点的合成运动(讲义).

先分析 k ' 对时间的导数: drA vA e rA dt rA rO k ' drO dk ' e (rO k ') dt dt drO e rO 因为 vO dt dk ' ' 得 同理可得 i , e k '， j '， 即 dt
＝(α r ＋ω ve ) ω vr
＝ae ω v r
利用矢量的相对导数与绝对导数之间的关系
dA dA ＝( ) r ω A dt dt
d va d ve d v r dt dt dt
中
d vr d vr ＝( ) r ＋ω v r ＝ar ＋ω vr dt dt
牵连运动方程
xo' xo' t yo' yo' t t
绝对运动方程
x x t y y t
x x t y y t
xo' xo' t yo' yo' t t
小结:
应用速度合成定理求解点的速度
1、选取动点、动系
动点、动系不能选在同一物体上 相对运动轨迹简单、直观 2、分析三种运动与三种速度（建议采用表格） 3、作速度图（绝对速度必为对角线） 4、求解（几何法；解析法）
§7-３
点的加速度合成定理
va v r ve
d va d v r d ve dt dt dt aa a r ae
说明：运动主体、运动形式
相对轨迹 相对速度
绝对轨迹
相对加速度
vr ar
绝对速度
绝对加速度
va aa
牵连速度 v e 和牵连加速度 a e
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的
速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
牵连点
牵连点
牵连点
牵连点
牵连点
练习：已知 , ，小球的相对速度u，OM=l。 求：该瞬时的牵连速度和牵连加速度
r =r’ +r1
r1 r r lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
va vr ve
va vr ve
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度
与相对速度的矢量和——点的速度合成定理
速度合成定理的推导（2）
难点：
1、动点和动系的选择，相对运动轨迹的判断 2、牵连速度、牵连加速度、科氏加速度的概念和计算
§7-1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
1、动点 2、两个坐标系 定坐标系（定系） 动坐标系（动系） 绝对运动：动点相对于定系的运动 3、三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动
牵连运动：动系相对于定系的运动
i ' e i ', j ' e j ', k ' e k '
ar
ae
2 ' d r
dt 2 2 d rM
dt
2
' ' ' xi y j z k
' ' ' rO xi y j z k
O' x' y' z， ' 动点：Ｍ 定系：Ｏxyz，动系：
rM rO r '
r ' xi ' yj ' z k '
rM rM
M ' 为牵连点
~ dr vr x i y j z k dt
动系中与动点重合点的加速度，即为牵连加速度
而
d ve d d ω d r ＝ (ω r ) r ω dt dt dt dt ＝α r ＋ω va ＝α r ＋ω ve vr
ae α r ω ve
例7-3 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固 定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离 OO1=l。
求：曲柄在水平 位置时摇杆的角 速度 1 。
解:
1.动点：滑块 A 2.运动分析：
vt sin t r vt cos t r
§7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
速度合成定理的推导（1）
z’ x’ z y x O M
绝对运动轨迹
M’
相对运动轨迹
y’
r r1 r ’
M1’
t
动系上与动点重合 的点的运动轨迹
t+t
z’
M’
y’
r r1 r’ M1’
x’ M，M1
y
y' M
O φ
x'
x
实例一：车刀的运动分析
动点：车刀刀尖 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动） 动系：工件
实例二
飞机螺旋桨上一点的运动分析
动点：P点 牵连运动：平动 动系：飞机
相对运动：曲线运动（圆周运动） 绝对运动：曲线运动（螺旋运动）
实例三 回转仪的运动分析
解: 动点： M 点 动系： Oxy 相对运动方程
x OO1 O1M cos y O1M sin
代入
vt r
绝对运动方程
vt x r 1 cos r y r sin vt r
vt x x cos y sin r 1 cos r cos t r sin vt y x sin y cos r 1 cos sin t r sin r
正确的分析过程与结果
பைடு நூலகம்
d ve ＝ae ω v r dt
d va d ve d v r dt dt dt
d vr ＝a r ＋ω v r dt
aa ae ar 2 ω vr
加速度合成定理的推导（2）
以牵连运动为绕定轴转动为例推导。设定轴为定系的z轴。
' ' ' i , j , k 为常矢量
x，y ，z 为常量
