数分第22章曲面积分练习题

第二十二章 曲面积分
一、 单选题
1．设21,S S 分别为球面2222a z y x =++的上半部分和下半部分，指向外侧，
0,:2222==++z a z y x L ，取逆时针方向为正方向，若
⎰⎰
⎰⎰
++=
++=
1
2
22222221,S S dxdy z dzdx y dydz x I dxdy z dzdx y dydz x I ，则（ D ）
A 、21I I =
B 、21I I <
C 、21I I >
D 、21I I -= 2．下列等式中成立的是 （ B ）
A 、⎰⎰⎰
≤++=++2
222522234
)(R z y x R dxdydz z y x π B 、⎰⎰=++=++42224)(R
z y x R dS z y x π
C 、
⎰⎰
≤+=+2
224
22)(R y x R dxdy y x π D 、dxdy y x R zdxdy R z y x R y x ⎰⎰
⎰⎰
=++≤+--=
2
2222
22222
3．用第二型曲面积分表示由封闭曲面S 所包围的立体积公式 ①⎰⎰=s
xdydz V ②⎰⎰=s
ydzdx V ③⎰⎰=s
zdxdy V ④⎰⎰+=
s
zdxdy xdydz V 21
其中正确的是 （ D ）
A 、①
B 、①②
C 、①②③
D 、①②③④
4．设S 是球面2222R z y x =++，则曲面积分()d S z y x S
⎰⎰++222=（ ）
A. 4R π
B.42R π
C. 44R π
D. 46R π
5．设S 为a z y x =++在第一卦限的部分并取左侧，则=⎰⎰S
dydz （ ）
A. 2a -
B. 2a
C. 22
1
a D. 221a -
6.由光滑闭曲面S 围成的空间区域的体积是 ( ) (A) ⎰⎰++S
zdzdx ydydz xdxdy ; (B)
⎰⎰++S
zdzdx ydydz xdxdy 31
; (C) ⎰⎰-+S
zdxdy ydzdx xdydz ; (D)
⎰⎰-+S
zdxdy ydzdx xdydz 31
.
二、填空题
1．某流体以流速)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P V =在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量为E =
⎰⎰++s
Rdxdy Qdzdx pdydz
2．设S 为柱面222x y R +=被平面0,z z H ==所截的部分，则⎰⎰
+s
y
x ds
2
2= R H π2 三 计算题
1．用两种方法计算⎰⎰s
xdzdy ，S 为球面0,01222≥≥=++z y z y x 在的部分，取
球面外侧
[答案]
解一，化为重积分的方法
{
}
{
}
dydz
z y dydz z y dydz z y xdzdy z y z y D z y z y x S z y z y D z y z y x S xdydz
xdydz xdzdy D
D
S
D
s s s
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=----
--=
≤+≤=∈---=≤+≤=∈--=+=222222222222222112
111
0)
,(),(,
1:1
0),(),(,1:1
2
6
1)
1(3
1
2
11)
10,2
0(,
sin ,cos 2
322
1
22
2π
πθ
π
θθθπ
=
--⋅
=
-=--≤≤≤≤==⎰⎰
⎰
⎰
r dr
r r d dydz z y r r z r y D
令
⎰⎰
=
∴
s
xdydz 3
π
解二，利用高斯公式算添加坐标面上两个半圆
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
=∴
=
⋅===≥=+≥=+=
+
+
s
S V
S s
S V
S xdydz dxdydz xdydz xdydz y y x S z z x S dxdydz
xdydz xdydz xdydz 3
334410,00
,1:0,1:1
2
1
2
222221π
π
π
2．计算()()⎰⎰-+-S
xdydz z y dxdy y x 其中S 为柱面122=+y x 及平面0=z 和
3=z 所围成的空间闭区域V 的整个边界曲面的外侧.
解 ()x z y P -=，0=Q ，y x R -=，
z y x P -=∂∂，0=∂∂y Q 0=∂∂z
R 由Gauss 公式
()()⎰⎰∑
-+-xdydz z y dxdy y x =()⎰⎰⎰Ω
-dV z y
()=
-=⎰⎰⎰Ω
dz d d z θρρθρsin ()⎰
⎰⎰-π
θρρρθ20
1030sin dz z d d π2
9
-= 3.计算333S
x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，S 为球面2222x y z a ++=的外侧.
