ，单元破 坏（图1）。
应当指出，损伤阈值εth ，断裂应变值εf以及相应 的损伤度临界值ωC （或连续性临界值ψC ）都是材料 参数，可以由材料试验决定。
实际上，也可用损伤扩展力R达到临界值Rc，表征 单元破坏，即有损伤扩展力破坏准则：
R = Rc 式中，临界值Rc可称为破坏韧度，反映材料抗损 伤破坏的能力或损伤耗散的能量密度；它是材料参数， 也由实验确定。
d
0
得到ψ-t关系：


1


n

1
A
0nt
1

n1
或
t
1 n1

n
1
A
n 0
1

（8）
利用断裂条件： t=tf时，ψ=0时，可由上式求得恒 载荷下拉伸杆的脆断时间：
tf

[(n

1)
A
n o
]1
（9）
可见，对于给定材料，脆断时间tf取决于恒应力σ0 的大小。
（a）h=1，表示双侧效应，即拉压的损伤效应相同， 如不发生闭合的球形微空洞。
（b）h=0，表示纯单侧效应，即压缩不引起材料损 伤增加；
（c）0<h<1，在同样水平的拉或压下其损伤效应不 同，称为准单侧效应。
为表示准单侧效应，在有效应力
~

与名义应力σ
的关系中引进闭合系数。在一维情况下写为：



由正则关系得：
R



f
1 ::
2
（3）
当外载不变时，由（1）和（2）式得：
dW e : d 2Rd
（4）
则有：R 1 dW e
2 d Constant
（5）
在单向应力下，损伤扩展力为：R 式中 是单向拉伸有效应力。

2
2E 1 2

2 2E
2
在多向应力下，损伤扩展力为：
R
Tr
2 eq

Tr
2 eq
2E 1 2 2E 2
其中三向因子Tr
Tr

2
1
v

31

2v


2
3


eq

对单轴拉伸情况，eq

,

/ 3，则有Tr=1。
2）准单侧效应 在一些实际固体材料中，损伤被看作是各向同性

n 1
A
n max

1
应当指出，在断裂潜伏阶段（ 0 t t ）fi ， r 0
或 r 1。
例1 等矩形截面梁受纯弯曲（小变形情况） 设断裂潜伏阶段，应力场不随时间变化，即：
y M y1 m
I0
y 0
式中，M是弯矩；m是材料参数；I0是截面惯性矩。 设拉伸区（y>0）在受载后发生损伤；而压缩区 （y>0）不发生损伤。损伤演变方程为：


0
n1
1

0
n1 1
再利用断裂条件： ε=εf时， ψ=0 ，可以求得断裂
应变：
f


0

n1
0
1
1

n1
1
再代入上式可得到关系的另一形式：
1 f n11
第二节 粘脆性(蠕变)损伤理论
1）粘性蠕变断裂 (a) 蠕变现象 * 蠕 变：粘弹性或粘塑性固体材料在恒应力作用下， 其应变随时间逐渐增加的现象。 * 应力松驰：在恒应变作用下，其应力随时间缓慢降 低的现象。
即设σ =σ（r） ，则依据Kachanov方程，并利用初始
条件： t=0时，ψ=1 ，可积分得到：
t
(r) (1
(n

1)
A
n
(r
)d
)
1 n1
0
且因σ与 无关，有：


r


1


n

1
A
n

r

t
1

n
1
或


r


1

1


n

1
A
n

r

t
1
将式(9)进行整理，代入式(8)，得到用表示的关系：

t 1 t f
1


n
1

或 t (1 n1)t f
（10）
采用破坏准则ψ=ψC ，损伤失稳发展而造成材料破 坏(可理解为宏观裂纹的形成)，其局部破坏时间为：
tc (1cn1)t f
（11）
（b）连续变化载荷情况
yn
mt
1

n 1
设在x= x*处，有M=M（x*）=M max ，则可求得梁 的断裂起始时间：

M n x
t fi

n 1
A
I
n 0
1
n
h0
m

（3）应变表示的损伤演变
某些情况下，材料损伤并不直接与时间相关，而 仅是应变状态的函数。Lemaitre等建议用下列简单的 损伤演变方程：
设均匀拉伸杆受连续载荷，应力是时间的函数， 即σ =σ（t） 。Kachanov方程写为：



