广西桂林十八中2012届高三第二次月考试题数学文

桂林十八中09级高三第二次月考试卷
数学（文科）
注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分。

考试时间：120分钟。

答卷前，考生务必
将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷
指定的位置。

2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案；不能答在试题
卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在
答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题
目指定区域内的相应位置上，超出指定区
域的答案无效;如需改动，先划掉原来的
答案,然后再写上新的答案。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1.
=
A. 342B。

C。

134
D.
2。

已知函数()1x
f x
x
-
=，则112
f-
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
A。

2B。

1-C。

1 D. 2-
3。

已知tan2
x=-，,
2
x
π
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，则cos x=
A.
5
B。

5
C。

D。

4. 为了得到函数3lg 10
x y +=的图像,只需把函数
lg y x =的图像上所有的点
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1
个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1
个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1
个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1
个单位长度
5。

从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有
A 。

30种 B.36种 C. 42种 D. 60种
6。

顶点都在一个球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''
-中，1AB =
，AA '=
，则,A C 两点间的球面距离为
A 。

4
π B.
2
π
C 。

24
π
D.
7.
已知双曲线(22
212
x y a a -=>的两条渐近线的夹角
为3
π,则双曲线的离心率为
A 。

2
B.
C.
3
D 。

3
8. 已知函数()f x 满足()()222f x f x -=-+，若()1
48f -=,则()4f -的值是
A ．8-
B ．2
C ．2-
D ．8
9。

已知曲线2
4
x y =
的一条切线的斜率为12
,则该切线的切点横坐标为
A.
1
B 。

2
C. 3
D. 4
10。

已知函数
3()f x x x =+,x R ∈，若当02
π
θ≤≤
时，
()()sin 10f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是
A 。

(0,1)
B 。

(),0-∞
C. 1,2⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
D 。

(),1-∞
11。

已知函数
()1
2x f x -=，若1ln 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,()2log 3b f =，3
1log 2c f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭,则,,a b c 的大小关系是
A 。

b a c <<
B 。

a b c <<
C 。

a c b <<
D 。

b c a <<
12. 已知函数()()2,11
21,13x
x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩
，则()20f f x -=⎡⎤⎣⎦的根的个数有
A 。

1个
B 。

2个
C 。

3个
D 。

4个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡指定的位置上.
13. 12(x +的展开式中的常数项是
_____________．
14. 已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，若3
10
14a a +=,则12
S 等于_____________．
15. 设,x y 为任意实数，不等式组6002x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩
表示区
域D ,若指数函数x
y a =的图象上存在区域D 上的
点，则实数a 的取值范围是_____________． 16、若函数()f x 对任意实数,x y 满足：
()()()f x y f x f y +=+，
且()20f =，则下列结论正确的是
P
A
D
B
C
E
F
_____________．
①()f x 是周期函数；②()f x 是奇函数；③()f x 关于点()1,0对称；④()f x 关于直线1x =对称．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
在ABC ∆中,A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-．
（1）求cos B 的值；
（2）若2BA BC ⋅=，b =a 和c ．
18．（本小题满分12分）
甲，乙,丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，因为甲，乙,丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0。

5,0。

6，0.4，审核
过关后,甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0。

75．
（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；
(2）求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．
19。

（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边
形,PB PC =，1AB =,BC =，,E F 分别是,BC PC 的中点．
（1）求证： AC ⊥平面PAB ；
（2）当3
PCA π∠=时，求二面角
F AE C --的大小．
20.（本小题满分12分)
已知数列{}n
a 满足1
1a =，且()11
322n n n a a n --=+≥,
(1)证明数列{}2n
n
a +是等比数列； (2）求数列{}n a 的前n 项和n
S ．。

21.（本小题满分12分) 已知函数()3
2
11132
f x x ax
bx =+++（,,x R a b ∈为实数）有
极值,且在1x =-处的切线与直线10x y -+=平行． （1）求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a ，使得()f x x '=的两根1
2
,x x 满足1
2
01x x <<<．若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在，请说明理由．
22. （本小题满分12分）
已知离心率为
2
的椭圆
()22
2210x y a b a b
+
=>>上的点到左焦点F 2．
（1）求椭圆的方程； (2）如图,过椭圆的左焦点F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，若点M 在x 轴上，且使得MF 为AMB ∆的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”M 的坐标．
桂林十八中09级高三第二次月考数学文科答案 一、选择题
P
A D
B
C
E
F
13。