解 3
3222
222
22
2
()()S
S S x dydz a y z dydz a y z =------⎰⎰⎰⎰⎰⎰后
前
33222
22
25
2
2
42()2()5
yz
a
S dydz a y z dydz d a r rdr a ππθ=--=-=
⎰⎰⎰⎰ 同理 3322
25
2
42()5
S
S S Szx
y dzdx a y z dxdz a π=+=--=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰左
右
则 原式=55
412355
a a ππ⋅
= 另解 (2)原式=2223()V
x y z dxdydz ++⎰⎰⎰
5
420
5
12sin 3
a dr r d d a
πϕ
ϕθπ
π
=
=⎰
⎰
⎰
4.222,S
x dydz y dxdz z dxdy S ++⎰⎰：立方体0,,x y z a ≤≤的外表面；
解 (1)原式=(222)V
x y z dxdydz ++⎰⎰⎰
40
2()3a a a
dx dy x y z dz a =++=⎰⎰⎰
5.计算()
⎰⎰--+S
dS x x z xy 222， S 是平面622=++z y x 在第一卦限中的部分.
解: S 在xOy 面上的投影为D {}x y x y x -≤≤≤≤=30,30),(， 由622=++z y x 得y x z 226--=,所以2-=x z ,2-=y z （2分） 因此()
⎰⎰--+S
dS x x z xy 222
()
⎰⎰---+=D
d x y x xy σ2223623
()
⎰⎰
--+--=3030
2
222363x
dy y xy x
x dx （4分）
(
)()()()dx x x x x x x ]333236[32
30
2
2---+---=⎰ (
)
dx x x ⎰+-=3
03231093
4
27
-
=（6分） 6.计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++S dS y z x 342， S 是平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分.
解: S 在xOy 面上的投影为D ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-≤≤≤≤=2330,20),(x y x y x ，（2分）
由
1432=++z y x 得3424y x z --=,所以2-=x z ,3
4
-=y z 因此⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++S dS y z x 342⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=D d y y x x σ3434242361（4分） 61436143614202330===⎰⎰⎰⎰-x D
dy dx d σ（6分）
7. 计算第一型曲面积分ds y x S
)(2
2+⎰⎰
，其中S 是锥面22y x z +=与平面
1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解：设1S ：22y x z +=，2S ：1=z
1S 和2S 在xy 平面上的区域均为{}1:),(22≤+=y x y x D
ds y x S
)(22+⎰⎰ +
+=⎰⎰ds y x S )(221
ds y x S )(2
22
+⎰⎰ dxdy y x dxdy y x y y x x y x D
D )(1)(2
22222222
2
+++++++=⎰⎰⎰⎰2
)
12()12()()12(20
10
322+=
+=++=⎰⎰⎰⎰πθπ
d dr r dxdy
y x D
8．⎰⎰+S
ds y x )(22 其中S 为立体h z y x ≤≤+22的边界曲面。

解：S 由两个曲面1S 和2S 组成
1S ：22y x z += }:),{(),(222h y x y x D y x ≤+=∈ 2S ：h z = }:),{(),(222h y x y x D y x ≤+=∈ =
+⎰⎰S
ds y x )(22++⎰⎰1
)(2
2S ds y x ⎰⎰+2
)(2
2S ds y x 4
40
32022222
22
2222
2
212412)12()12()()12()(1)(h
h dr r d dxdy
y x dxdy y x dxdy y x y y x x y x h
D
D
D ππθπ+=⋅⋅⋅+=+=++=+++++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
9．⎰⎰++S
ds z y x )( 其中S 为上半球面2222a z y x =++ 0≥z .
解：S 的方程为：222y x a z --=，{}222:),(),(a y x y x D y x ≤+=∈
3
22
2
2
2222
22
2
2
)0()1(
1)()(a
a a dxdy y
x a y x a dxdy y x a y x y x a y x ds z y x D
D
S ππ=+=+--+=--++--++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
10．⎰⎰++S
dS z y x )( 其中S 为上半球面4222=++z y x ，0≥z .
