【精准解析】湖南省株洲市茶陵县第三中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题

【详解】由函数的解析式可得： f (1) e 3 0, f (2) e2 2 0 ，
因为 f (1) f (2) 0 ，所以函数 f (x) 的零点位于区间 1, 2 .
故选：B 【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.
11.函数 y sin x cos x 3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是（ ） 2
g x loga x b 的图象，排除 A，选 B.
法二：结合二次函数的图象可知， a 1， 1 b 0 ，所以 a 1， 0 b 1 ，在
g x loga x b 中，取 x 0 ，得 g 0 loga b 0 ，只有选项 B 符合，
故选 B. 【点睛】本题考查函数的图象，对数函数的图象与性质和图象的平移变换.
5
π
B. 向左平移 个单位长度
6
π
C. 向右平移 个单位长度
3
π
D. 向左平移 个单位长度
3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平移之前和之后的形式，直接判断平移方向和长度.
【详解】因为 (2x ) 2x ， 33
即
2
x
6
3
2x
，根据平移变换规律“左＋右－，
可知函数
y
sn
2x
3
向左平移
；（2）增区间为
4k
3π 2
,
4k
π 2
，
k
Z
；减区间
为
4k
π 2
,
4k
5π 2
，
k
Z
.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知 A 2 ，再根据最高点的横坐标和零点之间的距离求周期，以及利用“五
点法”，求 ；
（2）由（1）可知 y
2
sin
1 2
x
π 4
，根据
2k
π 2
x 2
π 4
2k
π 2
3.角 的终边经过点
3 2
,
1 2
，那么
tan
的值为（
）
1
A.
2
【答案】C
B. 3 2
C. 3 3
D.
D. 1 2
D. 3
-1-
【解析】
tan y 1 3 ，故选 C．
x
33
4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A. 72 【答案】D
B. 48
C. 27
18.如图， ABCD 是正方形， O 是该正方体的中心， P 是平面 ABCD 外一点， PO 平面 ABCD ， E 是 PC 的中点.
（1）求证： PA / / 平面 BDE ； （2）求证： BD 平面 PAC .
【答案】证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）要证 PA 与平面 EBD 平行，而过 PA 的平面 PAC 与平面 EBD 的交线为 EO ， 因此只要证 PA / / EO 即可，这可由中位线定理得证；（2）要证 BD 垂直于平面 PAC ，就是 要证 BD 与平面 PAC 内两条相交直线垂直，正方形中对角线 BD 与 AC 是垂直的，因此只要 再证 BD PO ，这由线面垂直的性质或定义可得． 试题解析：证明：（1）连接 EO ，∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ O 为 AC 的中点， ∵ E 是 PC 的中点，∴ OE 是 APC 的中位线. ∴ EO / /PA ，∵ EO 平面 BDE ， PA 平面 BDE ， ∴ PA / / 平面 BDE .
故选：B
【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.
2. cos π 的值是( ) 6
A. 3 2
B. 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值，直接求解.
C. 1 2
【详解】根据特殊角的三角函数值，可知 cos 3 . 62
故选：A
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题型.
6
个单位得到
y
sin
2x
.
-3-
故选：B
【点睛】本题考查三角函数平移变换规律，属于基础题型，平移变换规律“左＋右－，是对 x
来说.
9.已知向量 a x, 1 ，
b 1,
3
，若
a
b
，则
r a
（
）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
由
a
b
，
a
x,
1
，
b
1,
3 ，可得： x
-5-
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.函数 f x lg x 4 的定义域为__________.
x
【答案】 4,0 U 0,
【解析】
【分析】
根据函数的形式，列出使函数成立的不等式.
【详解】由题意可知函数的定义域需满足
x 4 0
x
0
，解得： x 4 且 x 0 .
，根据三角函数的性质，直接求周期和最值.
sin x 1 cos x 1
sin x cos x
2
sin
x
π 4
∴ f x
2
sin
x
π 4
-7-
（2）由（1）可得 T 2π 2π ， 1
∵
1
sin
x
π 4
1
∴ f x 的最大值为
2
【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于基础题型.
的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 由二次函数的图像得到 a＞1，即-1＜b＜0，再根据对数函数的性质即可得到答案．
【详解】法一：结合二次函数的图象可知，a 1，1 b 0 ，所以函数 g x loga x b
单 调 递 增 ， 排 除 C ， D ； 把 函 数 y loga x 的 图 象 向 左 平 移 b 个 单 位 ， 得 到 函 数
x
轴交于点
3 2
,
0
，
- 10 -
可得得
2
sin
1 2
3π 2
0
，即
sin
3π 4
0
②，
由①②求得 π ，故曲线的解析式为 y
4
2
sin
1 2
x
π 4
.
（2）对于函数 y
2
sin
1 2
x
π 4
，令
2k
π 2
x 2
π 4
2k
π 2
，
求得 4k 3π x 4k π ，
3 0，x
3 ，即 a
3, 1
所以 a 3 2 12 2
故选 C
10.设函数 f (x) e x x 4 ，则 f (x) 的零点位于区间（ ）
A. 1,0
B. 1, 2
C. 0,1
D. 2,3
【答案】B 【解析】 【分析】 分别将选项中区间的端点值代入，利用零点存在定理判断即可.
几何体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题．
5.已知 tan 0 且 cos 0 ，则 的终边在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角三角函数的定义，分别求出当 tan 0 和 cos 0 时 所在的终边，判断象限. 【详解】当 tan 0 时， 在第一象限或是第三象限， 当 cos 0 时， 在第二象限，或是第三象限，或是在 x 轴的非正半轴， 综上可知 应位于第三象限.
