北京2013理科高考数学卷

2013北京高考理科数学试题 第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤ x ＜1}，则A∩B= A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}
2.在复平面内，复数(2－i)2
对应的点位于( )
A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
S 值为
A.1
B.
23 C.1321
D.610987 5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e x
关于y 轴对称，则f(x)= A.1
e
x + B. 1
e
x - C. 1
e
x -+ D. 1
e
x --
6.若双曲线22
221x y a b
-=
A.y=±2x
B.y=
C.12y x =±
D.2
y x =± 7.直线l 过抛物线C: x 2
=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.
43 B.2 C.83
8.设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪
+<⎨⎪->⎩
表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－
2y 0=2，求得m 的取值范围是 A.4,
3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，
6
π
)到直线ρsin θ=2的距离等于 . 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = .
11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA=3，
916PD DB =：：，则PD= ；
AB= .
12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .
13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )，则
λ
μ
= .
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题共13分)
在△ABC 中，a=3，，∠B=2∠A.
(I)求cosA 的值； (II)求c 的值. 16.( 本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;
（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望;
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17. (本小题共14分)
如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD⊥A 1B ，并求
1
BD
BC 的值. 1B
18. (本小题共13分) 设L 为曲线C ：ln x
y x
=
在点(1，0)处的切线. (I)求L 的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方. 19. (本小题共14分)
已知A 、B 、C 是椭圆W ：2
214
x y +=上的三个点，O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积;
(II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 20. (本小题共13分)
已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项
1n a +，2n a +,…的最小值记为B n ，d n =A n －B n 。

(I)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N *
，4n n a a +=)，
写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；
(II)设d 为非负整数，证明：d n =－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列；
(III)证明：若a 1=2，d n =1(n=1,2,3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
参考答案
一、 选择题：
1.B
2.D
3.A
4.C
5.D
6.B
7.C
8.C 二、填空题：
9.1 10.2，1
22n +- 11. 95；
三.解答题：
15.解：（I ）因为a=3，∠B=2∠A. 所以在△ABC 中，由正弦定理得
3sin sin 2A A
=
.
所以
2sin cos sin A A A =
.故cos A =.
(II)由（I ）知c o s A =
，所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以
2
1c o s 2c o s 13B A =-=.所以sin B ==.
在△ABC 中，sin sin()sin cos cos sin 9
C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C
c A
=
=. 16.解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（ i =1,2，…，13）. 根据题意, 1
()13
i P A =
,且()i j A A i j =∅≠.
（I ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58B A A =,
所以5
8582()()()()13
P B P A A P A P A ==+=
. (II)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且
P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)= 413, P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 4
13
,
P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)= 5
13
,
所以X 的分布列为：
012
544131313
X P
故X 的期望5441201213131313
EX =⨯
+⨯+⨯=. (III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
17.解：
（I ）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC.
(II)由（I ）知AA 1 ⊥AC，AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,则B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4)，
设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(，则11100
A B A C ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ,即340
40y z x -=⎧⎨
=⎩
，
令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =.
同理可得，平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =,所以16
cos 25
⋅=
=
n m n,m |n ||m |. 由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为
1625
. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点，且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=. 所以(4,33,4)AD λλλ=-.
由1·0AD A B =，即9250λ-=.解得9
25
λ=. 因为
9
[0,1]25
∈，所以在线段BC 1上存在点D ， 使得AD⊥A 1B. 此时，
19
25
BD BC λ==. 18.解: （I ）设ln ()x f x x =
，则21l n ()x
f x x
-'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-. (II)令()1()g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于
()0g x >(0,1)x x ∀>≠. ()g x 满足(1)0g =，且22
1ln ()1()x x
g x f x x -+''=-=
.
当01x <<时，2
10x -<，ln 0x <，所以()0g x '<，故()g x 单调递减；
当1x >时，2
10x ->，ln 0x >，所以()0g x '>，故()g x 单调递增. 所以，()(1)0g x g >=（0,1x x >≠）. 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方. 又解：()0g x >即ln 10x
x x
--
>变形为2ln 0x x x -->，记2()ln h x x x x =--，则2121(21)(1)
()21x x x x h x x x x x
--+-'=--==，
所以当01x <<时，()0h x '<，()h x 在（0,1）上单调递减；
当1x >时，()0h x '>，()h x 在（1，+∞）上单调递增。

所以()(1)0h x h >=.）
19.解：（I ）椭圆W ：2
214
x y +=的右顶点B 的坐标为（2,0）.因为四边形OABC 为菱形，所
以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A （1，m ）
，代入椭圆方程得2114m +=，即m =.
所以菱形OABC 的面积是
11
||||22||22
OB AC m ⋅=⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.
由2244
x y y kx m
⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ，则
1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m
k m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M （2414km k -+，2
14m
k +）.
因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为1
4k
-.
因为1
()14k k
⋅-≠-，所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形. 20.（I ）12341, 3.d d d d ====
(II)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，所以12.n a a a ≤≤
≤≤
因此n n A a =，1n n B a +=,1(1,2,3,)n n n d a a d n +=-=-=.
(必要性)因为0(1,2,3,
)n d d n =-≤=，所以n n n n A B d B =+≤.
又因为n n a A ≤，1n n a B +≥,所以1n n a a +≤. 于是n n A a =，1n n B a +=. 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列.
(III)因为112,1a d ==，所以112A a ==，1111B A d =-=.故对任意11,1n n a B ≥≥=. 假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项.
设m 为满足2n a >的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1,2k k m a ≤<≤，. 又因为12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>.
于是211m m m B A d =->-=，{}1min ,2m m m B a B -=≥. 故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾.
所以对于任意1n ≥，有2n a ≤，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. 因此对任意1n ≥，12n a a ≤=，所以2n A =. 故211n n n B A d =-=-=.
因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1.。