2017-2018学年高中数学选修2-1学案：2-2-1 椭圆及其标

2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．
知识点 椭圆标准方程的认识与推导
思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？
思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．
梳理 (1)椭圆的标准方程的形式
(3)椭圆方程中参数a ，b ，c 之间的关系为________．
类型一 椭圆标准方程的确定
例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．
反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，5
2)；
(2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)．
类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．
引申探究
若本例中“过点P 作x 轴的垂线段PD ”，改为“过点P 作y 轴的垂线段PD ”．那么线段PD 的中点M 的轨迹又是什么？
反思与感悟 如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．
(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．
1．方程x 2m ＋y 2
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1
2，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，1) 2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( )
A.x 225＋y 2
9
＝1(y ≠0) B.y 225＋x 2
9
＝1(y ≠0) C.x 216＋y 2
16
＝1(y ≠0) D.y 216＋x 2
9
＝1(y ≠0) 3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若
AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为____________．
4．在椭圆x 23＋y 2
＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个
焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________． 5．△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程．
1．两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：
2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x
a2＋y
b2＝1
与y2
a2＋
x2
b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程
x2
m＋
y2
n＝1(m>0，n>0，m≠n)就
不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x
a＋y
b＝1类比，如x2
a2＋y2
b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x
2，y2分母的大小)．
要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.
答案精析
问题导学 知识点
思考1 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．
标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与y
b 的平方和，并且分母为不相等的正值．
思考2 把方程化为标准形式，与x 2，y 2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 思考3 (1)
如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .
(2)设点：设点M (x ，y )是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝2a .①
(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2
＝a 2
－c 2
，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．②
(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x ，y )为坐标的点到椭圆的两个焦点F 1(－c ，0)，F 2(c,0)的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程． 梳理 (2)A >0，B >0且A ≠B (3)a 2＝b 2＋c 2 题型探究
例1 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
(3)2a 2＋(－2)
2b
2＝1，(－2
3)2a
2
＋12
b
2＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝15，
b 2＝5.
故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2
5＝1.
(2)当焦点在y 轴上时，
设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)，
依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
(－2)2a 2＋(3)2
b
2＝1，12a 2
＋(－23)2
b
2
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝5，b 2＝15.
此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2
5
＝1.
方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，
依题意有⎩
⎪⎨⎪
⎧
3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得
⎩⎨⎧
A ＝115
，
B ＝15.
故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2
5
＝1.
跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
由椭圆的定义知： 2a ＝
(－32)2＋(5
2
＋2)2＋ (－32)2＋(5
2－2)2 ＝210，即a ＝10. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6.
∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 2
6＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，
∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴⎩⎨⎧
4a 2＋0
b 2
＝1，0a 2
＋1
b 2
＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1.
∴所求的椭圆的标准方程为y 24
＋x 2
＝1.
例2 解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝y 0
2
.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，
所以x 20＋y 2
0＝4.①
把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2
＋4y 2
＝4，即x 24
＋y 2
＝1.
所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆． 引申探究
解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，
则x 20＋y 2
0＝4，(*)
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 02，y ＝y 0
代入(*)式得y 24
＋x 2＝1.
故点M 的轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．
跟踪训练2 解 由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2.
∴BQ →＝2QP →.
设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎨⎧
x 0＝3x －22
，
y 0
＝3y 2.
又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上． ∴(3x －22)2＋(32
y )2＝1.
∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2
＝1.
当堂训练
1．A 2.A 3.x 218＋y 2
9
＝1 4.4 3
5．解以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)，
则|BC|＋|AB|＝a＋c
＝2b＝2|AC|＝12，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
故所求的轨迹方程为x2
36＋y2
27＝1(y≠0)．。