高三数学一轮复习不等式试题理

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高三数学一轮复习含绝对值的不等式的解法试题

2021届高三一轮复习含绝对值的不等式的解法本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高考要求：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．考点回忆：1．绝对值的几何意义：1〕||x 是指数轴上点x 到原点的间隔；2〕12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的间隔2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或者ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．考点解析：考点1、解简单绝对值不等式EG1．解以下不等式：4|23|7x <-≤；解:原不等式可化为4237x <-≤或者7234x -≤-<-， ∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． B1-1.|2||1|x x -<+；解：原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >， ∴原不等式解集为1[,)2+∞．B1-2.|21||2|4x x ++->．解：当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->， ∴1x <-，此时1x <-；当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++-> ∴1x >，此时12x <<；当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥．综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞．考点2、绝对值的几何意义EG 2．对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，那么a 的取值范围是(,3)-∞；解：可由绝对值的几何意义或者|1||2|y x x =++-的图象或者者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；x ，|1||3|x x a --+<恒成立，那么a 的取值范围是(4,)+∞．解：B2-1与EG2同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．考点3、含参数的绝对值不等式EG3．设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或者2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或者2()2a b x x a b +≤⇒≤+②，当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或者2x a b ≤+；当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b ≤+；当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≤+．综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-，当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b -∞+．B3-1{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，务实数a 的取值范围．解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩，综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．实战训练 1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >；3．假设关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，那么a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，那么x ∈(1,)+∞ ．5．在一条公路上，每隔100km 有个仓库〔如以下图〕，一共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t假如每吨货物运输1km 需要0.5解：以一号仓库为原点建立坐标轴，那么五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，那么所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-，当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<；当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．方法归纳：1．解含绝对值的不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕进展求解；2．去掉绝对值的主要方法有：〔1〕公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或者x a <-．〔2〕定义法：零点分段法；〔3〕平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高三数学第一轮复习单元测试题—不等式

金太阳教育网高三数学第一轮复习单元测试题—不等式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）Ａ．8 Ｂ．6 C ．4D ．23．（文）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)．则（）A ．“p 或q ”为假B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．“p 且q ”为真（理）设偶函数f (x )=log a |x －b |在(－∞，0)上递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系是（） A ．f (a +1)=f (b +2) B ．f (a +1)>f (b +2)C ．f (a +1)<f (b +2)D ．不确定4．（文）若011<<ba ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+b a a b中，正确的不等式有（）A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个（理）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2*∈+--=N x x y 则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大（）A ．3B ．4C ．5D ．65．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为（）.A 2 .B 3 .C 4 .D 5 6．函数f (x1x + （）.A 25.B 12.C 2.D 17．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（）A ．||||||c b c a b a -+-≤-B ．aa aa 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2138．（文）实数满足,sin 1log 3θ+=x 则91-+-x x 的值为（）A ．8B ．-8C ．8或-8D ．与θ无关（理）已知y x c c y c c x c ,,1,1,1则且--=-+=>之间的大小关系是（）A ．y x >B ．y x =C ．y x <D ．y x ,的关系随c 而定9．（文）若函数)(x f 是奇函数，且在（+∞,0），内是增函数，0)3(=-f ，则不等式0)(<⋅x f x 的解集为（） A ．}303|{><<-x x x 或 B ．}303|{<<-<x x x 或C ．}33|{>-<x x x 或D ．}3003|{<<<<-x x x 或（理）若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是（） A ．（－1，0） B ．（－∞，0）∪（1，2）C ．（1，2）D ．（0，2）10．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是（）A ．0B ． –2C ．-52D ．-311．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为（）A ．200件B ．5000件C ．2500件D ．1000件12．不等式,011<-+-+-ac cb ba λ对满足c b a >>恒成立，则λ的取值范围是（）A ．(]0,∞-B ． ()1,∞-C ．(]4,∞-D ．()+∞,4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 13．（文）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变甜咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 . （理）已知三个不等式①ab >0 ② ac >bd ③bc >ad 以其中两个作条件余下一个作结论，则可组个正确命题.14．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b =2b a +，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数，a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_________. 15．设a ＞0，n ≠1，函数f (x ) =alg(x 2-2n +1)有最大值.则不等式log n （x 2-5x +7）＞0的解集为__ _.16．设集合{()||2|},A x y y x =-1，≥2{()|||}B x y y x b =-+，≤，A B ≠∅ ．（1）b 的取值范围是；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）（文科做）比较下列两个数的大小：（1）；与3212-- （2）5632--与；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明（理科做）已知：[]1,0...∈d c b a()()()()d c b a N d c b a M ----=----=1,1111，试比较M ，N 的大小：你能得出一个一般结论吗？18．（本小题满分12分）已知实数P 满足不等式,0212<++x x 判断方程05222=-+-Pz z有无实根,并给出证明.19．（本小题满分12分）（文科做）关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{－2}，求实质数k 的取值范围.（理科做）若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x 满足()()()x f f x f y y=-. （1）求)1(f 的值;（2）若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<--x f x f .20．（本小题满分12分）某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域. （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？21．（本小题满分12分）（文科做）设(),1433221+++⨯+⨯+⨯=n n s求证：()()221121+<<+n n s n n（理科做）设1,,131211>∈++++=n N n nA（1）证明A>n ;（2）n A n 2212<<-+22．（本小题满分14分）（2006年广东卷）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ （1）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ;（2）设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的; （3）设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k ,对任意的正整数p ,成立不等式||1||121x x LLx x k k l k --≤-++.参考答案（5）1．A. 本小题主要考查充要条件的判定。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：6.4基本不等式Word版含答案

