二次函数的图象及其性质

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及其性质
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；
x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；
x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物
线的最高点．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，
抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对
称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；当b=0时，对称轴是y轴．
③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；
④抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
例1．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是
对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；
③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1
＞y2，其中正确的是（）
A．①②③B．①③④
C．①②④D．②③④
例2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一
元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（）
A．0 B．1
C．2 D．3
例3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；
⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．
其中正确的有（）
A．①②③B．②④
C．②⑤D．②③⑤
例4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；
④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（）
A．4个B．3个
C．2个D．1个
例5．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（）
A．①②B．①④
C．①③④D．②③④
例6．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为（）
A．1 B．3
C． 5 D．7
例7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值
2x与y的部分对应值如下表：
（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
练习题
1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0
其中正确结论的有（）
A．①②③B．①②④
C．①③④D．②③④
2．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点
A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则
以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；
③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（）
A．1个B．2个
C． 3个D．4个
3．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛
物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是（）
A．①②③B．②④⑤
C．①③④D．③④⑤
4．已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值
5．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，
且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数
是（）
A．0或2 B．0或1
C．1或2 D．0，1或2
6．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）
A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0
C． x1＜x0＜x2D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
7．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）
A．B．
C．D．
8．小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（）
A．L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴
C． L2为x轴，L3为y轴D．L2为x轴，L4为y轴
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；
④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（）
A．1 B．2
C． 3 D．4
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），
且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（）
A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2
C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0
11．（2013•陕西）已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c
12．已知二次函数y=﹣x2+3x﹣，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取。