黑龙江省虎林市第一中学2017届高三上学期第三次月考数学(文)试题 Word版含答案

数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 若集合 {}{}1,2,1,3A B ==, 则集合 A B ⋃= （ ）
A ．∅
B ．{}1
C ．{}1,2,3
D ．{}|13x x ≤≤ 2. 函数()()2
2f x x π=的导数是（ ）
A ．()'4f x x π=
B ．()2
'4f x x π=
C ．()2
'8f x x π= D ．()'16f x x π=
3. 命题“ 对任意x R ∈， 都有2240x x -+≤” 的否定为 （ ）
A ．对任意x R ∈,都有2240x x -+≥
B ．对任意x R ∈， 都有2240x x -+≤ C. 存在0x R ∈， 使得200240x x -+> D ．存在0x R ∈， 使得200240x x -+≤ 4. 已知 ()()31z m m i =++-复平面内对应的点在第四象限， 则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．()1,+∞
B ．()1,3- C. ()3,1- D ．(),3-∞- 5. 推理“①矩形是平行四边形； ②三角形不是平行四边形； ③所以三角形不是矩形.”
中的大前提是 （ ）
A ．①
B ．② C. ③ D ．④ 6. 下列关于残差的叙述正确的是 （ ）
A ．残差就是随机误差
B ．残差就是方差 C. 残差都是正数 D ．残差可用来判断模型拟合的效果 7. 下列关于逻辑结构与流程图的说法中正确的是 （ ）
A ．一个流程图一定会有顺序结构
B ．一个流程图一定含有条件结构
C. 一个流程图一定含有循环结构 D ．以上说法都不对
8. 用反证法证明命题： “三角形三个内角至少有一个不大于60” 时， 应假设 （ ） A ．三个内角都不大于 60 B ．三个内角都大于60 C. 三个内角至多有一个大于 60 D ．三个内角至多有两个大于 60 9. 用三段论推理： “任何实数的平方大于 0，因为a 是实数， 所以20a > ”，你认
为这个推理 （ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误 C. 推理形式错误 D ．是正确的 10. 在如图所示的知识结构图中： “求简单函数的导数” 的“ 上位” 要素有 （ ）
A ．1个
B ．2个 C.3个 D ．4个
11. 观察 ()()
()243'2,'4,cos 'sin x x x x x x ===-， 由归纳推理可得： 若定义在R 上
的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数， 则()g x -=（ ）
A ．()f x
B ．()f x - C. ()g x D ．()g x - 12.类比平面内正三角形的“ 三边相等， 三内角相等” 的性质， 可推出正四面体的
下列哪些性质， 你认为比较恰当的是 （ ）
①各棱长相等， 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形， 相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形， 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A ．①③
B ．②③ C. ① ② D ．① ② ③
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 对于回归直线方程 4.75257y x =+,当28x =时，y 的估计值为 __________. 14. 我们把 1,4,9,16,25,...这些数称为正方形数， 这是因为这些数目的点可以排成正
方形(如 图)．
由此可推得第 n 个正方形数是 __________.
15. 已知回归方程21y x =+， 而试验得到一组数据是()()()2,4.9,3,7.1,4,9.1， 则残
差平方和是 _________.
16. 设实数 ,,a b c 满足1a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个数不小于 _________.(填
具体数字）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知抛物线2
y ax bx c =++过点()1,1，且在点()2,1-处与直线
3y x =-相切， 求,,a b c 的值.
18.（本小题满分12分）“ 奶茶妹妹” 对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查， 统
计出售价x 元和销售量y 杯之间的一组数据如下表所示：
通过分析， 发现销售量y 对奶茶的价格x 具有线性相关关系.
（1）求销售量y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程； （2）欲使销售量为13杯， 则价格应定为多少?
注： 在回归直线y bx a =+中，122
1
()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ==-=
-∑∑,
4
222221
.5 5.5 6.57146.5i i a y bx x ==-=+++=∑.
19.（本小题满分12分）某大学依次进行A 科、B 科考试， 当A 科合格时， 才可考
B 科， 且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过． 甲同学参加考试， 已知他每
次考A 科合格的概率均为
23，每次考 B 科合格的概率均为1
2
.假设他不放弃每次考试机会， 且每次考试互不影响．
（1）求甲恰好3次考试通过的概率；
（2）记甲参加考试的次数为ξ， 求ξ 的分布列和期望.
