山东潍坊市2018年中考数学复习 第1章 数与式 第2讲 整式及其运算

括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号
去括号
去掉，括号里的各项都③ 不改变 符号；括号前 面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，
括号里的各项都④ 改变 符号
括号前面是“＋”号，括到括号里的各项的符号都 添括号 ⑤ 不改变 ；括号前面是“－”号，括到括号里
的各项的符号都⑥ 改变
提示
整式加减的实质是合并同类项，若有括号，就要用去括号法则去掉括号， 然后再合并同类项．去、添括号时，括号前面是负号时，要特别注意括号 里面各项的符号的改变．
④ 单项式 和⑤ 多项式 统称为整式
所含字母⑥ 相同 ，并且相同字母的⑦ 指数 也相同的项，叫做同类项 把一个多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类 项
考点3 整式的运算 6年2考 1．整式的加减
法则
内容
合并同类 在合并同类项时，只把同类项的① 系数 相加， 项 所得的和作为系数，字母与字母的② 指数 不变
公因式可以是单项式，也可以是多项式．公因式的确定方法：①取各项整数
系数的最大公约数；②取各项相同的字母；③取各项相同字母的最低次
数．(2)能用平方差公式进行因式分解的多项式应是二项式，两项都能写成
平方的形式，且符号相反．即用完全平方公式进行因式分解的多项式应符合
a2±2ab＋b2＝(a±b)2，左边是三项式，其中的两项都能写成平方的形式且符
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加．如：(m＋n)(a ＋b)＝⑯ ma＋mb＋na＋nb
乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑰ a2－b2 ； 完全平方公式：(a±b)2＝⑱ a2±2ab＋b2
考点4 因式分解 6年6考
概念
把一个多项式化成①__几个整式的乘积__的形式，叫做 因式分解．
24＝49＝(3×2＋1)2；…；第n个图形1＋8＋16＋24 ＋…＋8n＝(2n＋1)2.
得分要领►解决此类问题时应先观察图案的变化趋势，然 后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式 ，分析归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律，最后用 含有n的代数式进行表示．
命题点2 幂的运算 6．[2017·潍坊，1,3分]下列计算，正确的是( D )
3．整式的乘法
单项式相乘，把它们的系数相乘，字母部分的
单项式与单项 同底数幂分别相乘．对于只在一个单项式中含 式相乘 有的字母，连同它的指数作为积的一个因 式．如：2ab·3a2＝⑭ 6a3b
单项式与多项 先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的 式相乘 积相加．如：m(a＋b)＝⑮ ma＋mb
多项式与多项 式相乘
2．幂的运算
类型
内容
用符号表示
同底数幂相乘
底数不变，指数 相⑦加
am·an＝⑧__am＋n__(m，n都为整数)
幂的乘方
底数不变，指数 相⑨乘
(am)n＝⑩__amn__(m，n都为整数)
积的乘方 因式乘方的积 (ab)m＝⑪__ambm__(m为整数)
同底数幂相除
底数不变，指数 am÷an＝⑬__am－n__(a≠0，m，n都 相⑫减 为整数)
类型2 根据图形规律列代数式 【例2】[2017·烟台中考]用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为( D ) A．3n B．6n C．3n＋6 D．3n＋3
D ∵第一个图形需棋子3＋3＝6；第二个图形需棋子 3×2＋3＝9；第三个图形需棋子3×3＋3＝12；…；∴第n 个图形需棋子(3n＋3)枚．
A．a3×a2＝a6 B．a3÷a＝a3 C．a2＋a2＝a4 D．(a2)2＝a4
7．[2014·潍坊，14,3分]计算：82014×(－0.125)2015 ＝ －0.125 .
－0.125 两数的底数互为负倒数，可以利用积的乘方的逆 运算求解.82014×(－0.125)2015＝(－0.125×8)2014×(－0.125) ＝－0.125.
(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)； 方法 (2)公式法：①平方差公式：a2－b2＝②(a＋b)(a－b)；
②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝③(a±b)2
注意 因式分解的对象是多项式，过程是恒等变形，结果是整式的乘积的形式
拓展 (1)能用提公因式法进行因式分解的多项式，各项必须存在公因式，这个
类型3 整式的运算 【例3】[2017·济宁中考]计算(a2)3＋a2·a3－a2÷a－3的 结果为D( )
D (a2)3＋a2·a3－a2÷a－3＝a6＋a5－a5＝a6.
技法点拨►(1)同底数幂的乘法可以转化为指数的加法； (2)幂的乘方可以转化为指数的乘法；(3)同底数幂的除法 可以转化为指数的减法．
第 1 章 数与式 第2讲 整式及其运算
考点梳理过关 考点1 代数式及其求值 6年5考
代数式
一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、 开方把①__数__或②__表示数的字母__连接起 来，所得到的式子叫做代数式
一般地，用③__数__代替代数式里的④__字母 __，按照代数式指明的运算计算出的结果，叫 代数式的值 做代数式的值；一般而言，代数式求值的方法 有三种：(1)直接代入法；(2)化简代入法；(3) 整体代入法
1．[2017·潍坊，17,3分]链接专题1规律探究例2. 2．[2016·潍坊，18,3分]链接专题1规律探究例3. 3．[2015·潍坊，17,3分]链接第16讲六年真题全练第2题．
4．[2013·潍坊，17,3分]当白色小正方形个数n等于 1,2,3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别 如图所示．则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个 数总和等于 n2＋4n .(用n表示，n是正整数)
5．[2012·潍坊，17,3分]链接专题1规律探究例1. 猜押预测►1.如图，观察图形及图形所对应的算式，根 据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n(n是正整数) 的结果是 (2n＋1)2 .
