上海市普陀区高三数学上学期调研试卷 理(含解析)

2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（理科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=．
2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．
3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为．
4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= ．
5．若，且α是第二象限的角．则= ．
6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．
7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．
8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．
9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为．
10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：
①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；
③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．
其中正确的序号为．（填写出所有假设正确的序号）
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．
13．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；
④．以上函数为“Z函数”的序号为．
14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…， }（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数
为．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分. 15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：
，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）
A．B．6 C．D．3
16．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）
A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交
C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交
17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）
A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值
C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值
18．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：DE∥面BCC1B1；
（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．
20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．
21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．
22．已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c，其中b、c∈R，设．
（1）如果h（x）为奇函数，求实数b、c满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若函数h（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；
（3）若对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．
23．定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”．
（1）设a n=2n﹣1，（﹣1＜q＜0），n∈N*，判断数列{a n}、{b n}是否为“p﹣摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p﹣摆动数列”{c n}满足：，c1=1．求常数p的值；
（3）设，n∈N*，且数列{d n}的前n项和为S n．求证：数列{S n}是“p ﹣摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B={1，2，3} ．
【考点】并集及其运算；交集及其运算．
【分析】根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，则可得2a=2，可得a的值，进而可得b的值，再由并集的意义，可得答案．
【解答】解：根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，2∈B，
而已知A={3，2a}，则必有2a=2，
故a=1，
又由2∈B，且a=1
则b=2，
故A∪B={1，2，3}，
故答案为{1，2，3}．
【点评】本题综合考查并集、交集的意义与运算，要求学生有一定的逻辑分析能力．
2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．
【考点】反函数．
【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．即可得出反函数．
【解答】解：由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．
∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）=﹣（x≥0）．
故答案为：﹣（x≥0）．
【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为±1．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．
【分析】利用二倍角的余弦函数，化简求解函数的周期即可．
【解答】解：函数y=2﹣sin2ωx=2﹣=cos2ωx+，
函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，
可得：，解得实数ω=±1．
故答案为：±1．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，函数的周期的求法，考查计算能力．
4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= 128 ．
【考点】数列的函数特性．
【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由（a∈R）．可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．
【解答】解：∵（a∈R）．
∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣a﹣（2n﹣1﹣a）=2n﹣1，
∴a8=27=128．
故答案为：128．
【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．若，且α是第二象限的角．则= ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．
【分析】由sinα的值及α是第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，将cosα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sinα=，且α是第二象限的角，
∴cosα=﹣=﹣，
则原式=﹣cosα=，
故答案为：
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围．
【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1
由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件
∴解得a≥3
∴实数a的取值范围是[3，+∞）
故答案为：[3，+∞）
【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．
7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．，
圆锥的母线l满足： =，
解得：r=2，
∴这个圆锥的高是：h==4．
故圆锥的体积：V=πr2h=，
故答案为：
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ﹣2 ．
【考点】极限及其运算；函数的零点．
【专题】计算题；极限思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】先求出函数的零点，x n=﹣﹣1，再求极限．
