河北省唐山一中2019届高三上学期期中考试数学试卷(文)(答案+解析)

河北省唐山一中2019届高三上学期期中考试数学试卷（文）一、选择题
1．已知集合，，则（）A．B．C．D．
2．已知复数(i为虚数单位），则=（）
A．1+3i B．3+i C．1+i D．1-i
3．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（）
A．B．C．(1+)D．
4．已知数列的前项和满足(，）且，则（）A．B．C．D．
5．已知命题：，；命题，，
．则下列命题中的真命题为（）
A．B．C．D．
6．已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为（）
A．B．C．D．
7．函数的图象可能是（）
A．B．C．D．
8．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果
对正整数(首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则的所有不同值的个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
10．如图，在△ABC中，，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若，则的最小值为（）
A．2 B．C．6 D．
11．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），，若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）
A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]
12．已知函数，＞
，＜
．若函数f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A
（x1，f（x1））和B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若0＜k≤2e，则实数m的取值范围为（）
A．，B．（e，2e] C．，D．，
二、填空题
13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为________．14．已知点满足不等式组，若恒成立，
则实数的取值范围是_______．
15．已知的最大值为A，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为____________
16．已知、、分别是正四面体的棱、、上的点，且，若，,则四面体的体积是_________.
三、解答题
17．在锐角中,
（I）求角；
(Ⅱ)若,求的取值范围.
18．若数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和，并比较与1的大小关系.
19．已知函数
（1）求函数的对称轴；对称中心；单调递增区间；
（2）在中，分别是所对的边，当，时，求内切圆面积的最大值.
20．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.
（1）证明：
（2）若AC⊥,，求三棱柱的高.
21．已知函数.
（1）若为的极值点，求的值；
（2）当时，方程有实数根，求的最大值．
22．已知函数
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数有两个极值点,求的最大值.
【参考答案】
1．B
【解析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．由A中不等式变形得：log2x＜1=log22，
解得：0＜x＜2，即A=（0，2），
由B中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜1，即B=（﹣2，1），
则A∩B=（0，1），
故选：B．
2．D
【解析】由题意可得，进而得到.
∵
∴
∴1-i
故选：D
3．A
【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的,其中半圆锥的底面半径为1,四棱锥的底面是一个边长为2的正方形,它们的高均为,则V=×(+4)×= ,故选A.
4．C
【解析】数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，可得S n+1=S n+S1，可得a n+1=5．即可得出．
数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，
令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．
则a8=5．
故选：C．
5．B
【解析】，∴为真命题．
当时，，，，
∴，∴为假命题，∴为真命题．选B．
6．B
【解析】因为函数为偶函数，且在单调递减，
所以在上递增，
又因为，
由得，
，解得或，
的解集为，故选B.
7．D
【解析】先研究函数的奇偶性，再研究函数在ππ上的符号，即可判断选择.
令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为ππ时，，所以排除选项，选D.
8．D
【解析】如果正整数n按照上述规则实行变换后的第9项为1，则变换中的第8项一定是2，变换中的第7项一定是4，按照这种逆推的对应关系可得如下树状图：
则n的所有可能的取值为4，5，6，32，40，42，256共7个.
本题选择D选项.
9．B
【解析】由题意知，不等式有解，只需即可，解得或.