20.（本小题满分12分）大家知道， 莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家， 国人欢
欣鼓舞.
某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度， 结果如下：
（1）试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；
（2）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解” ， 否则为“ 一般了
解” .根据题意完成下表， 并判断能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下， 认为对莫言作品非常了解与性别有关？
附：()()()()()2
2
n ad bc K a b a d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
0.25 0.15 0.100.05 0.025
21.（本小题满分12分）已知函数()3
2
,f x x ax a R =-∈. （1）求()y f x = 的单调区间；
（2）若曲线 ()y f x =与直线1y x =-只有一个交点， 求实数 a 的取值范围．
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图， 四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB CE =.
（1）证明： D E ∠=∠; （2）设AD 不是
O 的直径，AD 的中点为M ， 且MB MC =，证明：ADE ∆为等
边三角形.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα=⎧⎨
=+⎩
为参数），M 是曲线1C 上的动点， 且M 是线
段 OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的极坐标方程为sin 4x πρ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
，直线l 与曲线2C 交于,A B 两点.
（1）求曲线2C 的普通方程； （2）求线段 AB 的长.
黑龙江省虎林市第一中学2017届高三上学期第三次月考数学（文）试题参考答
案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-5. CDCAB 6-10.DDAAC 11-12. DD 二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 390 14. 2n 15. 0.03 16. 1
3
三、解答题
17.解：
()11,1f a b c =∴++=,又()()'2,'21,41f x ax b f a b =+=∴+=.又切点
()2,1,421a b c -∴++=- ，把 ①②③联立得方程组141
421a b c a b a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=-⎩，解得3
119a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，即3,11,9a b c ==-=.
18.解：（1）
4
4
2
2
1
1
1826,84 2.5,4,32i i
i i i x y
x y x x b a y bx =====-==-=-=∑∑, 故回归
直线方程为：
432y x =-+.
（2）令43213 4.75x x -+==.答： 商品的价格定为4.75元. 19.解：（1）2111215
132233218
P ⎛⎫=
⨯-⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. （2）()211142,3,4,232339
P ξξ===
⨯+⨯=; ()2111212114
31113223323229
P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;
()121112111
4111332233229
P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
()2349993E ξ=⨯+⨯+⨯=.
20.解：（1）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为
11181213151079
5050100+++++=
+,据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为 79
100
P =. （2）
根据列联表数据得
()2
210030252025 1.010 1.32350505545
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以没有0075的把握认为对莫言作品
的非常了解与性别有关.
（2）由题得方程3210x ax x --+=,只有一个根，设()3
2
1g x x ax x =--+，则
()2'321g x x ax =--，因为24120a ∆=+>，所以 ()'g x 有两个零点12,x x ，即()232101,2i
i x ax i --==，且21231
0,2i i
x x x a x -<=，不妨设120x x <<，所以()g x 在
()()12,,,x x -∞+∞单调递增， 在()12,x x 单调递减，()1g x 为极大值，()2g x 为极小值，
方程3210x ax x --+=只有一个根等价于()10g x >且()20g x >，或者()10g x <且
()20g x <，又
()()23
2323311
1111,2222
i i i i
i
i i
i i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=-+=，设
()31122x h x x =--+，所以()231
'022
h x x =--<，所以()h x 为减函数，又()10h =，
所以1x <时()0,1h x x >>时()0h x <，所以()1,2i x i =大于1或小于1， 由12
0x x <<知，()1,2i x i =只能小于1，所以由二次函数()2
'321g x x ax =--性质可得
()'13210g a =-->，所以1a <.
22.解：（1）由题设知得 ,,,A B C D 四点共圆， 所以D CBE ∠=∠，由已知得，
CBE E ∠=∠ ，所以 D E ∠=∠.
（2）设BCN 中点为， 连接MN ，则由MB MC =，知MN BC ⊥，所以O 在MN 上，
又AD 不是O 的直径， M 为AD 中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥，所以AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠.由（1）知D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形．
23.解：（1） 设(),P x y ， 则由条件知,22x y M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，因为M 点在曲线1C 上，所以2cos 222sin 2
x
y αα
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨
=+⎩，化为普通方程为()22
416x y +-=， 即为曲线2C 的普通方程.
（2）直线l
的方程为sin 4x πρ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
， 化为直角坐标方程为20x y +-=.由（1）知曲线2C 是圆心为()0,4， 半径为4的圆,因为圆2C 的圆心到直线l
的距离
d ,
所以AB ==。