2
d rM aa 2 dt r xi yj zk
O
i y j z k ) xi yj zk 2( x
若取摇杆 O1B上A点为动 点，动系固连 曲柄OA，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
讨论：
若取摇杆 O1B上A点为动 点，动系固连 曲柄OA，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
例7-4 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与 凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
车刀刀尖的运动 相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个 运动组合而成——合成运动。
y y' M O φ
x'
x
小球M的运动 相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个 运动组合而成——合成运动。
第七章 点的合成运动
重点：
1、运动的合成与分解的概念
2、点的速度合成定理及其应用
3、点的加速度合成定理及其应用
导数上加“～”表示相对导数。 drM ve dt O xi yj z k r
drM va rO xi yj z k x i y j z k dt
动点：Ｍ点 动系：框架
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 绝对运动：空间曲线运动
绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系
动点：M
O' x' y' 动系：
x x t y y t
绝对运动方程
相对运动方程
x x t y y t
相对运动方程
牵连运动方程
由坐标变换关系有
x xO x cos y sin y yO x sin y cos
点M相对于动系Oxy沿半径为r的圆周 例7-1 以速度v 作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系Oxy 相对于定系 Oxy 以匀角速度ω 绕点O 作定轴转动， 如图所示。初始时 Oxy与 Oxy 重合，点M与O重合。 求：点M的绝对运动方程。
动系：摇杆
O1B
绝对运动－绕O点的圆周运动；
相对运动－沿O1B的直线运动； 牵连运动－绕O1轴定轴转动。 3.速度分析 大小
va ve vr r ? ?
√ √
方向 √
ve va sin r sin
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
讨论：
2
求：矿砂相对于传送带B的速度。
解：1.动点：矿砂M 动系：传送带B
2.运动分析
绝对运动：直线运动（v1） 牵连运动：平移（v 2 ）
相对运动：未知
3.速度分析
va ve vr
大小 v1 v2 ？ 方向 √ √ ？
vr v v 2va ve cos 60 3.6 m s
va ve v r
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和——点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和——点的速度合成定理
va ve v r
说明：此矢量方程包含2个独立的代数方程，所以6个未知 量中已知4个方可求解 思考：与牵连运动的运动形式是否有关？
解：1. 动点：AB杆上A
动系：凸轮
2.运动分析 绝对运动：直线运动（AB）
相对运动：圆周运动（半径R）
牵连运动：定轴运动（轴O）
3.速度分析 va ve
大小
vr ?
√
?
OA
√
方向 √
e va ve cot OA e OA
矿砂从传送带A落入到另一传送带 例7-5 B上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速 度为 v1 4 m s ，方向与铅直线成300角。已知 传送带B水平传动速度 v 3 m s 。
解：1.动点：M点 2.运动分析
动系：框架 BACD
绝对运动：未知 相对运动：圆周运动（圆心O点） 牵连运动：定轴转动（AB轴) 3.速度分析
va ve R2
√
2 r

vr R1
√
2 2
大小 ？ 方向 ？
2 e
va v v R 1 2
ve 2 arctan( ) arctan( ) vr 1
这一结论在很多情形下是不正确的！!
实例
va vr ve vr r
vr2 2 ar ae r r 2 2 va vr 2 aa r 2vr r r
vr ar ae r
ve
aa ar ae

加速度合成定理的推导（1） 当牵连运动为转动时 va ve v r 中 ve ＝ω r
2 a 2 e
ve arcsin( sin 60) 4612 vr
例7-6 圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转 动，支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转 动，如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的 交点O处。(回转仪)
求：当连线OM在水平位 置时，圆盘边缘上的点M的绝 对速度。