10．A
【解析】由已知，可得=
==，
因为P，M，Q三点共线，所以=1，
所以mn+m===（）（）
=≥
=2，
故选：A．
11．A
【解析】化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f（x）在（0， ∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．f（x）=2sin（ωx﹣），
作出f（x）的函数图象如图所示：
令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，
∴x=+，或x=+，k∈Z，
设直线y=﹣1与y=f（x）在（0， ∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则x A=，x B=，
∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，
∴x A＜π≤x B，
即＜π≤，解得＜．
故选：A．
12．C
【解析】当x＞0时，函数f（x）=mx﹣lnx的导函数为，不妨设x2=﹣x1＞0，则有，∴，可得：，．由直线的斜率公式得
，m＞0，又k＞0，可得1+lnm＞0，＞，令
，＞，得h′（m）=2+lnm=1+（1+lnm）＞0，得：＜，所以＜．当x＞0时，函数f（x）=mx﹣lnx的导函数为，
由函数f（x）有两个极值点得m＞0，又f（x）为奇函数，不妨设x2=﹣x1＞0，
则有，∴，可得：，．
由直线的斜率公式得，m＞0，
又k＞0，∴1+lnm＞0，∴＞，（当＜时，k≤0，不合题意）
令，＞得h′（m）=2+lnm=1+（1+lnm）＞0，
∴h（m）在，上单调递增，又，，
由0＜k≤2e得：＜，所以＜．
故选：C．
13．
【解析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．
∵•（2+）=1，∴，
∵，∴，化为．
∴＜，＞==﹣．
故答案为：．
14．
【解析】满足不等式组的平面区域如图所示，由于对任意的实数，不等式恒成立，根据图形，可得斜率或，解得，则实数的取值范围是．
15．
【解析】∵f（x）=sin（2019x+）+cos（2019x﹣），
=2019x+cos2019x+cos2019x+2019x，
=2019x+cos2019x
=2sin（2019x+），
∴A=f（x）max=2，周期T=，
又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，
|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，
∴A|x1﹣x2|的最小值为．
故答案为：．
16．
【解析】由题意画出图形，设PD=x，PE=y，PF=z，由余弦定理得到关于x，y，z的方程组，求解可得x，y，z的值，然后分别求出三角形PDE的面积及F到平面PDE的高，代入棱锥体积公式得答案．
如图，
设PD=x，PE=y，PF=z，则
∵DE=2，DF=EF=，
∴由余弦定理得，x2+y2﹣2xy•=4①
y2+z2﹣2yz•=7②
z2+x2﹣2zx•=7③
③﹣②得，x2﹣y2=xz﹣yz，
即（x+y）（x﹣y）=z（x﹣y），
∵x≠y，则z=x+y，
代入②，得x2+y2+xy=7，
又x2+y2﹣xy=4，不妨设x＞y，
解得，x=，y=，z=．
则△ =，
F到平面PDE的距离d=．∴V P﹣DEF=．
故答案为：．
17.解：（1）由
且4分
（2）又
8分
12分18．解：（1）当时，，则
当时，，
即，由可得或
则或.
（2）
当n为奇数时,
当n为偶数时，
19．解：(1)
对称轴为
对称中心为
单调递增区间为
(2) 由
由得
由余弦定理,即
由基本不等式得
，
内切圆面积最大值为
20．解：（1）连接，则O为与的交点.因为侧面为菱形，所以
又平面，所以，故平面ABO.由于平面ABO，故
（2）作，垂足为D，连接AD.作，垂足为H. 由于，，故平面AOD，所以.又，所以平面ABC.
因为，所以为等边三角形，又BC=1，
可得.由于，所以
由，且，得
又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为，
故三棱柱的距离为.
21．解：（1），求导
由为的极值点，则，即，解得：，
当
从而为函数的极值点，成立，
∴；
（2）当时，方程，转化成
即，令
则在（0， ∞）上有解，
令
求导，
当0＜t＜1时，h′（t）＞0，故h（t）在（0，1）上单调递增；
当t＞1时，h′（t）＜0，故h（t）在（1， ∞）单调递减；
h（t）在（0， ∞）上的最大值为h（t）max=h（1）=0，
此时
当a=﹣1时，方程有实数根，求b的最大值0．
22．解：（1），
当时，，所以在内单调递减，
则有，从而当时，，得，当，有，则在上内单调递增，此时，与恒成立矛盾，因此不符合
题意
综上实数的取值范围为.
( 2 )则
由已知，可得，即方程有2个不相等的实数根，则，解得，其中
而g（x2）﹣g（x1）=alnx2﹣x2+﹣alnx1+x1﹣=aln+（x1﹣x2）+（﹣）
=（x2+）lnx22+﹣x2++x2
=2[（+x2）lnx2+﹣x2]，
由可得，又，所以
设，
，由，则，故
所以在单调递增，当时，取得最大值，最大值为。