1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论活用几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．[自测练习]1．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lgB.答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立．答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1解析：∵y ＝x ＋4x 中x 可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0<x <π，∴0<sin x ≤1， ∴y ＝sin x ＋4sin x>2sin x ·4sin x＝4，其最小值大于4；由于e x >0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号， ∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立．答案：5考点一利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.[证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(2)由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab，当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．考点二利用基本不等式求最值|(1)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 3C ．2 2D ．4(2)(2015·高考重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．[解析] (1)由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2得，2x ×23y ＝2x ＋3y ＝2，即x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ×(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ×x3y＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3yx ＝x3y ，x ＋3y ＝1，x >0，y >0，即最小值为4.故选D.(2)(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·(a ＋1)2＋(b ＋3)22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.[答案] (1)D (2)3 2条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.答案：D2．(2016·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z 的最大值为( )A ．2B.32C ．1D.12解析：∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.答案：D考点三基本不等式的实际应用|某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x )x ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4，沿AC 将△ABC 翻折，使点B 落到点B ′的位置，AB ′交DC 于点P .研究发现当△ADP 的面积最大时最节能，则最节能时△ADP 的面积为( )A ．22－2B ．3－2 2C ．2－ 2D ．2解析：设AB ＝x ，DP ＝y ，则BC ＝2－x ，PC ＝x －y .因为x >2－x ，故1<x <2.因为△ADP ≌△CB ′P ，故P A ＝PC ＝x －y .由P A 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，即y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1<x <2.记△ADP 的面积为S ，则S ＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x )＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时，S 取得最大值3－2 2.答案：B11.忽视等号成立条件致误【典例】 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的最小值为________．[解析] (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号) ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6.[答案] (1)3＋22 (2)1＋2 6[易误点评] (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2. (2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.[防范措施] (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[跟踪练习] 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3. 答案：3A 组考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b 2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a ＋9－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(9－a )a ＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当4(9－a )a ＝a9－a 时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x ＝b y ＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2 (a 2·b )≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12. 答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1. 答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a ab＝ab ，且a >0，b >0， ∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a pD ．p ＝r >p 解析：∵0<a ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B. 答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝⎛⎭⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 答案： 2。

高中数学一轮复习梯级练三十不等式的性质及一元二次不等式理含解析

课时作业梯级练三十不等式的性质及一元二次不等式一、选择题(每小题5分，共35分)1.已知集合A=,B={x|x2-x+2〉0},则A∩B= ()A。

B.C. D.【解析】选D.由已知,x2-x+2=+〉0,故B=R,所以A∩B=.2。

（2021·北海模拟）下列命题中正确的个数是()①a>b，c>d⇔a+c>b+d;②a〉b,c〉d⇒〉;③a2〉b2⇔|a|〉|b｜;④a>b⇔<A.4个B。

3个 C.2个 D.1个【解析】选C.①a〉b，c〉d⇔a+c>b+d正确,不等式的同向可加性;②a〉b,c>d⇒〉错误,反例:若a=3,b=2，c=1,d=-1，则>不成立;③a2>b2⇔|a|〉｜b|正确；④a>b⇔<错误，反例：若a=2,b=—2，则<不成立。

3.（2021·黄冈模拟)关于x的不等式ax+b〉0的解集是（1，+∞)，则关于x的不等式（ax+b)(x-2)<0的解集是(）A。

(—∞,1)∪(2,+∞)B.(-1，2)C。

(1，2)D。

(-∞，-1）∪（2,+∞）【解析】选C.关于x的不等式ax+b〉0的解集是（1，+∞)，所以a〉0,且—=1，所以关于x的不等式（ax+b）（x-2）<0，可化为（x—2)<0,即（x—1）(x—2）<0,所以不等式的解集为{x｜1〈x<2｝。

