高中数学第一章三角函数.5函数y=Asin(ω+φ)的图象一课时作业新人教必修4

【创新设计】〔浙江专用〕2021-2021高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y ＝Asin(ωx＋φ)图象〔一〕课时
作业 新人教版必修4
1.将函数y ＝sin 2x 图象向右平移π
2个单位，所得图象对应函数是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析 y ＝sin 2x ―――――→向右平移π2
个单位
y ＝sin2⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝－sin 2x ，所得函数为y ＝－sin 2x ，是奇函数.
答案 A
2.函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 图象，只要将y ＝f (x )图象( )
A.向左平移π
8个单位长度
B.向右平移π
8个单位长度
C.向左平移π
4个单位长度
D.向右平移π
4
个单位长度
解析 ∵f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)最小正周期为π，∴2πω＝π.
∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4.又∵g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π8＋π4，∴只要将y ＝f (x )图象向左平移π
8
个单位即可得到
g (x )＝cos ωx 图象.
答案 A
3.将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－π2<θ<π2图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )图象，假设f (x )，g (x )图象都经过点P ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，32，那么φ值可以是( ) A.5π3
B.5π6
C.π2
D.π6
解析 先求出解析式中字母取值，再利用代入法确定答案.
∴P ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，32在f (x )图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32
.
∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝sin ⎣⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤2〔x －φ〕＋π3. ∵g (0)＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π3－2φ＝32.
验证，φ＝56π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－53π＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－43π＝32B.
答案 B
4.将函数y ＝sin x 图象上所有点横坐标缩短到原来1
4倍(纵坐标不变)
得____图象. 答案 y ＝sin 4x
5.函数y ＝sin 2x 图象向右平移φ个单位(φ＞0)得到图象恰好关于x ＝π
6
对称，那么φ最小值是_______. 解析 函数y ＝sin 2x 图象向右平移后得到
y ＝sin [2(x －φ)]图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，
所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z ).当k ＝－1时，φ＝5
12π.
答案 5
12
π
6.把函数y ＝f (x )图象上各点向右平移π
6个单位，再把横坐标伸长到原来
2倍，再把纵坐标缩短到原来2
3
倍，所得图象解析式是y ＝
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫12x ＋π3，求f (x )解析式. y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋π2＝3cos x .
∴f (x )＝3cos x .
7.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)图象向右平移π
2
个单位后，与函数y
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象重合，求φ值. 解 函数y ＝cos(2x ＋φ)图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π3图象，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π3图象向左平移π2个单位得到函数
y ＝cos(2x
＋φ)图象，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π3图象向左平移π2个单位，得
y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π＋π3 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋5π6， 即φ＝5π6
.
8.使函数y ＝f (x )图象上每一点纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来
1
2倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π
6个单位得到曲线与y ＝sin 2x
图象一样，求f (x )表达式. 解 法一 正向变换
y ＝f (x )―――――――→横坐标缩小到原来
12
y ＝f (2x )―――――――――→沿x 轴向左平移π6
个单位
y ＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，那么2x ＝t －π3
，
∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 法二 逆向变换
据题意，y ＝sin 2x ――――――――→沿x 轴向右平移π
6
个单位
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3―――――――――――――→横坐标伸长到原来2倍纵坐标不变
y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 能 力 提 升
9.设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )图象向右平移π
3个单位长度
后，所得图象与原图象重合，那么ω最小值等于( ) A.13
解析 由题π3＝2π
ω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝
6. 答案 C
10.把函数y ＝cos 2x ＋1图象上所有点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图象是( )
解析 由题意，y ＝cos 2x ＋1图象上所有点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋
1，再向下平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)，利用特殊点⎝
⎛⎭⎪⎪⎫π2，0变为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π2－1，0，知选A. 答案 A
11.某同学给出了以下论断：
①将y ＝cos x 图象向右平移π
2个单位，得到y ＝sin x 图象；
②将y ＝sin x 图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)图象； ③将y ＝sin(－x )图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)图象；
④函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π3图象是由y ＝sin 2x 图象向左平移π3个单位而
得到.
其中正确结论是_____(将所有正确结论序号都填上). 答案 ①③
12.函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)最小正周期是π，要得到函数g (x )＝sin ωx 图象，需将f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫ωx ＋π4图象_______. 解析 由T ＝2πω＝π得ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，g (x )＝sin 2x ，只需将f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π4向右平移π8个单位长度即可得到函数
g (x )＝
sin 2x 图象.
答案 向右平移π
8
个单位长度
13.函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫φ∈⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度
后，关于y 轴对称. (1)求函数f (x )解析式；
(2)说明其图象是由y ＝sin x 图象经过怎样变换得到.
解 (1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上所有点向左平移π
6个单位长
度后，所得图象函数解析式为y
＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3＋φ. 因为图象平移后关于y 轴对称， 所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，
所以φ＝k π＋π
6
(k ∈Z ).
因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫0，π2，所以φ＝π6.
所以f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π6. (2)将函数y ＝sin x 图象上所有点向左平移π
6
个单位长度，所得图象
函数解析式为y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，再把所得图象上各点横坐标缩短到原来12倍(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6图象，再把图象上各点纵坐标伸长到原来3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π6图象. 探 究 创 新
14. 函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.
(1)假设y ＝f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
－π4，2π3上单调递增，求ω取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )图象向左平移π
6个单位长度，再向上平移
1个单位，得到函数y ＝g (x )图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：
y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件[a ，b ]
中，求b －a 最小值.
解 (1)因为ω>0，根据题意有π
π,342
0.2ππ
43
2ωωω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨
⎪≤⎪⎩ (2)f (x )＝2sin 2x ，
g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2〔x ＋π6〕＋1＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin(2x ＋π3)＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－7
12π，k ∈Z ，即
g (x )零点相离间隔依次为π3与2π
3
，
故假设y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点， 那么b －a 最小值为14×2π3＋15×π3＝43π
3
.。