解：S 的方程为：224y x z --=， 其中D y x ∈),({}4:),(22≤+=y x y x
2
2
4y
x x x
z ---=∂∂，
2
2
4y
x y y
z ---=∂∂
()
()
π
8242
4414)(2
22
22
22
22
2==----++=--++--+
+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D
D
D
S
dxdy dxdy y
x y x y x dxdy y
x y x y x y x dS z y x
11．⎰⎰
S
z
dS
其中S 为球面4222=++z y x 在平面1=z 上方的部分。

解：曲面S 的方程为：224y x z --=，定义域是：322≤+y x
由2
2
2
2421y
x z z y x --=
++知：
2ln 4)]4ln(2[4442423023
2
2030222πππθπ=--=-=-=--=⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰r dr r
r
dr r r
d dxdy y x z ds D
S
12．⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x 333 其中S 为1222=++z y x 的外侧.
解：
πϕϕπϕθϕπππ5
12
sin 6sin 3)333(1
40
10
420
222333=
==++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r d dr r d d dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x v
S
13. ⎰⎰++S
xzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 是由平面0=x ，0=y ，0=z 及
1=++z y x 围成的四面体的表面并取外侧.
解：曲面S 分为四部分：0:1=z S ，0:2=y S ，0:3=x S ，
1:4=++z y x S ，其中0>x ，0>y ，0>z .
81
)2(23)1(3)1(33321
010
104
4
=
+-=--=--==++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x x dy y x x dx dxdy y x x xzdxdy xzdxdy yzdzdx xydydz xzdxdy
yzdzdx xydydz x D S S S
xy
14.计算⎰⎰S
xyzdxdy ，其中S 是球面以1222=++z y x 在0,0≥≥y x 部分并取球面
外侧.
解：由1222=++z y x 得221y x z --±=，则1S ：221y x z --=，
2S ：221y x z ---=，于是有
⎰⎰S
xyzdxdy =⎰⎰1
S xyzdxdy +⎰⎰2
S xyzdxdy =2⎰⎰--xy
D dxdy y x xy 2
21
=21
2
2
sin cos 15
d r πθθθ=
⎰⎰ 15．⎰⎰++S
zdxdy ydzdx xdydz 其中S 为上半球面222y x a z --=的外侧
解：设1S ：0=z ，{}222:),(),(a y x y x D y x ≤+=∈，取1S 的下侧. 并设1S 和S 所围成的区域是V ，则
33
234213)111(1a a dxdydz zdxdy ydzdx xdydz V
S S ππ=⋅⋅=++=++⎰⎰⎰⎰⎰+ 又：01
=++⎰⎰S zdxdy ydzdx xdydz ，所以：32a zdxdy ydzdx xdydz S
π=++⎰⎰
16．⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x 222 其中S 为立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧。

解：设V 为立方体a z y x ≤≤,,0，由高斯公式得：
4
44330
22000
2223)21
(2)2121(2)21(2)(2)(2a a a dx a a x a dy a ay ax dx dz
z y x dy dx dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x a
a a a
a
a
V
S
=+=++=++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
17．⎰⎰S
yzdzdx 其中S 为球面1222=++z y x 的上半个球面，并取外侧.
解：将曲S 分成左右两部分：
1S ：221z x y ---=，1S 取左侧 2S ：221z x y --=，2S 取右侧.
1S 与2S 在xz 面上的投影均为D ：122≤+z x ，0≥z
4)4cos 1(21cos sin 4141sin 21222
2
1
02
2
2
2
1
2
1
2
2
2
π
θθπ
π
π
=
-==-=-=--=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dt t tdt t dr r r
dr r r d dxdz z x z yzdzdx yzdzdx yzdzdx D
S S S
18. dxdy z dzdx y dydz x 222++⎰⎰，其中S 是锥面222z y x =+与平面1=z 所为空间区域的表面，并取外侧.
解：设S 所围成的区域是V
则⎰⎰⎰⎰⎰++=++V
dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x )(2222
令θcos r x =，θsin r y =，z z = 则：*V ：πθ20≤≤，1≤≤z r ，10≤≤r
222++⎰⎰
S
x dydz y dzdx z dxdy ()2=++⎰⎰⎰V
x y z dxdydz
()112002cos sin =++⎰⎰⎰r rdr dz r r z d πθθθ1104=⎰⎰r rdr zdz π()1
304=-⎰r r dr π2
=π。