上海海事大学《离散数学》2018-2019第一学期期末试卷

上海海事大学试卷
2018—2019学年第一学期期末考试
《
离散数学》（A 卷）
班级学号
姓名
总分
1.(5’)
C
A e C
A d
B A D A c A b Z x x x x x D Z n n x x
C Z n n x x B Z n n x x A -⋃⋂⊕⋂⋃∈=+-=∈==∈+==∈==+++)()()()()()(B
A (a)Z }.
,0)86(|{},,4|{},
,12|{},,2|{2：
为全集，计算下列格式以设2.(6’)在150位学生中，有109位同学在PASCAL,BASIC,C++中至少学习一门。

假设45
人学BASIC ，61人学PASCAL ，53人学C++，18人学BASIC 和PASCAL ，15人学BASIC 和C++，23人学PASCAL 和C++。

(a)多少人三门语言都学？(b)多少人只学BASIC?(c)多少人一门都不学？
3.(5’)已知前提为：
))
()(()),
()()((x Q x C x x R x W x C x ∧∃∧→∀结论为：))
()((x R x Q x ∧∃给出逻辑推理的过程。

4.(6’)设B={1,2,3,4,5}，A=B×B,定义A 上的关系R 如下：(u,v)R(x,y)当且仅当u-v=x-y.
(a)证明R 是等价关系。

(b)找出[(2,3)].(c)计算A/R.5.(6’)设}
0|{},
1|{≥∈=-≥∈=x R x T x R x S 题目得分阅卷人
--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------
定义f:S→T 如下：S
x x x f ∈+=,1)((a)证明f 是单射的。

(b)证明f 是满射的。

(c)f 有反函数吗？若有的话，求出反函数。

(d)写出f f 的表达式和他的定义域和值域。

(e)
f f 是单射的吗？说明原因。

6.(5’)设A={a,b,c,d}且A 上的关系R 的矩阵如下
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=1000
110011101101M (a)证明R 是偏序关系。

(b)画出R 的哈斯图。

7.(6’)设D 105代表正整数105的所有正约数的集合上由整除关系构成的格。

(a)画出此格的哈斯图。

(b)写出每个元素的补元素
(c)此格是否布尔代数？写出它的原子集合。

8.(6’)布尔函数的真值表如下：
x
y
z
f(x,y,z)
00000010010101101001101111011110
写出f 对应的析取范式并尽量化简。

9.(5’)完成下表使得二元运算满足交换律和幂等率。

*a
b c
a c
b c
b
10.(5’)设G 是一个群，幺元是e.证明若G 中存在x 使得x 2=x ，则x=e.
11.(5’)设f 是G 1到G 2的满同态，G 2是阿贝尔群。

证明ker(f)包含了G 1中所有形式为
11--b aba 的元素，其中a,b 是G 1中的任意元素。

12.(6’)设S={1,-1,i,-i},且G=(S,普通复数乘法)
(a)证明H={1，-1}是G的子群。

(b)确定H的所有左陪集。

(c)证明G和Z4同构
13.(6’)有8个元素的群G的乘法表如下：
e i j k m n o p
e e i j k m n o p
i i j k e p o m n
j j k e i n m p o
k k e i j o p n m
m m o n p e j i k
n n p m o j e k i
o o n p m k i e j
p p m o n i k j e
(a)写出G中阶数是2的元素。

(b)写出G中具有4个元素的子循环群及其生成元。

(c)写出一个G中具有4个元素的非循环子群。

(d)列出G的所有3阶子群。

如果没有的话说明理由。

14.(6’)已知简单有向图G=<V,E>如下图所示：
v1
v5v3
v2
v4
(a)用矩阵运算的方法找出所有长度为2的路。

(b)用Warshall方法求出可达矩阵，再根据可达矩阵求图G的强分图。

15.(6’)一个艺术展览安排在如下图所示的5个房间中（图中已标注）。

是否有一条路恰好
经过每个门一次看完展览？如果有的话，在下图上描出路径。

1
2
3
45
16.(5’)画出K5中的没有公共边的两个汉密尔顿回路，
17.(6’)一颗根树(T,v0)如下图所示：
v0
v1
v3
v2
v4
v5
v10v6v
7v8
v9
(a)T的高度是多少？
(b)列出T的树叶。

(c)包含v4的子树有多少？
(d)列出v7的兄弟节点。

(e)把T转化成二叉树。

18.(5’)用Kruskal算法求出下图的最小生成树。

按照选择次序列出生成树的各条边。

A C
E
D G
B
F
4
6
5
4
4
2
3
3
4
7
5
2。