4.若不等式ax2-x+a〉0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 (）A。

a〈—或a> B.a〉或a<0C。

a〉D。

—<a〈【解析】选C。

显然a=0,不等式不恒成立,所以若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则即解得a>，所以实数a的取值范围是a〉.5。

已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（)A.[0,1］B。

（0,1］C.(-∞，0）∪（1,+∞）D。

届高三数学一轮复习：不等式基本不等式练习题

基本不等式测试卷一、选择题1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝⎛⎭⎫0<x<π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．y ＝ex ＋4ex －2 2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得n m a a ∙＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在 [答案] A3．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] A4．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab≤1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A5．若a>0，b>0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D6．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 [答案] C7．已知F 1、F 2分别为双曲线12222=-by a x （a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若221PF PF 的值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] [答案] D8．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B9．已知全集R ，集合E ＝{x|b<x<a ＋b2}，F ＝{x|ab<x<a}，M ＝{x|b<x≤ab}，若a>b>0，则集合M 等于( )A ．E∩FB ．E ∪FC ．E∩(∁RF)D ．(∁RE)∩F [答案] C10．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( ) A.12B ．1 C ．2 D ．3[答案] B二、填空题11．已知b>0，直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值为________． [答案] 412．已知t>0，则函数y ＝tt t 142+-的最小值为________．[答案] －213、已知三个函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y2n ＝1(m>0，n>0)上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为________． [答案] 414．已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是________． [答案] 11215、设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f(M)＝(m ，n ，p)，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f(M)＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是________．[答案] 18 三、解答题16．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解读] (1)∵由条件知，sinβ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β，整理得32sinβ－12cosβ＝0， ∵β为锐角，∴tanβ＝13.(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ， ∴tanβ＝sinαcosα1＋sin2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α＝tanα2tan2α＋1＝12tanα＋1tanα≤122＝24. 当且仅当1tanα＝2tanα时，取“＝”号， ∴tanα＝22时，tanβ取得最大值24，此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝ 2.17、设实数a 使得方程x 2+（a -1）x+1=0有两个实根x 1，x 2. (1) 求a 的取值范围； (2) 当a 取何值时，222111x x +取得最小值，并求出这个最小值.解读：(1) a ≤-1或a ≥3 (2) a=-1或3，最小值为2.18．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？[解读] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%)·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x ，∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x ＝12(32Q ＋3－x)＝－x2＋98x ＋35＋(x≥0)．(2)令x ＋1＝t(t≥1)，则 W ＝－－＋－＋352t＝50－⎝⎛⎭⎫t 2＋32t . ∵t≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t ＝8，即W≤42，当且仅当t 2＝32t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．19、(1)不等式04)2m (2)2m (2<--+-x x 对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围。

高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本均值不等式课后作业理(1)

学习资料汇编【创新方案】2017届高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本（均值）不等式课后作业理[全盘巩固]一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2 3.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3224．若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最大值 e 二、填空题6．(2016·开封模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．7．(2016·东莞模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．8．(2016·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________．三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x －2x 的最大值．10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[冲击名校]1．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．32．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D ．3－2 23．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 4．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 5．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？答案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选C 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立． 2．解析：选B f (x )＝2x ＋1x≤22x ·1x＝1. 当且仅当x ＝1x，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.3解析：选B 法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知，－a a ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．法二：－aa ＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．4．解析：选D ∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 5．解析：选C ∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.二、填空题6．解析：∵圆关于直线对称，∴直线过圆心(－1,2)，即a ＋b ＝1.∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 7．解析：函数log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时，等号成立．答案：88．解析：由题意知(b,1)到x ＋y ＋a ＝0的距离为2，即b ＋1＋a2＝2，得a ＋b ＝1，a＝1－b ，a 2b ＋1＝－b 2b ＋1＝b ＋2－b ＋＋4b ＋1＝b ＋1＋4b ＋1－4≥0，当且仅当b ＝1，a ＝0时取等号，又a ＞0，b ＞0，所以a 2b ＋1＞0.答案：(0，＋∞) 三、解答题9．解：(1)y ＝x ＋82x －3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号，于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0， ∴y ＝x－2x ＝2·x－x≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.10．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.[冲击名校]1．解析：选Bxy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z＝－1y2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.2．解析：选C ∵圆心为(1,2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2.当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2－2，b ＝2－1时等号成立．3．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：24．解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2 a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为27.答案：275．解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．敬请批评指正。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

2020年高考数学一轮复习考点33不等关系与不等式必刷题(理)(含解析)

