湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 分层作业 第2章 三角恒等变换 2.2 二倍角的三角函数
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25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
C级
学科素养创新练
19.如图所示,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿由点B到点E
的方向前进30 m至点C处,测得顶角A的仰角为2θ,再沿刚才的方向继续前
进10 3 m到点D,测得顶点A的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高.
4
7
A.
8
解析
cos 2α=( C )
7
B.8
2
∵sin(π-α)= 4 =sin
∴cos 2α=1-2sin
3
C.
4
α,
2
α=1-2×
16
2
3
D.4
=
3
.故选
4
C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
sin+cos
5.若
sin-cos
称轴,A 正确;
π
f(x)的最小正周期是 ,所以
2
B 正确;
f(x)是偶函数,没有对称中心,C 错误;
1
由图可知,f(x)= |sin
2
2x|在区间
π π
,
4 2
上单调递减,D 错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
15.若 θ∈
π π
∴sin
1-cos2
θ=
2
∴sin
3
θ= .
4
2
=
1- 2
1
8
=
9
,
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
16.化简: 2 +
解析
2sin4
2 + 2cos(2π<α<3π)=____________.
∵2π<α<3π,∴π<2
∴ 2 + 2 + 2cos =
2
3
π
符合,原式= ·cos
3
6
=
不符合,原式=sin
1
;D
2
符合,原式=sin
1
30°=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
14.(多选题)已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是( A B )
A.f(x)的图象关于直线
( AC)
π
A.4
π
B.2
3π
C. 8
解析 ∵函数 f(x)=sin 2x+2sin x-1=sin 2x-cos 2x=
2
D.π
π
2sin(2x- )在区间[0,m]上
4
单调递增,
π
∴2m4
≤
π
,得
2
3π
0<m≤ .故选
8
AC.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
解 ∵∠ACD=θ+∠BAC=2θ,
∴∠BAC=θ,∴AC=BC=30 m.
又∠ADE=2θ+∠CAD=4θ,∴∠CAD=2θ,
∴AD=CD=10 3 m,
∴在 Rt△ADE 中,AE=AD·sin 4θ=10 3sin 4θ,
2θ=
−
cos2
coscos2
=
cos-2sin2 cos
coscos2
=
1-2sin2
cos2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
=
cos2
=1.
cos2
18.已知 sin α+cos
3 5
π
π 3
π π
α= ,α∈(0, ),sin(β- )= ,β∈ ,
2
2α=-(1-2sin
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B.
π
4 π
π
3.已知 cos(θ- )= ,- <θ< ,则 sin 2θ 的值等于( B )
2 5 2
2
24
A.25
解析 因为
所以 cos θ=
24
B.
25
π
cos(θ- )=sin
4
cos2
4
4
(2)原式= 3tan 30°(1-tan 15°)+tan 15°= 3 ×
2
2
3
(1-tan215°)+tan215°=1.
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B级
9.已知
关键能力提升练
tan
2
=
2
1-cos+sin
=
3
,
10
整理得 3tan α+20tan α-7=0,解得 tan
2
1
α= ,故选
3
3
,则
10
1
α=3或
tan α=-7.又 α∈
C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
π
0, 2
,所以 tan
1
13.(多选题)下列各式的值为 的是( A C
5
4
4 5
4 2
.
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
解 (1)由题意得(sin α+cos α)
∴sin
4
2α=5,又易知
∴cos 2α=
2α∈
1-sin2 2
=
π
0, 2
2
9
= ,即
5
1+sin
9
2α= ,
5
,
3
,∴tan
5
sin2
2α=cos2
=
4
.
3
2
tan22.5°
A.
1-tan2 22.5°
D)
B.tan 15°cos215°
3
π
3
π
2
2
C. cos − sin
3
12
3
12
D.
解析 A
1
2tan22.5°
符合,原式= ×
2 1-tan2 22.5°
15°·cos
1
15°= sin
2
1
30°= ;C
4
=
1-cos60°
2
1
tan
2
1
45°= ;B
<
3π π
,
2 2
2+
<
4
<
2
4cos
2
3π
.
4
=
2-2cos 2
=
2
4sin =2sin .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
4
4
1
17.求证:cos2-tan
证明
1
-tan
cos2
θtan 2θ=1.
