一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程正解的存在性

一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程正解
的存在性
李红英;廖家锋
【摘要】研究一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程{-
(a+b∫Ω▽u^2dx)Δu=u^5-2s/(x^s)+λu^q, x∈Ω,u=0, x∈■Ω,其中Ω■R3是一个有界开区域且边界■Ω光滑,0∈Ω,a,b≥0且a+b> 0,λ> 0,0<q<1,0≤s<1。

利用变分方法,获得该问题正解的存在性结果。

【期刊名称】《中国科学院大学学报》
【年(卷),期】2019(036)001
【总页数】4页(P11-14)
【关键词】Kirchhoff型方程;Hardy-Sobolev临界指数;正解;变分法
【作者】李红英;廖家锋
【作者单位】[1]西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;[1]西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;[2]遵义师范学院数学学院,贵州遵义563006;【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
考虑如下带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程
(1)
其中Ω⊂3是一个有界开区域且边界∂Ω光滑,0∈Ω,a,b≥0且
a+b>0,λ>0,0<q<1,0≤s<1。

6-2s是Hardy-Sobolev临界指数。

2012年,Liu和Sun[1]研究如下问题
(2)
其中:4<p<6-2s,0<q<1,a,b,λ>0。

当λ>0充分小时,结合变分方法和Nehari方法,他们获得问题(2)的2个正解的存在性。

随后,他们继续研究问题(2),当-1<q<0时,结合变分方法和Nehari方法也获得2个正解,详见文献[2]。

文献[3]研究一类奇异非线性Kirchhoff型问题,结合Ekeland变分原理和一些分析技巧,获得正解的存在唯一性结果。

一个自然的问题:问题(1)是否也存在正解?事实上,当s=0时,Sun和Liu在文献[4]中获得问题(1)正解的存在性,并提出一个公开问题:如何证明第2个正解的存在性?据查阅文献所知,这个开问题至今尚未解决。

本文利用变分方法获得问题(1)的一个正局部极小解。

在一定程度上,推广文献[1，4]的结果。

问题(1)对应的能量泛函为
,
∀u∈(Ω).
根据文献[5],能量泛函I在(Ω)空间中是C1泛函。

因此,问题(1)的解与能量泛函I在(Ω)空间中的临界点是一一对应的。

记As为Hardy-Sobolev常数
.
(3)
特别地,当s=0,
是最佳Sobolev常数。

记为(Ω)空间中的标准范数,为空间Lp(Ω)(0<p<∞)中的标准范数。

1 主要定理
首先,给出如下一个重要的引理。

引理1.1 假设a,b≥0且a+b>0,0<q<1,0≤s<1,则存在λ*>0和R,ρ>0使得对任意的λ∈(0,λ*)都有
I(u)|u∈SR≥ρ,,
(4)
其中：SR={u∈(Ω):‖u‖=R}，BR={u∈(Ω):‖u‖≤R}。

证明由Hölder不等式和式(3),有
≤Ω
≤|Ω,
(5)
≤.
(6)
从而,根据式(5)和式(6),可得
≥
≥
.
(7)
当a>0时,令
,
则
g′.
容易得到
,
使得
.
因此,取R1=tmax以及λ′,依据式(7),则存在ρ>0使得对任意的0<λ<λ′都有I(u)|u∈SR1≥ρ,
(8)
其中SR1={u∈(Ω)∶‖u‖=R1}。

若b>0时,令
,
则
h′.
容易得到,
,
使得
.
因此,取以及λ″,依据式(7),则存在ρ>0使得对任意的0<λ<λ″都有
I(u)|u∈SR2≥ρ,
(9)
其中SR2={u∈(Ω)∶‖u‖=R2}。

