2020年 普通高考(天津卷)全真模拟卷(4)(解析版)

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2020年 普通高考（天津卷）全真模拟卷（4）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知全集{}4U x N x =∈≤，集合{}{}1,2,2,4A B ==，则()
U A B ⋃ð为 A ．{}1 B ．{}0,1,2
C ．{}1,2,3
D ．{}0,1,2,3
【答案】D
【解析】{}
{}40,1,2,3,4U x N x =∈≤=，{}0,1,3U B =ð，()
{}0,1
,2,3U A B ⋃=ð，故选：D 2．下列说法错误．．
的是 A ．命题:p “2
000,10x R x x ∃∈++<”，则p ⌝：“2,10x R x x ∀∈++≥”
B ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的否命题是真命题
C ．若p q ∧为假命题，则p q ∨为假命题
D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件 【答案】C
【解析】命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”，则￢p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”满足命题的否定形式，所以A 正确； 命题“若x 2﹣4x +3＝0，则x ＝3”的逆命题是x ＝3，则x 2﹣4x +3＝0，逆命题为真命题，而逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，所以B 正确；
若p ∧q 为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是p ∨q 为假命题，所以C 不正确；
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若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D 正确； 故选C ．
3．三个数30.3
30.5,log 0.5,5a b c === 之间的大小关系是
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
【答案】A
【解析】33log 0.5log 10b =<=，()3
0.50,1a =∈，0.30551c =>=，所以b a c <<．
故选：A ．
4．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍 A ．4天 B ．5天
C ．6天
D ．7天
【答案】B
【解析】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，公比
为112q =的等比数列，其前n 项和为31
4[1()]
128()1212
n n n S -⨯-=
=--， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为14b =，公比为1
2q =的等比数列，
其前n 项和为1[12]2112
n
n n T ⨯-==--，又因为4n n T S =，即31214[8()]2n
n --=⨯-，解得5n =．故选：
B ．
5．已知1F ，2F 分别为双曲线()2
2
2
330x y a
a -=>的左右焦点，P 是抛物线28y ax =-与双曲线的一个
交点，若1218PF PF +=，则抛物线的准线方程为（ ） A ．2x = B ．3x =- C ．3x = D ．2x =-
【答案】C
【解析】双曲线的标准方程为22
2213x y a a
-=，
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∴双曲线的左焦点1(2,0)F a -为抛物线28y ax =-的焦点，
联立方程组2222338x y a y ax
⎧-=⎨=-⎩，消元可得2238+30x ax a -=，解得3a
x =（舍)或3x a =-．不妨设P 在第二
象限，则(3P a -
，)，又2(2,0)F a
，1||5PF a ∴=
，2||7PF a ， 12||||1218PF PF a ∴+==，即32
a =
．所以抛物线的方程为2
12y x =- ∴抛物线的准线方程为112=34
x =⨯．故选：C ．
6．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像向左平移
12
π
个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若
()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为
A ．
174
π
B ．
256
π
C ．
356
π
D ．
4912
π
【答案】D
【解析】由已知可得()()112
g x f x π
=+
+⇒
()()()122sin 21322,33212g x x g x g x x k k x k πππππππ⎛
⎫=++⇒==⇒+=+∈⇒=+ ⎪⎝
⎭
()121223111349,,,,212
12121212max
x x x x πππππ⎧⎫
⇒∈--⇒-=⎨⎬⎩⎭，故选D 7．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为 A ．6 B ．12 C ．18 D ．19
【答案】D
【解析】从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科的方法有3
620C =种方法，从物理、政治、
历史三科中至少选考一科的对立事件是一科都不选，即从剩下的三科选三科，共1种方法，所以学生甲的选考方法种数有20-1=19种方法．故选：D
8．如图，原点O 是ABC ∆内一点，顶点A 在x 上，
0150AOB ∠=， 090BOC ∠=， ||2OA =u u u r ， ||1OB =uu u r
，