220 14。

84 15.
16. ①②③
17．解:（1）由正弦定理得2sin a R
A =，2sin b R
B =，
2sin c R C =， (1)
分
又cos 3cos cos b C a B c B =-，∴sin cos 3sin cos
sin cos B C A B C B =-，
即sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=，∴
()sin 3sin cos B C A B +=， ………………………3分
∴sin 3sin cos A A B =，又sin 0A ≠，∴
1
cos 3B =．……………………………………………
……5分
（2）由2BA BC ⋅=得cos 2ac B =，又1
cos 3B =,∴
6.ac =………………………………………6分
由2
2
2
2cos b a c ac B =+-，b =可得2
2
12a c +=，……………………………………………8分 ∴()2
0a c -=,即a c =，∴a c ==10分
18．解：(1）分别记甲，乙,丙通过审核为事件1A ,2
A ，
3
A ，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事
件B ，则
123123123()()()()
P B P A A A P A A A P A A A =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………
…………………………………4分 (2）分别记甲，乙,丙三人中获得自主招生入选资
格为事件,,C D E ，则
()()()0.3P C P D P E ===，………………………………
………………………………………5分 ∴ 2
3
()30.30.70.30.1890.0270.216,P F =⨯⨯+=+=…………………………………12分
19．解：
（1)证明:∵PA ⊥平面ABCD ，
∴PB 的射影是AB ，PC 的射影是
AC，
∵PB PC
=
∴AB AC
=
∴1
AB AC
==,且BC=
∴ABC
∆是直角三角形，且
2
BAC
π
∠=,……………………………3分
∴AC AB
⊥，
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA AB
⊥，
且PA AC A=，
∴AC⊥平面
PAB…………………………………………………
6分
(2）解法1:由(1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA AC
⊥，又
3
PCA
π
∠=，
故在Rt PAC
∆中，1
AC=，
∴PA=2
PC=,
从而111
1,1,
222
AF PC EF PB PC
=====又在Rt ABC
∆中，
1
22
AE BC
==，
∴在等腰三角形FAE
∆，分别取AC中点N和AE中点
M，连接FN，FM和MN，
∴中位线//
FN PA，且PA⊥平面ABCD，
∴FN⊥平面ABCD，
在AEF
∆中，中线FM AE
⊥，由三垂线定理知，MN AE
⊥,
FMN
∠为二面角F AE C
--的平面角,
在Rt FMN
∆中，1
2
FN PA
==
1
2
MN EC
==，
tan
FN
FMN
MN
∠==FMN
∠=
∴二面角F AE C
--的大小为.
解法2：
由(Ⅰ)知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP
所在的直线分别为x轴、y
设PAλ=，∵在Rt PAC
∆中，∠
∴λ=
则()
0,0,0
A，()
1,0,0
B，()
0,1,0
C,(P
()1,1,0D -，11,,022E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，10,2F ⎛ ⎝⎭
， 则()0,1,CP λ=-，11,,022AE ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
设平面FAE 的一个法向量为(),,n x y z =，
则由()
0,,
,3,0,n AE x y n y z
n CP λ⎧==-⎧⎪=-⎨
⎨==⎩⎪⎩得取. 又AP 是平面AEC 的一个法向量，
设二面角F AE
C --的平面角为θ，则
cos 3AP n AP n AP n
⋅
<⋅>=
=
=∴cos θ
= ∴θ=∴二面
角
F AE C
--的大
小
为
.........................。

......。

(12)
分
20、解：（1）设()1
1
232n
n n
n a A a A --+⋅=+⋅，整理得1
1
32n n
n a a A --=+⋅，对比1
1
32n n
n a a --=+，得1A =。

∴()1
1
232n
n n
n a a --+=+,
∴{}2n
n a +是以1
1
2a +即为首项，以3为公比的等比数列，
(2)由（1)知12333n n n n a -+=⋅=，∴32,n n n
a n N *
=-∈，
∴
()()()()()(1122331231232323232333322n n n n S =-+-+-+
+-=++++-++
()()1131321231
2.13
12
22
n n n n ++--=
-
=-+--
21、解（1）()2f x x ax b '=++，由题意得，()111f a b '=-+=， ∴a b =，令()0f x '=，即2
0x ax a ++=，
当2
40a a ∆=-≤时,()0f x '≥恒成立，()y f x =没有极值； 当2
40a a ∆=->时,即0a <或4a >时，()0f x '=有两个不相等的实数根， ()y f x =有极值．
综上可知，a 的取值范围为()(),04,-∞∞．
（2) 假设存在实数a ，使()f x x '=的两根满足
1201x x <<<
即()2
10x a x a +-+=的两根满足1
201x
x <<<，
令()()21g x x a x a =+-+，则()()()()21401012
001110
a a a g a g a a
⎧∆=-->⎪
-⎪<<⎪
⎨⎪=>⎪=+-+>⎪⎩， 解得:03a <<-
与（1）中0a <或4a >矛盾，因此，符合条件的实数a 不存在．
22、(1） 解:（1)
由题意知：2
2a c c a
⎧+=⎪⎨=⎪
⎩,
解得2
a c =⎧⎪⎨
=⎪⎩,1b =,故椭圆的方程为2
214
x y +=，
其
准线方程
为
x =…………………………。

……………。

……………。

……………. ……………。

4分 （2)设(),0M m 为椭圆2
214
x y +=的左特征点,椭圆的左焦点
为
()F ，可设直线
AB
的方程
为
:)0x ky k =≠, 联立方程
组
22
14
x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
,消去x
得(2
244
ky y +=,即
(
)2
2410k
y +--=，
设()()1122,,,A x y B x y ,
则1
2
122
1
,4
y y
y y k -+=
=+ ∵AMB ∠被x 轴平分,∴0AM
BM k k +=，即12
120y y x m x m
+=--，
()()12210y x m y x m -+-=，()1221120y x y x m y y +-+=
即(
(()1
2
21120y ky
y ky y y m +-+=,
∴(
)(12
1
2
20.ky y
y y m -+=于是，
2120.4k m k -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ ∵0k ≠
，∴10m =,
即m =
M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
．。