θtan
1
sinsin2
12.若 α∈
π
0,
2
,且
1
A.
2
解析
1-2tan
tan2 +1
π
2
cos α+cos
2
+ 2 =
1
B.
4
cos2α+cos
=
π
+ 2
2
1
C.
3
tan α=( C )
1
D. 或-7
3
=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos
cos2 -2sincos
α=
sin2 +cos2
A级
必备知识基础练
1.若角α的终边过点P(3,-4),则sin 2α的值为( D )
12
A.25
12
B.-25
24
C.25
24
D.-25
解析 因为角 α 的终边过点 P(3,-4),
所以 sin
4
α=-5,cos
3
α=5.
所以 sin 2α=2sin αcos
3
4
24
α=2× ×(- )=- .故选
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
(2)∵β∈
∴cos
π π
,
4 2
π
- 4
=
π
,β4
∈
π
0,
4
π 3
,sin(β- )= ,
4 5
4
,
5
π
∴sin 2 - 4 =2sin
π
又 sin 2 - 4 =-cos
π
- 4
cos
2β,∴cos
在 Rt△ACE 中,AE=AC·sin 2θ=30sin 2θ,
∴10 3sin 4θ=30sin 2θ,
即 20 3sin 2θcos 2θ=30sin 2θ,
3
π
∴cos 2θ= 2 .又 2θ∈(0,2),
π
∴2θ= ,
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
π
x=2对称
π
B.f(x)的最小正周期为
2
C.(π,0)是 f(x)的一个对称中心
D.f(x)在区间
π π
,
4 2
上单调递增
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
由图可知,f(x)的对称轴是直线
π
x= ,k∈Z,所以直线
4
π
x= 是
2
f(x)图象的一条对
(1)
2cos2 -1
π
π
2tan 4 - sin2 4 +
;
(2)2 3tan 15°+tan215°.
cos2
解 (1)原式=
cos2
=
π
π
π
π
π
2
2tan - cos
- - 2tan - cos2 -
4
24
4
4
cos2
cos2
=
=
=
=1.
π
π
π
cos2
2sin - cos - sin 2× -2
2π<α<3π,∴π<2
sin +cos =(
2
2
<
3
D.3
4
α=3.
3π
,
2
∴sin <0,cos <0,
2
2
2 3
∴sin +cos =- .
2
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
11.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1在区间[0,m]上单调递增,则m可取
=
1
,则
2
3
4
3
4
A.-
4
3
B.
sin+cos
等式
sin-cos
解析
tan+1
tan-1
∴tan
tan 2α=( B )
=
1
,解得
2
=
C.-
1
左边分子、分母同时除以
2
4
3
D.
cos α(显然 cos α≠0),得
tan α=-3,
2tan
2α=1-tan2
=
3
.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
π
- 4
=
24
2β=-25.
24
.
25
π
7
又易知 2β∈ ,π ,∴sin 2β= .
2
25
1+cos2
4
2 5
2
又 cos α= 2
= 5,∴cos α= 5 ,∴sin
∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin
α=
2 5
2β=
×
5
5
,
5
24
25
−
5
7
11 5
× =.
5
25
π
π
∴θ= ,AE=30sin =15
12
6
故θ
m,
π
的大小为 ,建筑物
12
AE 的高为 15 m.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2
2 2
2
2
2
2sin2 +2sin cos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10.设 sin
1
α= ,2π<α<3π,则
3
2 3
A.3
解析
又
2 3
B.
3
∵sin
A )
4
C.
3
2
sin 2 + cos 2 =1+sin
1
α=3,∴
2sin2 cos2
tan 2α
7.化简:
·
=____________.
1+cos2 cos2
解析
2sin2 cos2
原式= 2 ·
=tan
2cos cos2
2α.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
8.求下列各式的值:
,则
的值为(
3
1+cos+sin
2
A.
3
解析
2
B.3
∵tan2
=
A )
3
C.
2
3
D.2
2
,
3
2sin(sin+cos)
1-cos+sin
2
2
2
2
2
2
2
∴1+cos+sin =
=
=tan2 = 3.故选 A.
