2020届高考数学 第3章 第1节 导数的概念及运算限时作业(福建版).doc

【立体设计】高考数学 第3章 第1节 导数的概念及运算
限时作业（福建版）
一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1.已知曲线y=313x +m 的一条切线方程是y=4x-4,则m 的值为 （ ） A. 43或-403 B.-283
或23 C. 43或-283 D. 23或-133 解析：y ′=13x3+m ′=x2,令x2=4,则x=±2,当x=2时，y=4；当x=-2时，y=-12,所以
(2,4),(-2,-12)在曲线y=13x2+m 上，分别代入求得m=43或-283.
答案:C
2.（2011届·龙岩质检）若曲线C:y=3x -2a 2x +2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，
那么a 的取值范围是 ( )
A.0<a<1
B.1<a<
32 C.0<a<32 D.a>32
【解析】y ′=32x -4ax+2a>0恒成立，所以Δ=2(4)a --4×3×2a<0,所以0<a<32
.故应选C. 【答案】C
3.曲线f(x)=x 2+ln x 经过点（1，f(1))的切线方程是 （ ）
A.4x+y+2=0
B.3x+y-2=0
C.3x-y+2=0
D.3x-y-2=0
解析：因为f ′(x)=2x+1x,则f ′(1)=2×1+1=3,f(1)=12+ln 1=1,所以切线方程过点（1，1），
斜率为3，则切线方程为y=3(x-1)+1,即3x-y-2=0.
答案:D
4. 曲线y=3
x -3x 上切线平行于x 轴的点的坐标是 （ ）
A.（-1，2）
B.（1，-2）
C.（1，2）
D.（-1，2）或（1，-2）
【解析】令y ′=0，得x=±1.
【答案】D
5.（2011届·泉州质检）若函数f(x)=2x +bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的
图象是 （ ）
【解析】由题意得02b -
>，所以b<0. ()f x '=2x+b,故选A. 【答案】A
6. 若对任意x ∈R , 3()4f x x '=,f(1)=-1，则f(x)是 （ ） A. 4()f x x = B. 4
()2f x x =- C. 3()45f x x =- D. 4
()2f x x =+
【解析】因为3()4f x x '=,所以设4()f x x =+k.
又因为f(1)=-1，所以1+k=-1,则k=-2，所以选B.
【答案】B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 7. 一质点的运动方程为2
2312x y x
-=+,则它在x=1时的速度为 . 【解析】因为22222236(12)(23)2664(),12(12)(12)
x x x x x x y x x x --+--•---''===+++ 所以116|.9x y ='=-
答案：169
- 8. 如图所示，函数y=f(x)的图象在点P 处的切线方程是y=-2x+9，则f(4)+ (4)f '的值
为 .
【解析】因为f(4)=-2×4+9=1，(4)f '=-2，所以f(4)+ (4)f '=1+(-2)=-1.
答案：-1
9. 设函数()b f x ax x =-
,曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,则a= ,b= . 【解析】方程7x-4y-12=0可化为734y x =
-. 当x=2时，12y =，又2()b f x a x
'=+. 所以7,4412,22
b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩ 答案：1 3
10. 已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为()f x '，(0)f '＞0.若对任意实数x 都有
f(x)≥0，则(1)(0)
f f '的最小值为 . 【解析】由()2f x ax b '=+，(0)f '>0,所以b>0.
又因为对任意实数x,都有f(x)≥0，
所以a>0且Δ=24b a -≤0,即24b a ≤. 所以(1)11121212(0)4f a b a a a f b b b b b a
++==++≥•≥='. 当且仅当1a b b
=且24b a =，即a=1,b=2时，“=”成立， 即当a=1,b=2时，
(1)(0)f f '有最小值2. 答案：2
三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
11. 已知曲线方程为2
y x =，
（1）求过A （2，4）点且与曲线相切的直线方程.
（2）求过B （3，5）点且与曲线相切的直线方程.
