2020年上海奉贤县青村中学高三数学理测试试卷含解析

2020年上海奉贤县青村中学高三数学理测试试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是 ( )
A． B． C． D．9
参考答案：
A
2. 已知函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1，x2，x1＜x2，则下面说法正确的是（）A．x1+x2＜2 B．a＜e
C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0
参考答案：
D
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】对于A：根据对数的运算性质判断即可，
对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a＞e；
对于C：f（0）=1＞0，0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，
对于D：f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增即可得出结论．
【解答】解：∵x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），
取a=，f（2）=e2﹣2a=0，
∴x2=2，f（0）=1＞0，
∴0＜x1＜1，
∴x1+x2＞2，A不正确；
∵f（x）=e x﹣ax，
∴f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=e x﹣a＞0，
①当a≤0时，f′（x）=e x﹣a＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．
②当a＞0时，∵f′（x）=e x﹣a＞0，∴e x﹣a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
∵函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1＜x2，
∴f（lna）＜0，a＞0，
∴e lna﹣alna＜0，
∴a＞e，B不正确；
f（0）=1＞0，
∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确；
f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，
∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，D正确．
故选：D．
3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（1，1）
参考答案：
A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．
【解答】解：由=，
则复数对应的点的坐标是：（﹣1，1）．
故选：A．
4. 已知双曲线M的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线M的标准方程可能是（）
A．x2﹣4y2=1 B．=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣4x2=1
参考答案：
D
【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．
【分析】利用已知条件求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，即可写出方程．
【解答】解：双曲线M的实轴长为2，可知a=1，它的一条渐近线方程为y=2x，双曲线的焦点坐标在x轴时可得b=2，双曲线的焦点坐标在y轴时b=．
所求双曲线方程为：x2﹣y2=1或y2﹣4x2=1．
故选：D．
5. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C 上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）
A．B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意，|MF|=x0+．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，可得|MA|=2（x0﹣），利用=2，求出x0，p，即可求出|AF|．
【解答】解：由题意，|MF|=x0+．
∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，
∴|MA|=2（x0﹣），
∵=2，
∴|MF|=|MA|，
∴x0=p，
∴2p2=8，∴p=2，
∴|AF|=1．
故选B．
【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
6. 设方程的两个根为、，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的
A、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
参考答案：
答案：C
8. 函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则该函数
表达式为( )
A．y＝2sin(x－)＋1 B．y＝2sin(x－)
C．y＝2sin(x＋)＋1 D．y＝2sin(x＋)＋1
参考答案：
A
9. 函数的图象大致是（）
参考答案：
C
略
10. 已知，为常数，且的最大值为2，则＝
A．2 B．4 C． D．
参考答案：
C
当时，有，当且仅当时取等号。

因为的最大值为2，所以，所以，选C.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果实数满足条件，则的最大值为_________．
参考答案：
考点：简单线性规划．
12. 设是方程的解，且，则k= ．
参考答案：
略
13. i是虚数单位，复数z满足，则．
参考答案：
5
由题意可得：
∴
∴
故答案为：5
14. 在等比数列{a n}中，已知，，则
参考答案：
128
15. 已知定义在上的函数f(x)，f’(x)是它的导函数，且对任意的，都有
恒成立，则（）
A. B.
C D.
参考答案：
D
【分析】
构造函数，求函数导数，利用函数单调性即可得大小关系。

【详解】由题得，即，令
，导函数，因此g(x)在定义域
上为增函数。

则有，代入函数得
，由该不等式可得，故选D。

【点睛】本题考查构造函数和导函数，属于常见题型。

16. 如图，在平面四边形中，已知分别是棱的中点，若
，设，则的最大值
是 .
参考答案：
试题分析:由题设可得
,运用基本不等式可得式,从而求得;同
理可得,所以的最大值是,故应填.
考点：基本不等式及运用．
【易错点晴】本题以平面四边形所满足的条件,为背景,精心设置了一道求的最大值的问题.求解时先运用余弦定理并借助题设
建立方程组
,然后借助基本不等式建立关系式,从而求得
;同理可得,所以的最大值是.
17. 对某校400名学生的体重（单位：）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60以上的人数为 .
参考答案：
100
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数为奇函数。

(I）证明：函数在区间（1，）上是减函数；
(II）解关于x的不等式。

参考答案：
（I）函数为定义在R上的奇函数，
函数在区间（1，）上是减函数。

(II）由
是奇函数，
又，且在（1，）上为减函数，
解得
不等式的解集是
19. （本小题满分12分）在数列中，已知
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列；
（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.
参考答案：
解：（Ⅰ）∵
∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，
∴.…………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）
∵…………………………………………………………………… 4分
∴.……………………………………………………………
5分
∴，公差d=3
∴数列是首项，公差的等差数列.…………………………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）
∴ (8)
分
∴，①
于是②
(9)
分
两式①-②相减得
= (11)
分
∴ (12)
分.
20. （本小题满分14分）
已知椭圆（a>b>0）,点P（,）在椭圆上。

（I）求椭圆的离心率。

（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。

参考答案：
21. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，
，,,,，
,.(1)若,求证：平面;(2)若,求二面角的平面角的余弦值.
参考答案：
(1)证明：且,------1分
在中，,------2分
平面,平面,
平面------4分
解：(2)取FC的中点G，连结EG，过G作GO BD于O,连结EO.
在中，,
在中，为FC的中点，,平面ABCD, ，平面ABCD Ks5u
平面ABCD, 平面ABCD, BD
,平面EGO, 平面EOG 平面EOG, 平面EOG,
为二面角的平面角------------------------------9分
在中，
由得,
------------------------------13分
`二面角的平面角的余弦值为.------------------------------14分
方法（二）建立如图所示的坐标系
,,,,
,-----------------5分
设,则
点的坐标为
-------------------------------------------7分
,-----------------8分Ks5u
设是平面EBD的法向量
，取，则,------------10分是平面BDC的法向量------------------------------------------11-分
由得
--------------------------------------------------------13分
因为`二面角的平面角是锐角，所以，
`二面角的平面角的余弦值为-----------------14分
略
22. 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数）, l与C交于A，B两点，
，求l的斜率．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，
可得圆的极坐标方程.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得
.
于是，.
.
由得，.
所以的斜率为或.。