(2n＋1)2 第1个图形1＋8＝9＝(2×1＋1)2；第2个图
形1＋8＋16＝25＝(2×2＋1)2；第3个图形1＋8＋16＋
考点2 整式的相关概念 6年1考
单项式
多项式
整式 同类项 合并同
类项
不含加、减运算的整式叫做单项式，单独的一个字 母或一个数也是单项式，单项式中的① 数字因 数 ，叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字 母的② 指数 的和叫做这个单项式的次数 几个单项式的③ 和 叫做多项式，多项式中的每 个单项式都叫做这个多项式的项，其中不含字母的 项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数，叫做 这个多项式的次数
n2＋4n 观察不难发现，白色正方形的个数是相应序数的 平方，黑色正方形的个数是相应序数的4倍，根据此规律写出 即可．第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形4×1＝4(个) ，共有1＋4＝5(个)；第2个图形：白色正方形22＝4(个)，黑 色正方形4×2＝8(个)，共有4＋8＝12(个)；第3个图形：白 色正方形32＝9(个)，黑色正方形4×3＝12(个)，共有9＋12 ＝21(个)；…，第n个图形：白色正方形n2个，黑色正方形4n 个，共有(n2＋4n)个．
A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
9．C ∵a2－1＝(a＋1)(a－1)，a2＋a＝a(a＋1)，a2＋a－2 ＝(a＋2)(a－1)，(a＋2)2－2(a＋2)＋1＝(a＋2－1)2＝(a＋1)2， ∴结果中不含有因式a＋1的是选项C.
10．[2015·潍坊，14,3分]因式分解：ax2－7ax＋6a ＝ a(x－1)(x－6) .
8 当2m－3n＝－4时，∴原式＝mn－4m－mn＋6n＝－4m ＋6n＝－2(2m－3n)＝－2×(－4)＝8.
技法点拨►解答代数式求值问题，一般有两种方法：直接 代入求值和整体代入求值．直接代入求值时，要注意代数 式的符号问题；整体代入求值时，关键是把要求的代数式 转化为含已知代数式的形式．
变式运用►1.若a－b＝1，则代数式a2－b2－2b的值为 1 .
技法点拨►看图形找规律的题目是比较常见的题目，一般 会涉及到一个或者几个变化的量．所谓找规律，多数情况 下，是指变量的变化规律．所以抓住了变量，就等于抓住 了解决问题的关键．
变式运用►2.[2017·天水中考]观察下列的“蜂窝图”：
则第n个图案中“ ”的个数是 3n＋1 .(用含有n的代数式表 示)
猜押预测►2.分解因式：(a＋5)(a－5)＋7(a＋1)＝ . (a－2)(a＋9)
得分要领►分解因式要注意有公因式，应先提取公因式，然后再 考虑利用其他方法，若是有两项，一般考虑平方差公式，三项 则考虑完全平方公式或十字相乘法．
11．[2014·潍坊，13,3分]分解因式：2x(x－3)－8 ＝ 2(x－4)(x＋1) . 12．[2013·潍坊，15,3分]分解因式：(a＋2)(a－2) ＋3a＝ (a－1)(a＋4) . 13．[2012·潍坊，13,3分]分解因式：x3－4x2－12x ＝ x(x＋2)(x－6) .
类型4 因式分解 【例4】[2017·安徽中考]因式分解：a2b－4ab＋4b＝b(a－2)2 .
b(a－2)2 a2b－4ab＋4b＝b(a2－4a＋4)＝b(a－2)2.
失分警示►因式分解常见的错误：(1)提公因式只提字母 部分，系数部分忘记提出；(2)当某项是公因式时，提后忘 记补1；(3)因式分解不彻底，提公因式后忘记套用公式再 分解．
变式运用►3.[2017·静安区一模]下列多项式中，在实数范围 不能分解因式的是( A )
A．x2＋y2＋2x＋2y B．x2＋y2＋2xy－2 C．x2－y2＋4x＋4y D．x2－y2＋4y－4
六年真题全练
命题点1 列代数式
会用符号表示数、数量关系及其变化规律，并能够分析简单 问题中的数量关系是潍坊市中考命题的重点．命题时以选择题 和填空题为主，常见的题型有两种：一是根据图形找规律；二 是通过计算找规律．
得分要领►解决这类问题的关键是熟练掌握幂的四种运 算法则，特别是同底数幂的乘法法则和除法法则．
命题点3 因式分解 8．[2017·潍坊，14,3分]因式分解：x2－2x＋(x－2)＝ (x＋1)(x－2.)
(x＋1)(x－2) 原式＝x(x－2)＋(x－2)＝(x＋1)(x－2)．
9．[2016·潍坊，8,3分]将下列多项式因式分解，结果中不含 有因式a＋1的是( C )
号相同，另一项是其பைடு நூலகம்两个平方项底数乘积的2倍或－2倍．
(3)因式分解与整式乘法是两种互逆的变形过程，而不是互逆的运算．
(4)因式分解的一般步骤：一“提”，二“套”，三“检查”．
典型例题运用 类型1 求代数式的值
【例1】[2017·泰州中考]已知2m－3n＝－4，则代数式m(n －4)－n(m－6)的值为 8 .