【解答】解：令f n（x）=0得，
+（x+1）=0，
解得x n=﹣﹣1，其中，=1，
所以， x n=﹣﹣1=﹣1﹣1=﹣2，
故填：﹣2．
【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及函数零点的求解，属于基础题．
9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为{﹣1} ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．
【分析】M∩P=R，M=P=R，利用判别式，即可得出结论．
【解答】解：∵M∩P=R，∴M=P=R，
∴，且（1﹣a）2+4a≤0，
∴a=﹣1，
故答案为：{﹣1}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3] ．【考点】绝对值三角不等式．
【专题】计算题．
【分析】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．
【解答】解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
∴||∈[2，+∞），其最小值为2
又∵siny的最大值为1
故不等式恒成立时，
有|a﹣2|≤1
解得a∈[1，3]
故答案为[1，3]
【点评】本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．
11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：
①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；
③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．
其中正确的序号为③．（填写出所有假设正确的序号）
【考点】反证法与放缩法．
【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，由此得出选项．
【解答】解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，
故答案为：③．
【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．
【分析】，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，根据，
不共线，可得20a﹣15b=12c﹣20a=0，再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：∵，
∴20a+15b+12c=0，
化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，
∵，不共线，
∴20a﹣15b=12c﹣20a=0，
化为b=a，c=a．
∴边a最小，因此角A最小，
由余弦定理可得：cosA===．
∴A=arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线共面定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；
④．以上函数为“Z函数”的序号为②④，．
【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．
【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．
【解答】解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1），
可得：x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，
即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，
∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．
①y=﹣x3+1；是减函数，不是“Z函数”．
②y=2x；是增函数，是“Z函数”．
③；表示增函数，不是“Z函数”．
④．函数是增函数，是“Z函数”．
故答案为：②④．
【点评】本题考查函数的新定义，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…， }（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为45 ．【考点】等比数列的性质．
【专题】综合题；等差数列与等比数列．
【分析】求出等比数列{a n}的前n项和S，B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．
【解答】解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，
∴S=1﹣，
当n=2时，B n的所有非空子集为：{， }，{}，{}，∴S==；
当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4；
当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集，
S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，…
∴T=S1+S2+S3+…+S n=++…++2++=
∵S+2T≥2014，
∴1﹣+n2﹣1≥2014
∴n≥45．
故答案为：45．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分. 15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：
，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）
A．B．6 C．D．3
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【专题】整体思想；定义法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．【解答】解：∵，
∴y=y1+y2=3sin（100πt）+3cos（100πt+）
=3sin（100πt）+3cos100πtcos﹣3sin（100πt）sin
=3sin（100πt）+cos100πt﹣sin（100πt）
=sin（100πt）+cos100πt
=3sin（100πt+），
则函数的振幅为3，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的化简，利用辅助角公式是解决本题的关键．
16．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）
A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交
C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】证明题．
【分析】由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、D错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，可由反证法进行证明．
【解答】解：由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、错误；
但直线ℓ不会与两条都不相交，若l与a、b都不相交，因为l与a都在α内，所以l∥a，同理l∥b，所以a∥b，这与a、b异面直线矛盾，故直线ℓ至少与a、b中之一相交．C正确．
故选C
【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查推理能力和空间想象能力．
17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）
A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值
C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值
【考点】数列的函数特性．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．
【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．
∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．
②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴ =﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．
③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣
0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．
④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．
∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．
∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，
因此当n=4时，S n取得最大值．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）
A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得
的取值范围．
【解答】解：函数的图象如图所示，
∵f（x1）=f（x2），
∴﹣log2x1=log2x2，
∴log2x1x2=0，
∴x1x2=1，
∵f（x3）=f（x4），
∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10
∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，
∵2＜x3＜4，8＜x4＜10
∴的取值范围是（0，12）．
故选：A．
【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：DE∥面BCC1B1；
（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，由此能证明DE∥面BCC1B1．
（2）取AD的中点F，连EF，A1F，则EF∥CD，∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角），由此能求出∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE∥BC，…
∵BC⊆面BCC1B1…DE⊄面BCC1B1…
∴DE∥面BCC1B1…
（2）解：取AD的中点F，连EF，A1F，
∵EF∥CD，∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角）…
在△A1EF中，，，，
∴…
∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角为…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），由四边形为矩形得=T2﹣3=0，故T=4，ω=，即可得f（x）=sin x．
（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣）可得sin（α﹣）=，又，可求得cos（α﹣）=﹣，从而可求f（α）的值．
【解答】解：（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），
∵四边形OQRP为矩形．∴OP⊥OQ，∴ =T2﹣3=0，∴T=4．
∴ω===，∴f（x）=sin x．
（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣），
∵g（α）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．
又，∴α﹣∈（，π），∴cos（α﹣）=﹣．
∴f（α）=sinα=sin[（α﹣）+]= [sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin]
= []=．
【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．
21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．
【考点】不等式的实际应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．
【分析】（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；
（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，
∴，…
矩形AMPN的面积，x∈[10，20]…
于是为所求．…
（2）矩形AMPN健身场地造价T1=…
又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，…
由总造价T=T1+T2，∴，．…
∵，…
当且仅当即时等号成立，…
此时，解得x=12或x=18，
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…
【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．
22．已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c，其中b、c∈R，设．
（1）如果h（x）为奇函数，求实数b、c满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若函数h（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；
（3）若对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．
（2）根据好是单调性的定义和性质建立不等式关系即可得到结论．
（3）根据条件求出c的取值范围，即可得到结论．
【解答】解：（1），设的定义域为D，
∵h（x）为奇函数，∴对于任意x∈D，h（﹣x）=﹣h（x）成立．…
即：化简得：bx2﹣bc=0…
因对于任意x∈D都成立，
∴，
即b=0，c∈R…
（2）由（1）知b=0，∴…
∵h（x）在[2，+∞）上为增函数，
∴任取2≤x1＜x2时，恒成立．…即任取2≤x1＜x2时，1﹣＞0成立，
也就是c＜x1x2成立．…
∴c≤4，即c的取值范围是（﹣∞，4]．…
（3）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，
所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，
即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立．…
所以判别式△=（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，
从而c≥+c，
∴c≥1，且c=|b|，…
因此 c（c﹣1）≥0且2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．…
故当x≥0时，有（x+c）2﹣g（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0．…
即当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．…
【点评】本题主要考查函数奇偶性的定义和单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．
23．定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”．
（1）设a n=2n﹣1，（﹣1＜q＜0），n∈N*，判断数列{a n}、{b n}是否为“p﹣摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p﹣摆动数列”{c n}满足：，c1=1．求常数p的值；
（3）设，n∈N*，且数列{d n}的前n项和为S n．求证：数列{S n}是“p ﹣摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
【考点】数列的求和；数列的应用；数列递推式．
【专题】综合题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）假设数列{a n}是“p﹣摆动数列”，即存在常数p，总有2n﹣1＜p＜2n+1对任意n成立，对n取值即可判断出．由，于是（﹣1＜q＜0）对任意n成立，即可判断出．
（2）由数列{c n}为“p﹣摆动数列”，c1=1，即存在常数，使对任意正整数n，总有（c n+1﹣p）（c n﹣p）＜0成立；即有（c n+2﹣p）（c n+1﹣p）＜0成立．则（c n+2﹣p）（c n﹣p）＞0，分别利用奇数项与偶数项的单调性即可得出．
（3）由，显然存在p=0，使对任意正整数n，总有成立，即可证明数列{S n}是“p﹣摆动数列”；分别利用奇数项与偶数项的单调性即可得出p的取值范围．
【解答】解：（1）假设数列{a n}是“p﹣摆动数列”，
即存在常数p，总有2n﹣1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1时则1＜p＜3，取n=2时则3＜p＜5，显然常数p不存在，
∴数列{a n}不是“p﹣摆动数列”；
由，于是对任意n成立，其中p=0．
∴数列{b n}是“p﹣摆动数列”．
（2）由数列{c n}为“p﹣摆动数列”，c1=1，
即存在常数，使对任意正整数n，总有（c n+1﹣p）（c n﹣p）＜0成立；
即有（c n+2﹣p）（c n+1﹣p）＜0成立．
则（c n+2﹣p）（c n﹣p）＞0，
∴c1＞p＞⇒c3＞p⇒…⇒c2n﹣1＞p．
同理c2＜p⇒c4＜p⇒…⇒c2n＜p．
∴c2n＜p＜c2n﹣1⇒，解得即．
同理，解得；即．
综上．
（3）证明：由，
显然存在p=0，使对任意正整数n，总有成立，
∴数列{S n}是“p﹣摆动数列”；
当n为奇数时S n=﹣n递减，∴S n≤S1=﹣1，只要p＞﹣1即可，
当n为偶数时S n=n递增，S n≥S2=2，只要p＜2即可，
综上﹣1＜p＜2，p的取值范围是（﹣1，2）．
【点评】本题考查了数列的单调性、新定义“p﹣摆动数列”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。