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3OC =u u u v ，若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则μλ
=
A
． B
C
．D
【答案】D
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
则A （2，0），B
12），C （﹣32
）， 因为OC OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v ，
由向量相等的坐标表示可得：3
222
12
2λμμ⎧-=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，
得3λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ，即μλ
故选D ．
9．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ①(1)0f =；
②对任意的x ∈R 都有()f x -()f x =-； ③对任意的1x 、2x ()0,∈+∞且1x ≠2x 时，总有1212
()()
0f x f x x x ->-．
记2()3()
()1
f x f x
g x x --=
-，则不等式()0g x ≤的解集为
A ．[)()1,00,1-⋃
B ．(][),10,1-∞-U
C ．[)1,0-
D ．[]1,0-
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【答案】D
【解析】根据①(1)0f =； ②对任意的x ∈R 都有()f x -()f x =-； ③对任意的1x 、2x ()0,∈+∞且1x ≠2x 时，总有
1212
()()
0f x f x x x ->-．
可得()f x 在(),0-∞，()0,∞+上单调递增，且()()110f f =-=，()00f = 所以得到()f x 图像，如图所示，
()()()
()2351
1
f x f x f x
g x x x --=
=
--
所以不等式()0g x ≤，即
()
01
f x x ≤- ()
100x f x -<⎧⎨≥⎩，1
101x x x <⎧⎨
-≤≤≥⎩或，所以10x -≤≤ ()100x f x ->⎧⎨≤⎩
，1
101x x x >⎧⎨
≤-≤≤⎩或，所以无解集， 综上所述，()0g x ≤的解集为[]1,0-．故选：D ． 第Ⅰ卷 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．
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10．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______． 【答案】-3
【解析】∵复数()()2
2
23m m m m i +-+-是纯虚数，22
230
m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．
11
．二项式10
22x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______． 【答案】180
【解析】由题意，
二项式10
22x ⎫⎪⎭
的展开式的通项为1051021101022()2r
r r r r r
r T C C x x --+==⋅，令2r =，
可得22
3102180T C ==，即展开式的常数项是180．
12．已知函数()()x f x e ax a R =+∈，若过原点O 的直线l 与曲线()y f x =相切，切点为P
，若
OP =a 的值为__________．
【答案】(21)e -+或1
【解析】由函数的解析式可得：()'x
f x e a =+，设切点坐标为()
000,x
P x e ax +，
则切线的斜率为：()00'x
k f x e a ==+，切线方程为：()()()0000
x
x
y e ax e a
x x -+=+-，
切线过坐标原点，则：()(
)
()000000x
x
e ax e a x -+=+-，解得：01x =，切点坐标为：()1,P e a +，
=
a 的值为()21e -+或1．
13．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________ 【答案】50π
【解析】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC
-
的外接球的半径为2
R =
=
，所以三棱锥P ABC -的外接球的表
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面积为22
4450S R πππ==⨯=． 14．用17列货车将一批货物从A 市以/vkm h 的速度匀速行驶直达B 市．已知A 、
B 两市间铁路线长400km ，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于2
20v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则这批货物全部运到B 市最快需要________h ，
此时货车的速度是________/km h ． 【答案】8，100
【解析】这批货物全部运到B
市需要时间为2
4001640016208400v v v v ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭=+≥=
当
40016400
v
v =，即100v =，速度越快，时间越短，所以最快需要100/km h 的速度行驶，需要8小时，故答案为8，100．
15．已知函数1
1(0)()2
ln (0)
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在四个不同的实数,,,a b c d 且()a b c d <<<，使得()()()()f a f b f c f d ===，记()S a b cd =+，则S 的值为_____．
【答案】-4
【解析】()()1
102(0)
