光波场的时域频率谱PPT课件

E(t) F 1[E(v)] E(v)ei2πvtdv －
(50)
2. 频率谱 一般情况下，由上式计算出来的 E(v) 为复数，它 就是 v 频率分量的复振幅，可表示为
E(v) E(v) ei(v) (52)
E(v) 模，(v)为辐角。因而， │E (v) │2 就表征了 v
频率分量的功率，称│E (v) │2为光波场的功率谱。
（1）无限长时间的等幅振荡 由（51）式，它的频谱为
E(v)
－
E0ei
2
πv0t
ei
2 πvt
dt
E0
e dt i2π(vv0 )
－
E0 (v v0 )
(54)
E(v) F[E(t)] E(t)ei2πvtdt －
(51)
E(t)
E
e－i 2 πv0 t
0
t （53）
e dt i[2 (vv0 )＋i ]t
i
2π(v v0 ) i
(61)
（3）衰减振荡
功率谱为
E(v) 2 = E(v) E*(v)
1
(62)
4π2 (v v0 )2 2
E(t) 1
0
t
E(v)2
1/2
v v1v荡也可视为无限多个振幅不同、频 率连续变化的简谐振荡的叠加，v0 为其中心频率。
E(v)2
1/2
v
v1v0v2 v
3. 准单色光
前面已经指出，理想的单色光是不存在的，实际上能 够得到的只是接近于单色光。例如，上面讨论的持续 有限时间的等幅振荡，如果其振荡持续时间很长，以 致于1／T<< v0，则 E(v) 的主值区间
v0 1/ T v v0 1/ T 很窄，可认为接近于单色光。
E(v)=Tsinc［T(v v0 )］ (57) sin c(x) sin(πx) πx
相应的功率谱为
E(v) 2 =T 2sinc［2 T(v v0 )］ (58)
（2）持续有限时间的等幅振荡
可见，这种光场频谱的主要部分集中在从 v1 、到 v2 的频率范围之内，主峰中心位于 v0 处，v0 是振荡的 表观频率，或称为中心频率。
对于这种高斯函数准单色光波的频谱分布，可由傅 氏变换确定：
E(v)= Ae e e
4(t t0 )2
t 2
i(2πv0t 0 ) i2πvt
对该积分作自变量代换，将被积函数分为实部和 虚部分别进行积分，得到
E(v)= 1 πtAe e π2t2 (vv0 )2 / 4 i[2π(v0 v)t0 0 ] 2
(v2 v0 ) 2π
v v2 v1 (v2 v0 ) (v0 v1 ) π (63)
│E (v2) │2 = │ E (v0) │2/2
E(v) 2 =
E(v) E*(v)
1
4π2 (v v0 )2 2
(62)
1
11
4π2 (v v0 )2 2
= 2
2
(v2 v0 ) 2π
(63)
3. 准单色光 对于一个实际的表观频率为 v0 的振荡，若其振幅随 时间的变化比振荡本身缓慢得多，则这种振荡的频 谱就集中于 v0 附近的一个很窄的频段内，可认为是 中心频率为 v0 的准单色光，其场振动表达式
E(t)=E0 (t)ei2πv0t (64)
3. 准单色光
现在考察一个在空间某点以表观频率 v0 振动、振幅 为高斯函数的准单色光波
2. 频率谱 根据博里叶变换，它可以展成如下形式：
E(t) F 1[E(v)] E(v)ei2πvtdv －
(50)
exp(-i2vt) 为傅氏空间（或频率域）中频率为v 的一 个基元成分，取实部后得cos(2vt )。因此，可将 exp(-i2vt) 视为频率为 v 的单位振幅简谐振荡。
v v0
（2）持续有限时间的等幅振荡 其表达式为（设振幅等于1）
这时
E(t ) {ei2πv0t T / 2tT / 2 0 其他
(55)
E(v) e e T/2 i2πv0t i2πvt T/2
T
sinπT(v πT(v
v0 v0 )
)
(56)
（2）持续有限时间的等幅振荡 或表示成
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
v = 1 (59) T
E(v)2 T2
v
v v1 v0 v2
3. 准单色光
对于衰减振荡，若 很小（相当于振荡持续时间很
长），则频谱宽度很窄，也接近于单色光。
E(v)2
1/2
v v1v0v2 v
E(t) {etei2πv0t t0
0
t <0
(60)
v v2 v1 (v2 v0 ) (v0 v1 ) π
这时，把最大强度一半所对应的两个频率 v2 和 v1 之 差 Δv，定义为这个衰减振荡的频谱宽度。
E(v)2
1/2
v v1v0v2 v
（3）衰减振荡 由于 v＝v2（或v1）时,│E (v2) │2 = │ E (v0) │2/2 ，即