2cos2 +2sin cos 2cos (cos +sin )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
C级
学科素养创新练
19.如图所示,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿由点B到点E
的方向前进30 m至点C处,测得顶角A的仰角为2θ,再沿刚才的方向继续前
进10 3 m到点D,测得顶点A的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高.
4
7
A.
8
解析
cos 2α=( C )
7
B.8
2
∵sin(π-α)= 4 =sin
∴cos 2α=1-2sin
3
C.
4
α,
2
α=1-2×
16
2
3
D.4
=
3
.故选
4
C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
sin+cos
5.若
sin-cos
称轴,A 正确;
π
f(x)的最小正周期是 ,所以
2
B 正确;
f(x)是偶函数,没有对称中心,C 错误;
1
由图可知,f(x)= |sin
2
2x|在区间
π π
,
4 2
上单调递减,D 错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
15.若 θ∈
π π
∴sin
1-cos2
θ=
2
∴sin
3
θ= .
4
2
=
1- 2
1
8
=
9
,
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
16.化简: 2 +
解析
2sin4
2 + 2cos(2π<α<3π)=____________.
∵2π<α<3π,∴π<2
∴ 2 + 2 + 2cos =
2
3
π
符合,原式= ·cos
3
6
=
不符合,原式=sin
1
;D
2
符合,原式=sin
1
30°=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
14.(多选题)已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是( A B )
A.f(x)的图象关于直线
( AC)
π
A.4
π
B.2
3π
C. 8
解析 ∵函数 f(x)=sin 2x+2sin x-1=sin 2x-cos 2x=
2
D.π
π
2sin(2x- )在区间[0,m]上
4
单调递增,
π
∴2m4
≤
π
,得
2
3π
0<m≤ .故选
8
AC.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
解 ∵∠ACD=θ+∠BAC=2θ,
∴∠BAC=θ,∴AC=BC=30 m.
又∠ADE=2θ+∠CAD=4θ,∴∠CAD=2θ,
∴AD=CD=10 3 m,
∴在 Rt△ADE 中,AE=AD·sin 4θ=10 3sin 4θ,
2θ=
−
cos2
coscos2
=
cos-2sin2 cos
coscos2
=
1-2sin2
cos2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
=
cos2
=1.
cos2
18.已知 sin α+cos
3 5
π
π 3
π π
α= ,α∈(0, ),sin(β- )= ,β∈ ,
2
2α=-(1-2sin
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B.
π
4 π
π
3.已知 cos(θ- )= ,- <θ< ,则 sin 2θ 的值等于( B )
2 5 2
2
24
A.25
解析 因为
所以 cos θ=
24
B.
25
π
cos(θ- )=sin
4
cos2
4
4
(2)原式= 3tan 30°(1-tan 15°)+tan 15°= 3 ×
2
2
3
(1-tan215°)+tan215°=1.
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B级
9.已知
关键能力提升练
tan
2
=
2
1-cos+sin
=
3
,
10
整理得 3tan α+20tan α-7=0,解得 tan
2
1
α= ,故选
3
3
,则
10
1
α=3或
tan α=-7.又 α∈
C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
π
0, 2
,所以 tan
1
13.(多选题)下列各式的值为 的是( A C
5
4
4 5
4 2
.
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
解 (1)由题意得(sin α+cos α)
∴sin
4
2α=5,又易知
∴cos 2α=
2α∈
1-sin2 2
=
π
0, 2
2
9
= ,即
5
1+sin
9
2α= ,
5
,
3
,∴tan
5
sin2
2α=cos2
=
4
.
3
2
tan22.5°
A.
1-tan2 22.5°
D)
B.tan 15°cos215°
3
π
3
π
2
2
C. cos − sin
3
12
3
12
D.
解析 A
1
2tan22.5°
符合,原式= ×
2 1-tan2 22.5°
15°·cos
1
15°= sin
2
1
30°= ;C
4
=
1-cos60°
2
1
tan
2
1
45°= ;B
<
3π π
,
2 2
2+
<
4
<
2
4cos
2
3π
.
4
=
2-2cos 2
=
2
4sin =2sin .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
4
4
1
17.求证:cos2-tan
证明
1
-tan
cos2
θtan 2θ=1.
