【人教A版】2012高三数学(文)《优化方案》总复习课件选修系列4—5第2课时

变式训练4 若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小 值是________．
解 析 ： ∵ 1 ＝ x ＋ 2y ＋ 4z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋16，
∴x2＋y2＋z2≥211，
即 x2＋y2＋z2 的最小值为211. 答案：211
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＝kbi(i＝1,2,3，…，n)时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式及推论：如果 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立；
a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|， 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立；
a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|，
当且仅当_a_1_＝__a_2＝__…__＝__a_n____时等号成立．
2．二维形式的三角不等式 设 x1，x2，x3，x4∈R，那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22.
思考感悟 二维形式的柯西不等式还有哪些等价变式？
提示：(1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋ bd|； (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|.
＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－12)2＋34] ≥0， 此时不等式仍然成立．
利用柯西不等式证明不等式
使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符 合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左 边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式 对这个式子进行缩小或放大，从而证得问题．
例已2 知 a＋b＋c＝1，且 a、b、c 是正
≤[(
acosθ)2 ＋ (
b
sinθ)2]
1 2
(cos2θ
＋
sin2θ)
1 2
＝
(acos2θ＋bsin2θ)12< c.(当且仅当 a＝b 时等号 成立)
利用柯西不等式求最值
利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不 等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因 此不能忘记检验等号成立的条件．
(3)放缩法证明不等式是利用不等式的传递性，所 以在放缩的过程中，一定要保持不等号的方向一 致，符合不等式的传递性．
例1若 a，b，c 均为正数，求证：b＋a c＋a＋b c＋a＋c b
≥32. 【证明】 要证b＋a c＋a＋b c＋a＋c b≥32， 只需证b＋a c＋1＋a＋b c＋1＋a＋c b＋1≥92，
第2课时 几个重要不等式的证明及其应用
第2 课时 几个 重要 不等 式的 证明 及其 应用
双基研习•面对高考 考点探究•挑战高考
双基研习•面对高考
1．均值不等式(基本不等式的推广) 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算 术平均不小于它们的几何平均，即
a1＋a2＋…＋an≥ n n
a1·a2·… ·an，
例3 已知 x2＋2y2＋3z2＝1187，求 3x＋2y＋z 的最小值． 【解】 ∵(x2＋2y2＋3z2)[32＋( 2)2＋( 1 )2] 3 ≥(3x＋ 2y 2＋ 3z 1 )2＝(3x＋2y＋z)2， 3 ∴(3x＋2y＋z)2≤12，
－2 3≤3x＋2y＋z≤2 3. 当且仅当 x＝－9173，y＝－3173，z＝－ 173时， 3x＋2y＋z 取最小值，最小值为－2 3.
数，求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a≥9.
【 证 明 】 左 边 ＝ [(a＋ b) ＋ (b＋ c)＋ (c＋
a)](
a＋1 b＋
1 b＋
＋ c
c＋1 a)
＝
3 ＋ ab＋ ＋bc ＋ ac＋＋ab ＋
b＋c a＋b
＋bc＋＋ac＋ac＋＋ab＋cb＋＋ac
≥3 ＋ 2
a＋b b＋c b＋c·a＋b
只需证a＋b＋b＋c c＋a＋a＋b＋c c＋a＋a＋b＋b c≥92，
只需证(a＋b＋c)(b＋1 c＋a＋1 c＋a＋1 b)≥92. ∵a，b，c 均为正数， ∴(a＋b＋c)(b＋1 c＋a＋1 c＋a＋1 b)
＝12[(b＋c)＋(a＋c)＋(a＋b)]·(b＋1 c＋a＋1 c＋a＋1 b)
当且仅当_____a_d_＝__b_c且__a_b_c_d_≥__0__时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：如果α，β是两个向 量，则_____|α_·_β_|≤__|_α_||_β_| ， 当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时， 等号成立．
考点探究•挑战高考
不等式证明
(1)分析法证明不等式要注意叙述的形式：“要证A， 只要证B”，这里B应是A成立的充分条件． (2)综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明 不等式是“执果索因”．它们是两种思路截然相反 的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法 便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运 用．
变式训练2 若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋ 1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明， 如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍 然成立．
由变式1知，当x>0时，不等式成立； 当x≤0时，8x3≤0.
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
3．一般形式的柯西不等式 (1)如果 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 都 是实数，则 (a21＋a22＋a23＋…＋a2n)(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥(a1b1＋ a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2， 当且仅当 bi＝0(i＝1,2,3，…，n)，或存在实数 k，使 ai
≥12×3 3 b＋ca＋ca＋b·
3
1
3 b＋ca＋ca＋b
＝92(当且仅当 a＝b＝c 时等1 设x是正实数，求证： (x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.
证明：x 是正实数，由基本不等式知， x＋1≥2 x，1＋x2≥2x，x3＋1≥2 x3， 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ≥2 x·2x·2 x3 ＝8x3(当且仅当 x＝1 时等号成立)．
＋
2
a＋b c＋a c＋a·a＋b
＋
b＋c c＋a 2 c＋a·b＋c
＝9(当且仅且 a＝b＝c 时，等号成立)，
∴a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a≥9.
变式训练 3 已知 a、b、c 为正数，且满足 acos2θ ＋bsin2θ<c.求证： acos2θ＋ bsin2θ< c.
证 明 ： 由 柯 西 不 等 式可 得 acos2θ ＋ b sin2θ