因此,对任意的a,b≥0且a+b>0,综合式(8)和式(9),则存在λ*>0和R,ρ>0使得对任意的λ∈(0,λ*)使得I(u)|u∈SR≥ρ成立。

进一步可得,对任意的u∈(Ω)且u≠0有.
故,当‖u‖充分小时,有
,
从而式(7)成立。

引理1.1证毕。

下面,给出本文的主要结果及其证明。

定理1.1 假设a,b≥0且a+b>0,0<q<1,0≤s<1,则对一切的0<λ<λ*(λ*为引理1.1中所定义)问题(1)都存在一个正解u*∈(Ω)使得I(u*)<0。

证明根据引理1.1,只需证明存在u*∈BR(BR为引理1.1中所定义)使得
I(u*)=m<0。

由引理1.1的证明过程和式(1),可推得∀u∈BR有
≥0,
(10)
和
≥ρ,∀u∈SR,
其中ρ和SR均为引理1.1中所定义。

任取{un}⊂BR为一个极小化序列使得由于{un}有界且BR是闭凸集,故存在u*∈BR⊂(Ω)和序列{un}的一个子序列(仍记为{un})使得
(11)
不失一般性,令wn=un-u*,由式(11)可推得
,
(12)
‖un‖2=‖wn‖2+‖u*‖2+o(1),
(13)
‖un‖4=‖wn‖4+‖u*‖4+
2‖wn‖2‖u*‖2+o(1),
(14)
其中o(1)表示n→∞的无穷小量。

再根据文献[6],可得
.
(15)
若u*=0,可得wn=un,这就意味着wn∈BR。

若u*≠0,由式(13),当n充分大时有wn∈BR。

从而,由式(10),可推得
≥0.
(16)
故,由式(12)～式(16),有
这就意味着I(u*)=m<0且u*≢0,即u*能量泛函I的一个局部极小值点。

因此,u*是问题(1)的非零解。

由I(|u|)=I(u),不失一般性,可以假设u*≥0。

根据强极大值原理,可得在Ω中u*>0。

故,u*是问题(1)的正解且I(u*)<0。

定理1.1证毕。

注记1.1 一方面,将文献[1]中所研究的问题推广至带Hardy-Sobolev临界指数的
情形,并获得问题(1)的正解的存在性;另一方面,当s=0时,定理1.1结果包含文献[4]的主要结果,而且我们的方法比文献[4]的方法简单。

此外,定理1.1对于a=0,b>0或者a>0,b=0的情况同样成立。

当a=0,b>0时,问题(1)被称为退化的Kirchhoff 型方程;当a>0,b=0时,问题(1)退化为经典的奇异半线性椭圆方程。

注记1.2 特别地,当a=1,b=0时,文献[7]研究问题(1)并获得2个正解的存在性。

对于这类带Hardy-Sobolev临界指数的奇异椭圆方程的更多结果,可参见文献[7]的参考文献及其引用文献。

这里提出一个公开问题:如何获得问题(1)的第2个正解？参考文献
【相关文献】
[1] 刘星, 孙义静. 一类含Hardy项的三维Kirchhoff型问题的两个正解[J]. 中国科学院研究生院学报, 2012, 29(5): 721-730.
[2] Liu X, Sun Y J. Multiple positive solutions for Kirchhoff type problems with singularity[J]. Communications on Pure Applied Analysis, 2013, 12(2): 721-733
[3] 曹小强, 孙义静. 一类奇异非线性 Kirchhoff 型问题的正解[J]. 中国科学院研究生院学报, 2014, 31(1): 5-9.
[4] Sun Y J, Liu X. Existence of positive solutions for Kirchhoff type problems with critical exponent[J]. Journal of Partial Differential Equations, 2012, 25(2): 187-198.
[5] Rabinowitz P H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations[M]∥Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society, 1986.
[6] Ghoussoub N, Yuan C. Multiple solutions for quasi-linear PDEs involving the critical Sobolev and Hardy exponents[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2000, 352: 5 703-5 743.
[7] Bouchekif M, Matallah A. Multiple positive solutions for elliptic equations involving a concave term and critical Sobolev-Hardy exponent[J]. Applied Mathematics Letters, 2009, 22: 268-275.。