x x f x lnx x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在四个不同的实数,,,a b c d 且()a b c d <<<，使得()()()()f a f b f c f d ===，所以11
(1)122
a b -+=+，即4a b +=-，又ln ln c d -=，即1cd =，
414S =-⨯=-
四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1c =
，
)
()cos sin sin cos 0B C B A B +
-+=
（1）求角C 的大小；
（2）若3a b =，求()cos 2B C -的值．
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【答案】（1）
3π
．（2）1314
． 【解析】（1）cos B sin C +
﹣sin B ）cos （A +B ）＝0 可得：cos B sin C
a ﹣sin B ）cos C ＝0 即：sin
A cos C ＝0． 由正弦定理可知：a c
sinA sinC
=，
∴
asinC
c
cos C ＝0， ∴a sin
C cos C ＝0，c ＝1， ∴sin
C C ＝0，可得2sin （C 3
π
-）＝0，C 是三角形内角， ∴C 3
π
=
．
（2）∵a ＝3b ，∴sin A ＝3sin B ． ∵3
C π
=
，
∴233sin B sinB π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，即5sinB =． ∵cos B ＝0上式不成立，即cos B ≠0，
∴tanB =
，
sin B =，
cos2B ＝2cos 2B ﹣11114=，sin2
B =，
∴cos （2B ﹣C ）＝cos2B cos C +sin2B sin C
＝
11113
14214
⨯+=． 17．如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =，BE 与平面
ABCD 所成角为60°．
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（1）求证：AC ⊥ 平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2
）
13
． 【解析】（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，
又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BD DE D ⋂=， ∴AC ⊥平面BDE ．
（2）解：∵,,DA DC DE 两两垂直，
∴以D 为原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系， 由已知可得060DBE ∠=
，∴
ED
DB
= 由1AD =
，可知BD DE AF ===
． 则(
)(()()1,0,0,,,1,1,0,0,1,0A F E B C ⎛ ⎝
⎭，
∴0,1,3BF ⎛=- ⎝⎭u u u v
，1,0,3EF ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝
⎭u u u v ． 设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n BF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，即0,3
0,
y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
令z =
(4,n =v
．
∵AC ⊥平面BDE ，则CA u u u v
为平面BDE 的一个法向量，
∴()1,1,0CA =-u u u v
，cos ,13
n CA 〈=〉u u
u v v ，
∵二面角F BE D --为锐角，
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∴二面角F BE D --
． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,,.n n a S n a n N *
+=+=∈
（Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；
（Ⅰ）设数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n T ，且点()1,n n T T +在直线1
12x y n n -=+上，求数列1n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.n R
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅰ)1
2
4.2n n n R -+=-
【解析】（Ⅰ）由1n n S n a ++=， ① 得()112n n S n a n ++-=≥， ② ①-②，得()1212n n a a n +=+≥，
()()11212n n a a n +∴+=+≥，
110,1 1.a a =∴+=Q
由①得()21121111,121a S a a a =+=+=∴+=+
{}1n a ∴+是以1为首项，公比为2的等比数列，
（Ⅰ）由（Ⅰ）得11
12,21n n n n a a --+=∴=-，
Q 点()1,n n T T +在直线
112x y n n -=+上，11
12
n n T T n n +∴-=+， n T n ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭
是以11111T b ==为首项，公差为12的等差数列，
()()1
11,.22
n n n n T n T n +∴
=+-∴= 当2n ≥时，()()1112
2
n n n n n n n b T T n -+-=-=
-=，
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又11b =满足上式，.n b n ∴=
112
n n n b n a -∴=+， 01211232222
n n n R -∴=