A[ (t)]n

（12）
利用式（9）的结果，设想脆断时间是应力的连
续函数，即：
t f t n 1 A n t 1
代入上述演化方程中得：(n 1)

n

t
1 f
在一维情况下，定义损伤准则为：
1 1
或= 0, 或> 0,
当ε≤ εth时 当 ε ＞ εth时
说明初始无损材料在应变达到其损伤阈值εth前， 材料保持无损状态；在应变超过εth后，损伤是状态的 函数，其具体形式由实验分析结果加以构造。
定义破坏准则为：当ε=εf 时， ψ=ψC或ω=ωC。 说明当单元所受应变ε达到断裂应变εf 时，连续性ψ达到
弹性损伤下，Helmholtz自由能密度函数可表示为
f , W e , 1 1 : :
2
（1）
式中，ω是各向同性标量损伤变量；ε是二阶应变 张量；E是四阶弹性系数张量。
由应力等效性假设有： 1 :
（2）
式中σ是二阶应变张量。
然而，一般受载弹性固体的应力场是非均匀的， 因而造成的损伤是局部的或非均匀的；损伤场的变化 也是非均匀的，固体的损伤和断裂是一全过程。
损伤-断裂全过程通常可分为两阶段：第1阶段是 损伤的起始、损伤场的形成与发展，直到断裂起始； 第2阶段是断裂发展过程直到固体（结构）完全破坏。 对固体的破坏而言，前一阶段称为断裂潜伏阶段，后 一阶段称为断裂发展阶段。下面主要讨论第1阶段的 损伤发生和损伤场的发展，直到断裂起始。
d d



/
0
n1
0
当ε＞εth时和dε ＞0 当ε ≤ εth时和dε ＜0
式中， ε0和n1是材料参数； εth是用应变表示的损 伤阈值，也是材料参数。
积分上式，并用初始条件： ε=0，ψ=1，有ψ-ε关系：
或：


1

0 n1
1

0
n1 1
材料在蠕变时往往伴随着微结构变化或缺陷的产 生与扩展而构成损伤。在低应力下，材料变形很小， 损伤归因于微裂纹的产生、扩散与聚合，最后造成脆 性断裂，属长期蠕变断裂。在高应力下，材料有大量 晶格滑移而造成粘性损伤，特别使第3阶段蠕变加速， 是一种短期蠕变断裂。

n1
可见，连续性ψ场随时间而减弱，而损伤度ω场则 随时间增强。
设在r ri 处， ri 处，断裂起始条件为t=tf，ψ
（ri）=0 或ω（ri）=1 ，或。将此条件代入上式，得
脆性断裂起始时间：
t fi
的，为简单起见，常用一个标量（损伤度ω或连续性 ψ）表示。
但在受拉和受压时，其力学响应有很大差别。如 水泥和某些岩石，其拉压的准静态断裂不同；不少材 料的疲劳损伤与平均应力水平有关，及在较大损伤时 材料拉和压引起的刚度退化显著不同。这些现象产生 的一个重要原因是材料中微缺陷因压缩而闭合的效应。
常引进闭合系数h表征上述微缺陷的闭合效应：
设应力是位置r和时间t的函数，即：
r,t
产生的各向同性损伤也是r和t的函数，即：
r,t 或 r,t
因此，损伤场对时间的变化率为：
d dr
dt t r t
对于均匀损伤场，ψ与r无关，即：
0 r
研究断裂潜伏阶段，应力场变化较小而加以忽略，
1 1 h
当σ≥0 时 当σ< 0 时
3）损伤与破坏准则
若设损伤度ω或连续性ψ仅是状态的函数而与过程 无关，即：
或
实验证明，某些材料在较小应变下不发生损伤， 只有当应变超过它的阈值th 时才发生损伤，随后， 损伤随应变不断加剧并不断扩大。当单元损伤达到它 的临界状态时，单元发生破坏且不能承受外载。
连续变化拉伸载荷下均匀杆的脆性破坏符合线性叠加 原理。
（c）多级恒载荷情况
设均匀杆受多级恒拉伸应力k k 1,2, ,s ，每级载 荷的作用时间tk tk tk1 ，由式（10），有：
n1 k
n1 k 1

tk 1 tk f
tk tk f
式中，tk f 是相应于恒应力 k 的脆断时间，由式
（9）决定。对上式求和，并考虑初始条件（ t=0时， ψ=1）和破坏条件（ t=t*f时，ψs=0），则有：
s tk 1
t k 1 k f
多级载荷下的断裂时间为：
t
f
s
tk
k 1
（2）非均匀损伤场
如果弹性固体受应力场是均匀的，如等截面的受 拉杆，其损伤从理论上说也是均匀的。加载过程中， 损伤场将均匀增强，直到发生瞬时破坏。