-8-
（2）∵ PO 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ， ∴ PO BD ， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC BD ， ∵ PO AC O ， AC 平面 PAC ， PO 平面 PAC ， ∴ BD 平面 PAC .
考点：线面平行与线面垂直的判断．
19.已知
（1）求 f x 的解析式；
（2）求 f x 的最小正周期和最大值.
【答案】（1） f x
2
sin
x
π 4
；（2）
2
，
2.
【解析】
【分析】
（1）根据数量积的坐标表示，写出 f x ，并根据辅助角公式化简函数；
（2）由（1）可知 f x
【详解】（1） f x a b
2
sin
x
π 4
故选：C
-2-
【点睛】本题考查三角函数的定义，重点考查根据三角函数的正负，判断角 终边所在的象
限.
6.函数 y tan(2x ) 的最小正周期为（ ） 4
A.
4
B.
2
【答案】B
C.
D. 2
【解析】
试题分析：
,故选 B.
考点：正切函数的周期性.
7.已知点 A(1，－2)、B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x＋2y－2＝0，则实数 m 的
所以不等式的解集是 4, 0 U 0, .
故答案为： 4,0 U 0,
【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题型.
14.已知 sin = 4 ，且 是第二象限角，则 cos ___________． 5
【答案】- 3 5
【解析】
∵ 是第二象限角，
∴ cos 0 ． 又 sin 4 ，
5
∴ cos 1 sin2 1 ( 4)2 3 ．
5
5
答案：- 3 5
15. sin 75 ______．
【答案】
【解析】
试
题
分
析
：
-6-
sin 75 sin(45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 2 3 2 1 6 2 .
2 2 22
7 25
2 24 2 25
2 17 2 2 50
20.已知曲线
y
A sin
x
A
0,
0
上的一个最高点的坐标为
π 2
,
2
，由此点到相
邻最低点间的曲线与
x
轴交于点
3π 2
,
0
，
π 2
,
π 2
.
（1）求这条曲线的函数解析式；
（2）写出函数的单调区间.
【答案】（1） y
2
sin
1 2
x
π 4
茶陵县第三中学 4 月份考试 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.设集合 A 0,1, 2,3 ， B 1,3, 4 ，则 A B ( )
A. 1, 2
B. 1,3
C. 0,1
0,1, 2,3, 4
【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合包含的元素，直接求交集.
【详解】 A B 1,3 .
A. ，1
B. ，2
C. 2 ，1
【答案】A
【解析】
y sinxcosx
3 cos2x 1 sin2x
2
2
3 2
cos2x
sin
2x
3
.
D. 2 ，2
-4-
2
周期为：
π ，振幅为 1.
2
故选 A.
12.已知函数 f x x a x b （其中 a b ）的图象如图所示，则函数 g x loga x b
4
将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.
考点：两角和的正弦
16.若向量
AB
1,
2,
BC
3, 4
，则
AC
__________．
【答案】 2, 6
【解析】
由题意得， AC AB BC (2, 6)
三、解答题（共 70 分）
17.已知 a 1, 1 ， b sin x, cos x ， f x a b .
求函数的单调递
增区间,根据 2k π x π 2k 3π 求函数的单调递减区间.
2 24
2
【详解】（1）由题意可得 A
2
，
1 4
2π
3π 2
π 2
，求得
1 2
.
再根据最高点的坐标为
π 2
,
2
，可得
2
sin
1 2
π 2
2
，即
sin
1 2
π 2
①.
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与
试题解析：
（1）
f
tan cos cos cos
sin
-9-
（2） f sin 4
5
又∵ 为第二象限角，∴ cos 3 ， 5
sin2 2sincos 24 ，cos2 cos2 sin2 7
25
25
∴
cos
2
4
cos2cos 4
sin2sin
4
D. 36
【解析】
【分析】
由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个直角三角形，直角边长分别是 4，6cm，
三棱柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长是 3，利用体积公式得到结果
【详解】由题可得直观图为三棱柱，故体积为：V Sh 4 6 1 3 36 ，故选 D. 2
【点睛】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所给的
f
tan
cos 2
sin
2
cos
．
（1）化简 f ；
（2）若
f
4 5
，且
是第二象限角，求
cos
2
4
的值．
【答案】（1） f ( ) sin 4 ;（2） 17 2 .

50
【解析】
试题分析：(1)运用诱导公式,同角三角函数的基本关系式,即可化简;
(2)运用二倍角的正弦和余弦公式和两角和的余弦公式,即可得到.
值是 ( )
A. －2
B. －7
C. 3
D. 1
【答案】C
【解析】
由已知条件可知线段 AB 的中点 (1 m , 0) ，在直线 x 2 y 2 0 上， 2
把中点坐标代入直线方程，解得 m 3 ，故选 C.
8.要得到函数
y
sin
2
x
的图象，只需将函数
y
sin
2x
π 3
的图象(
)
π
A. 向右平移 个单位长度
2
2
可得函数的增区间为
4k
3π 2
,
4k
π 2
，
k
Z
.
令 2k π x π 2k 3π ，求得 4k π x 4k 5π ，
2 24
2
2
2
可得函数的减区间为
4k
π 2
,
4k
5π 2
，
k
Z
.
【点睛】本题考查三角函数解析式的求法，函数性质，属于基础题型.
21.已知圆 C 的圆心坐标 1,1 ，直线 l ： x y 1被圆 C 截得弦长为 2 .