θtan
1
sinsin2
12.若 α∈
π
0,
2
,且
1
A.
2
解析
1-2tan
tan2 +1
π
2
cos α+cos
2
+ 2 =
1
B.
4
cos2α+cos
=
π
+ 2
2
1
C.
3
tan α=( C )
1
D. 或-7
3
=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos
cos2 -2sincos
α=
sin2 +cos2
A级
必备知识基础练
1.若角α的终边过点P(3,-4),则sin 2α的值为( D )
12
A.25
12
B.-25
24
C.25
24
D.-25
解析 因为角 α 的终边过点 P(3,-4),
所以 sin
4
α=-5,cos
3
α=5.
所以 sin 2α=2sin αcos
3
4
24
α=2× ×(- )=- .故选
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
(2)∵β∈
∴cos
π π
,
4 2
π
- 4
=
π
,β4
∈
π
0,
4
π 3
,sin(β- )= ,
4 5
4
,
5
π
∴sin 2 - 4 =2sin
π
又 sin 2 - 4 =-cos
π
- 4
cos
2β,∴cos
在 Rt△ACE 中,AE=AC·sin 2θ=30sin 2θ,
∴10 3sin 4θ=30sin 2θ,
即 20 3sin 2θcos 2θ=30sin 2θ,
3
π
∴cos 2θ= 2 .又 2θ∈(0,2),
π
∴2θ= ,
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
π
x=2对称
π
B.f(x)的最小正周期为
2
C.(π,0)是 f(x)的一个对称中心
D.f(x)在区间
π π
,
4 2
上单调递增
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
由图可知,f(x)的对称轴是直线
π
x= ,k∈Z,所以直线
4
π
x= 是
2
f(x)图象的一条对
(1)
2cos2 -1
π
π
2tan 4 - sin2 4 +
;
(2)2 3tan 15°+tan215°.
cos2
解 (1)原式=
cos2
=
π
π
π
π
π
2
2tan - cos
- - 2tan - cos2 -
4
24
4
4
cos2
cos2
=
=
=
=1.
π
π
π
cos2
2sin - cos - sin 2× -2
2π<α<3π,∴π<2
sin +cos =(
2
2
<
3
D.3
4
α=3.
3π
,
2
∴sin <0,cos <0,
2
2
2 3
∴sin +cos =- .
2
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
11.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1在区间[0,m]上单调递增,则m可取
=
1
,则
2
3
4
3
4
A.-
4
3
B.
sin+cos
等式
sin-cos
解析
tan+1
tan-1
∴tan
tan 2α=( B )
=
1
,解得
2
=
C.-
1
左边分子、分母同时除以
2
4
3
D.
cos α(显然 cos α≠0),得
tan α=-3,
2tan
2α=1-tan2
=
3
.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
π
- 4
=
24
2β=-25.
24
.
25
π
7
又易知 2β∈ ,π ,∴sin 2β= .
2
25
1+cos2
4
2 5
2
又 cos α= 2
= 5,∴cos α= 5 ,∴sin
∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin
α=
2 5
2β=
×
5
5
,
5
24
25
−
5
7
11 5
× =.
5
25
π
π
∴θ= ,AE=30sin =15
12
6
故θ
m,
π
的大小为 ,建筑物
12
AE 的高为 15 m.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2
2 2
2
2
2
2sin2 +2sin cos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10.设 sin
1
α= ,2π<α<3π,则
3
2 3
A.3
解析
又
2 3
B.
3
∵sin
A )
4
C.
3
2
sin 2 + cos 2 =1+sin
1
α=3,∴
2sin2 cos2
tan 2α
7.化简:
·
=____________.
1+cos2 cos2
解析
2sin2 cos2
原式= 2 ·
=tan
2cos cos2
2α.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
8.求下列各式的值:
,则
的值为(
3
1+cos+sin
2
A.
3
解析
2
B.3
∵tan2
=
A )
3
C.
2
3
D.2
2
,
3
2sin(sin+cos)
1-cos+sin
2
2
2
2
2
2
2
∴1+cos+sin =
=
=tan2 = 3.故选 A.
2cos2 +2sin cos 2cos (cos +sin )