++++L ， ③ 23111231222222n n n n n R L --∴=+++++， ④ ③-④，得2311111111222222n n n n R L -⎛⎫-=+++++- ⎪⎝⎭1122212212
n n n n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--， 1
24.2n n n R -+∴=- 19．已知圆G
：2220x y x +-=经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点F 及上顶点B ，过椭圆外一点（m ，0）(m a >)倾斜角为
56
π的直线L 交椭圆与C 、D 两点． （1）求椭圆的方程;
（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 【答案】(1)22
162
x y +=
;(2)． 【解析】（1）Q
圆22:20G x y x +--=经过点F 、B
，2(2,0),2,6
F B c b a ∴∴==∴=故椭圆的方程为22
162
x y +=； （2）设直线L
的方程为)(y x m m =->
由22162
{()3
x y y x m +==-消去y 得2222(6)0x mx m -+-= 由2248(6)0,m m =-->V
解得m -<<
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又m m ><<设1122(,),(,),C x y D x y 则212126,,2
m x x m x x -+==
2
121212121)()()33333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤∴=--⋅--=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
11221212
(2,),(2,),(2)(2)FC x y FD x y FC FD x x y y =-=-∴⋅=--+u u u r u u u r u Q u u r u u u r 212124(6)2(3)()43333
m m m m x x x x +-=-+++= Q 点F 在圆E 内部，
0,FC FD ∴⋅<u u u r u u u r 即2(3)0,3
m m -<解得0<m<3 ∴m
的取值范围是．
20．已知函数()()()2
ln 21f x x ax a x a R =++++∈ ()1讨论函数()f x 的单调性；
()2设a Z ∈，对任意()0,0x f x >≤的恒成立，求整数a 的最大值；
()3求证：当0x >时，32ln 210x e x x x x x -+-+->
【答案】（1）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a
-上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减；（2）2-；（3）证明见解析． 【解析】（1）∵函数 f （x ）＝()()()22111221'22x ax ax ax x f x ax a x x x
+++++=+++==（a ∈R ）． ∴21x x
+=＞，x ＞0， 当a ＝0时，f ′（x ）1a
-＜0，f （x ）在（0，+∞）单调递增． 当a ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）单调递增． 当a ＜0时，令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 1a
-
＞，
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令f ′（x ）＜0，解得：x 111()ln max f x f a a a ⎛⎫⎛⎫=-
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故f （x ）在（0，1a -）递增，在（1a
-，+∞）递减． （2）当0a ≥时，则f （1）＝2a +3＞0，不满足f （x ）≤0恒成立． 若a <0，由（1）可知，函数f （x ）在（0，1a -）递增，在（1a -，+∞）递减． ∴11ln a a
⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，又f （x ）≤0恒成立， ∴f （x ）max ≤0，即11 ln a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
0，令g(a)=1 ln 22-，则g(a)单调递增，g(-1)=1， g(-2)=32ln x 0x x x --≥<0，∴a 2≤-时，g(a) <0恒成立，此时f （x ）≤0恒成立， ∴整数a 的最大值-2．
（3）由（2）可知，当a ＝-2时，f （x ）≤0恒成立，即lnx ﹣2x 2+1≤0．即x lnx ﹣2x 3+x≤0，32ln 21x e x x x x x -+-+-=
恒成立，①
又32ln x x x x --e x ﹣x 2+2x ﹣1+（()2()2222ln min h x h ln e
ln ==-+=） ∴只需证e x ﹣x 2+2x ﹣10≥，
记g （x ）＝e x ﹣x 2+2x ﹣1（x ＞0），则g ′（x ）＝e x ﹣2x +2，
记h （x ）＝e x ﹣2x +2，则h ′（x ）＝e x ﹣2，由h ′（x ）＝0，得x ＝ln 2． 当x ∈（0，ln 2）时，h ′（x ）＜0；当x ∈（ln 2，+∞）时，h ′（x ）＞0． ∴函数h （x ）在（0，ln 2）上单调递减；在（ln 2，+∞）上单调递增． ∴32ln 21x e x x x x x -+-+-4﹣2ln 2＞0．
∴h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，故函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增． ∴g （x ）＞g （0）＝e 0﹣1＝0，即e x ﹣x 2+2x ﹣1＞0．
结合①∴e x ﹣x 2+2x ﹣1+（()2()2222ln min h x h ln e
ln ==-+=）＞0，即32ln 21x e x x x x x -+-+-＞0成
立．。