【成才之路】2021学年高中数学 本册综合测试1 北师大版必修2(1)

【成才之路】2021-2021学年高中数学本册综合测试1 北师大版必修2
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份．总分值150分．考试时刻120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．以下命题：
①α内有无数条直线平行于β，那么α∥β
②平行于同一条直线的两个平面相互平行
③通过平面α外两点能够作一个平面与α平行
④平行于同一个平面的两平面平行
其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ①错误，可能α与β相交，α内无数条直线均与交线平行；②错误，可能显现α与β相交，存在直线与交线平行而与两个平面都平行的情形；③错误，假设平面α外两点的连线与平面相交，那么过两点作不出平面与α平行；④正确．
2．通过点A(－1,4)，且斜率为－1的直线方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋y－3＝0 D．x＋y－5＝0
[答案] C
[解析] 直线的方程是y－4＝－(x＋1)，
即x＋y－3＝0.
3．假设P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，那么直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
[答案] A
[解析] 由题意知圆心为C(1,0)，那么AB⊥CP，
∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，
直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，
即x －y －3＝0.
4．(安徽高考)以下说法中，不是公理的是( )
A ．平行于同一个平面的两个平面彼此平行
B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C ．若是一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D ．若是两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
[答案] A
[解析] 由空间几何中的公理可知，仅有A 不是公理，其余皆为公理．
5．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标为( )
A ．(5，－3)
B ．(9,0)
C ．(－3,5)
D ．(－5,3)
[答案] A
[解析] 过P (2,1)向此直线引垂线，其垂足即为所求的点，过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，而点P (2,1)在此垂线上，因此4×2＋3×1＋m ＝0.
因此m ＝－11. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y －27＝0，4x ＋3y －11＝0，
联立求解， 得所求的点的坐标为(5，－3)．
6．(安徽高考)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1
B ．2
C ．4
D ．46
[答案] C
[解析] 此题考查了圆的垂径定理．
圆心到直线的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，半弦长＝52－12＝2.
∴弦长＝4.
7． 底面边长为6，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个极点都在同一球面上，那么此球的体积为( ) A ．9π B ．9π2 C ．4π
D ．3π [答案] B
[解析] ∵底面边长为6，∴直角边长为3， ∴2R ＝3，R ＝32
， V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92
π. 8．直线
3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得劣弧所对的圆心角为( ) A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．π2 [答案] C
[解析] 由已知可得直线与圆相交，且圆心到直线的距离d ＝
|3×0＋1×0－23|32＋12＝ 3.而圆的半径为2.
∴直线与圆的两交点与圆心组成等边三角形．
∴可得劣弧所对的圆心角为π3
. 9．如图，定圆的半径为a ，圆心为(b ，c )，那么直线ax ＋by ＋c ＝0与直线x －y ＋1＝0的交点在( )
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限 [答案] B [解析] 由图知，a >0，b <0，c >0，且c <a <|b |.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋by ＋c ＝0，x －y ＋1＝0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋c a ＋b ，a －c b ＋a .
∵b＋c
a＋b>0，a－c
b＋a<0，∴交点在第三象限．
10．用假设干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都是如下图的图形，那么那个几何体的最大体积与最小体积的差是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] D
[解析] 如图①所示，那个几何体体积最大时共有11个小正方体组成，如图②所示，那个几何体最小时有5个小正方体组成，因此，那个几何体的最大体积与最小体积的差是6.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．如图，已知a∥α，B、C、D∈a，点A与a在平面α的异侧，直线AB、AC、AD别离交α于E、F、G三点，假设BC＝5，AD＝7，DG＝4，那么EF的长为______．
[答案] 15 7
[解析] 由题知，EF
BC＝AF
AC＝AG
AD＝AD－DG
AD，∴
EF
5
＝
3
7
，∴EF＝
15
7
.
12．(2021·重庆理，13)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，那么实数a＝________.
[答案] 4±15
[解析] 此题考查了等边三角形的性质点到直线的距离公式．
圆心坐标是(1，a)，半径是2，由已知可得
|a＋a－2|
1＋a2
＝4－1，
即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±15，
解决此题要充分利用三角形ABC是等边三角形的性质．
13．(2021·山东文，13)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，那么该六棱锥的侧面积为________．
[答案] 12
[解析] 此题考查六棱锥的体积、侧面积的大体运算．
如下图．由体积V ＝13×6×34
×4·h ＝23
求得高h ＝1.
取AB 中点G ，连接OG 、PG .
∵OA ＝OB ，∴AB ⊥GO .
又PO ⊥AB ，PO ∩GO ＝O ，
∴AB ⊥面PGO ，∴AB ⊥PG .