方法2：设切点P 的坐标为00(,)x y ,
2y x =得2y x '=,所以00|2x x y x ='=,
由已知02PB k x =，即000
52,3y x x -=- 将200y x =代入上式整理得0x =1或0x =5，
所以切点坐标为(1,1),(5,25),
所以所求直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.
12. 已知函数321()23
f x x x ax =-+ (x ∈R ,a ∈R )在曲线y=f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y=x 垂直，求a 的值和切线l 的方程.
【解】因为321()23f x x x ax =
-+, 所以2()4.f x x x a '=-+.
由题意可知，方程2
()41f x x x a '=-+=-有两个相等的根，
所以164(1)0a ∆=-+=,所以a=3, 所以2()41f x x x a '=-+=-化为2440x x -+=, 解得x=2,所以切点的横坐标为x=2.
所以12(2)82423,33
f =
⨯-⨯+⨯= 所以切线l 的方程为2(2)3y x -=--,
B 级
1. 若点P 在抛物线2342y x x =++上，A （0，-3）、B （-1，-1），要使△ABP 的面积最小，
则P 点的坐标是 ( ) A. 13(,)24- B.22(,)33- C.（-1，1） D.（0，2）
【解析】欲使△ABP 的面积最小，则必须使P 点到直线AB 的距离最近.因此作直线AB 的平
行直线,与抛物线相切时的切点即为所求的点P.由导数的几何意义：AB y k '=,即6x+4=-2，
得x=-1,故P 点的坐标是（-1，1）.故应选C.
【答案】C
2. 曲线32y x x =-在横坐标为-1的点处的切线为l ，则点P （3,2）到直线l 的距离为
( )
A. 722
B. 922
C.1122
D. 91010
【解析】曲线32y x x =-在横坐标为-1的点处的纵坐标为-1，故切点坐标为（-1，-1）.
切线斜率为21|23(1)1x y =-'=-⨯-=-，故切线l 的方程为x+y+2=0.由点到直线距离公式得
点P （3，2）到直线l 的距离为22|322|
722
11++=+. 【答案】A
3.（2011届·福建六校联考）曲线y=x 3在点（1，1）处的切线方程为 .
解析：y ′=3x 2,y ′|x=1=3×12=3,所以过点（1，1）处的切线方程为y=3(x-1)+1,即y=3x-2.
答案:y=3x-2
4.设点M(a,b)是曲线C ：y=212
x +ln x+2上的任意一点，直线l 是曲线在点M 处的切线，那么直线l 斜率的最小值为 .
解析：y ′=x+
1x ,所以切线l 的斜率k=a+ 1a ,又a>0,所以k=a+ 1a ≥2,即a=1时，l 的斜率最小为2.
答案:2
5.已知曲线y=313x +43
. (1)求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
解：（1）因为y ′=x 2,
所以在点P （2,4)处的切线的斜率k=y ′|x=2=4.
所以曲线在点P （2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
(2)设曲线y=313x +43与过点P （2，4）的切线相切于点A 30014(,)33
x x +, 则切线的斜率k=020|x x y x ='=，
所以切线方程为y-
301433
x +=20x (x-x 0), 即y=20x ·x-302433x +. 因为点P （2，4）在切线上，所以4=220x -302433
x +, 即320034x x -+=0,所以32200044x x x +-+=0,
所以200(1)x x +-4(x 0+1)(x 0-1)=0,
所以（x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
6.（2011届·福州质检）已知直线y=-2x-23与曲线f(x)=313
x -bx 相切. （1）求b 的值；
（2）若方程f(x)=x 2+m 在（0,+∞)上有两个解x 1,x 2.
求：①m 的取值范围；
②比较x 1x 2+9与3(x 1+x 2)的大小.
h ′(x)=x 2
-2x-3=(x+1)(x-3).
①令h ′(x)=0,得x=-1或x=3,
在（0,3)上，h ′(x)<0,故h(x)在（0，3）上单调递减，
在（3，+∞)上，h ′(x)>0,故h(x)在（3,+∞)上单调递增，。