1
11
=
4π2 (v v0 )2 2 2 2
化简后得 所以
2. 频率谱
E(v) 随 v 的变化称为 E(t) 的频谱分布，或简称频谱。 上式可理解为:一个随时间变化的光波场振 动 E(t)， 可以视为许多单频成分简谐振荡的叠加，各成分相应 的振幅为 E(v)，并且 E(v) 按下式计算：
E(v) F[E(t)] E(t)ei2πvtdt －
(51)
E(v) F[E(t)] E(t)ei2πvtdt －
(51)
2. 频率谱
一个时域光波场 E(t) 可以在频率域内通过它的频谱描 述。下面，对于几种经常运用的光波场E(t)，给出其 频谱分布。
（1）无限长时间的等幅振荡 其表达式为
E(t)
E
e－i 2 πv0 t
0
t （53）
式中，E0、v0为常数，且 E0 可以取复数值。
E(v)2
v
v1 v0 v2
v
3. 准单色光
根据上述定义，有 E(v2 ) 2 E(v0 ) 2 / e ，计算可 得 (v2 v0 ) 2 / πt 。因此
v
v2
v1
=
22 πt
(68)
该频谱宽度Δv表征了高斯型准单色光波的单色性 程度。
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
v v2 v1 (v2 v0 ) (v0 v1 ) π (63)
2. 频率谱
再次强调指出，在上面的有限正弦振荡和衰减振荡中， 尽管表达式中含有exp(－i2v0t) 的因子，但 E(t) 已不 再是单频振荡了。换言之，我们只能说这种振荡的表 观频率为v0，而不能简单地说振荡频率为v0。只有以 某一频率作无限长时间的等幅振荡，才可以说是严格 的单色光。
4(t t0 )2
E(t)=Ae t2 ei(2πv0t 0 )
其振动曲线如图所示。
A E(t)
t t
(65)
3. 准单色光 在 t＝t0 时，振幅最大，且为 A；当︱t－t0 ︱=Δt / 2 时，振幅降为 A / e。由此可见，参数 Δt 表征着振荡 持续的有效时间。
E(t) A
t t
3. 准单色光
1.3 光波场的时域频率谱 (Time-domain frequency spectrum of light wave field)
1. 复色波 2. 频率谱 3. 准单色光
1. 复色波 前面，我们讨论了频率为ω 的单色平面光波
E E0 cos(t kz 0 )
实际上，严格的单色光波是不存在的，所能得到的 各种光波均为复色波。
v = 1 (59) T
因此，振荡持续的时间越长，频谱宽度愈窄。
E(v) 2 =T 2sinc［2 T(v v0 )］ (58) lim[sin(πx) / πx] 1
x0
（3）衰减振荡 其表达式可写为
E(t) {etei2πv0t t0
0
t <0
相应的 E(v) 为
(60)
E(v) e t ei2πv0t ei2πvt dt －
E(t) 1
E(v)2 T2
t T
v v
v1 v0 v2
（2）持续有限时间的等幅振荡
为表征频谱分布特性，定义最靠近 v0 的两个强度为 零的点所对应的频率 v2 和 v1 之差的一半为这个有限 正弦波的频谱宽度 Δv。
E(v)2 T2
v v
v1 v0 v2
（2）持续有限时间的等幅振荡 由（58）式，当 v＝v0 时，│E (v0) │2 ＝T2；当 v ＝ v0 1 / T 时，│E (v) │＝0，所以有
（1）无限长时间的等幅振荡
E(v)
－
E0ei2πv0t ei2πvt dt
E0
(v
v0 )
(54)
(v
v0 )
=
1(v 0(v
v0 ) v0 )
等幅振荡光场对应的
E(t) E0
频谐只含有一个频率
t
成分 v0，我们称其为
理想单色振动。其功 率谱为│E (v) │2 ，
E(v)2 E02
如图所示。
所谓复色波，是指某光波由若干单色光波组合而成， 或者说它包含有多种频率成分，它在时间上是有限 的。
1. 复色波 复色波的电场可表示为各个单色光波电场的叠加，即
N
E E0 cos(lt kl z) (49) l 1
在一般情况下，若只考虑光波场在时间域内的变化， 可以表示为时间的函数 E(t)。
(66)
3. 准单色光 相应的功率谱为
E(v) 2 = 1 πt 2 A e2 －π2t2 (v－v0 )2 / 2 4
(67)
其频谱图如图所示。
E(v)2
v
v1 v0 v2
v
3. 准单色光
由上式可见，高斯型准单色光的频谱也是高斯型，其 中心频率为 v0。这时，定义最大强度 1/e 处所对应的 两个频率 v2 和 v1 之差 Δv 为这个波列的频谱宽度。