又PO ＝1，GO ＝32×2＝3，∴PG ＝2. ∴S 侧＝6×12
×AB ·PG ＝3×2×2＝12. 14．设X ，Y ，Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是________(填序号)．
①X ，Y ，Z 是直线；②X ，Y 是直线，Z 是平面；③Z 是直线，X ，Y 是平面；④X ，Y ，Z 是平面．
[答案] ②③
[解析] ①不行，反例为直线X ，Y ，Z 位于正方体的三条共点棱时，②，③能够．
④不行，反例为平面X ，Y ，Z 位于正方体的三个共点侧面时．
15．假设⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线相互垂直，那么线段AB 的长度是________．
[答案] 4
[解析] 如下图，在Rt △OO 1A 中，OA ＝
5，O 1A ＝25，
∴OO 1＝5.
∴AC ＝5×2
55＝2.∴AB ＝2AC ＝4. 三、解答题(本大题共6个小题，总分值75分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)
16．(本小题总分值12分)假设直线l 垂直于直线2x ＋5y －1＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积是5，求直线l 的方程．
[解析] 直线2x ＋5y －1＝0的斜率是－25，因此直线l 的斜率是52，设直线l 的方程是y ＝52
x ＋b ，那么直线在x 轴，y 轴上的截距别离是－25
b ，b ， 因此S ＝12·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－25b ·|b |＝5，那么b 2＝25， 因此b ＝±5，
因此y ＝52
x ±5，即5x －2y ±10＝0， 即所求直线l 的方程是5x －2y ±10＝0.
17．(本小题总分值12分)(天津高考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 别离为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．
(1)证明：EF ∥平面A 1CD ；
(2)证明：平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.
[解析] (1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因
为D ，E 别离为AB ，BC 的中点，因此DE ＝12
AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，因此EF ∥DA 1.
又E F ⃘平面A 1CD ，DA 1平面A 1CD ，因此，EF ∥平面A 1CD .
(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD 平面ABC ，因此A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD 平面A 1CD ，因此平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.
18．(本小题总分值12分)正三棱锥S －ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 、E 别离是SA 、BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所取得的旋转体体积．
[解析] 如图，连接AE .
在正四面体中，AE ＝SE .
∴DE ⊥SA .又AE ＝SE ＝3
2a ，AS ＝a ，
∴DE ＝AE 2－AS
22＝2
2a .
过点D 作DF ⊥SE 于点F .
有Rt △SDE 中，DF ＝SD ·DE SE ＝66a . 当△SDE 绕直线SE 旋转一周时取得两个圆锥，
其体积为V 旋转体＝13·πDF 2·SF ＋13
·πDF 2·FE ＝π
3DF 2(SF ＋FE )＝π
3DF 2·SE ＝π3(66a )2·32
a ＝336
πa 3. 即所得旋转体的体积是336
πa 3. 19．(本小题总分值12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －20＝0及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R)．
(1)求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；
(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及现在的直线方程．
[解析] (1)证明：把直线l 的方程改写成(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0.
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3.y ＝1.
∴直线l 总过定点(3,1)．
圆C 的方程可写成(x －1)2＋(y －2)2＝25.
∴圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为
3－12＋1－22＝5<5. ∴点(3,1)在圆C 内．
∴过点(3,1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交．
(2)解：当直线l 过定点M (3,1)且垂直于过点M 的半径时，l 被圆截得的弦长|AB |最短．(如以下图) |AB |＝2
BC 2－CM 2 ＝2
25－[3－12＋1－22]
＝220＝4 5.
现在，k AB ＝－1
k CM ＝2.
∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －3)，
即2x －y －5＝0.
故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为45，现在直线l 的方程为2x －y －5＝0.
20．(本小题总分值13分)求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且知足以下条件之一的圆的方程：
(1)过原点；
(2)有最小面积．
[解析] 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0，
即x 2＋y 2＋2(1＋λ)x ＋(λ－4)y ＋(1＋4λ)＝0.
(1)∵圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－14
. 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋32x －174
y ＝0. (2)将圆系方程化为标准式，得
(x ＋1＋λ)2＋(y ＋
λ－42)2
＝54(λ－85)2＋45
. 那么当λ＝85时，半径取最小值255
. 现在圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45
. 21．(本小题总分值14分)如以下图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E
是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12
AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高． (1)证明：PH ⊥平面ABCD ；
(2)假设PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面PAB .
[证明] (1)证明：因为AB ⊥平面PAD ， 因此PH ⊥AB ，
因为PH 为△PAD 中AD 边上的高， 因此PH ⊥AD .
因为AB ∩AD ＝A ，
因此PH ⊥平面 ABCD .
(2)连接BH ，取BH 中点G ，连接EG ， 因为E 是PB 的中点，
因此 EG ∥PH ，
因为PH ⊥平面ABCD ，
因此 EG ⊥平面 ABCD ，
那么 EG ＝12PH ＝12
， V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212
. (3)证明：取PA 中点M ，连接MD ，ME ，
因为E 是PB 的中点，因此ME 綊12
AB . 因为 DF 綊12
AB ，因此 ME 綊DF ， 因此四边形MEFD 是平行四边形． 因此 EF ∥MD ，
因为 PD ＝AD, 因此 MD ⊥PA .
因为 AB ⊥平面 PAD, 因此 MD ⊥AB . 因为 PA ∩AB ＝A ，因此 MD ⊥平面PAB . 因此 EF ⊥平面 PAB .。