考点33 不等关系与不等式1．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一理）已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确故C ．2．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试理）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（）A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…② ∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yx x y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．3．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则 A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>-> D ．mn m n m n >->+【答案】A 【解析】0.30.3log 0.6log 10,m =>= 2211log 0.6log 10,22n =<= 0mn < 0.60.611log 0.3log 4m n +=+ 0.60.6log 1.2log 0.61=<=,即1m n mn+<，故m n mn +>. 又()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+. 故m n m n mn ->+>，所以选A.4．（江西省宜春市2019届高三4月模拟考试数学理）记设，则（）A ．存在B ．存在C ．存在D ．存在【答案】C 【解析】x 2﹣x 3＝x 2（1﹣x ），∴当x ≤1时，x 2﹣x 3≥0，当x ＞1时，x 2﹣x 3＜0， ∴f （x ）．若t ＞1，则|f （t ）+f （﹣t ）|＝|t 2+（﹣t ）3|＝|t 2﹣t 3|＝t 3﹣t 2， |f （t ）﹣f （﹣t ）|＝|t 2+t 3|＝t 2+t 3，f （t ）﹣f （﹣t ）＝t 2﹣（﹣t ）3＝t 2+t 3，若0＜t ＜1，|f （t ）+f （﹣t ）|＝|t 3+（﹣t ）3|＝0， |f （t ）﹣f （﹣t ）|＝|t 3+t 3|＝2t 3，f （t ）﹣f （﹣t ）＝t 3﹣（﹣t ）3＝2t 3，当t ＝1时，|f （t ）+f （﹣t ）|＝|1+（﹣1）|＝0， |f （t ）﹣f （﹣t ）|＝|1﹣（﹣1）|＝2，f （t ）﹣f （﹣t ）＝1﹣（﹣1）＝2，∴当t ＞0时，|f （t ）+f （﹣t ）|＜f （t ）﹣f （﹣t ），|f （t ）﹣f （﹣t ）|＝f （t ）﹣f （﹣t ），故A 错误，B 错误；当t ＞0时，令g （t ）＝f （1+t ）+f （1﹣t ）＝（1+t ）2+（1﹣t ）3＝﹣t 3+4t 2﹣t +2，则g ′（t ）＝﹣3t 2+8t ﹣1，令g ′（t ）＝0得﹣3t 2+8t ﹣1＝0， ∴△＝64﹣12＝52，∴g （t ）有两个极值点t 1，t 2， ∴g （t ）在（t 2，+∞）上为减函数， ∴存在t 0＞t 2，使得g （t 0）＜0， ∴|g （t 0）|＞g （t 0），故C 正确；令h （t ）＝（1+t ）﹣f （1﹣t ）＝（1+t ）2﹣（1﹣t ）3＝t 3﹣2t 2+5t ，则h ′（t ）＝3t 2﹣4t +5＝3（t）20，∴h （t ）在（0，+∞）上为增函数，∴h （t ）＞h （0）＝0，∴|h （t ）|＝h （t ），即|f （1+t ）﹣f （1﹣t ）|＝f （1+t ）﹣f （1﹣t ），故D 错误．故选：C ．5．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试）已知：2610a b ==，则3，ab ，+a b 的大小关系是（） A ．3ab a b <+=，6log 101b =>，∴3ab >；又11lg2lg6lg121a b ab a b+=+=+=> a b ab ⇒+>，∴3a b ab +>>.故选D. 6．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知函数()3cos x f x x=的定义域是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当,22i x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,1,2,3i =时，若120x x +>，230x x +>，130x x +>，则有()()()123f x f x f x ++的值( ) A ．恒等于零 B ．恒小于零C ．恒大于零D ．可能小于零，也可能大于零【答案】C 【解析】函数3()cos x f x x=的定义域ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 为奇函数，又由2323cos sin '()0cos x x x xf x x +=>，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时恒成立，故0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数为增函数，进而可得,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数为增函数，若1223130,0,0x x x x x x +>+>+>，则122331,,x x x x x x >->->-，则()()()122f x f x f x >-=-，()()()233f x f x f x >-=-，()()()311f x f x f x >-=-，从而：()()120f x f x +>，()()230f x f x +>，()()130f x f x +>，据此可得：()()()12320f x f x f x ⎡⎤++>⎣⎦，即()()()123f x f x f x ++的值恒大于零. 故选：C .7．（河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试）已知3log 2a =，4log 3b =，0.2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c <= ⎪⎝⎭故3>344,故3444log 3log 4>,即b>34,又4103⎛⎫ ⎪⎝⎭<4345,⎛⎫ ⎪⎝⎭故341053<,故340.25510log 0.3log log 5,3=<即c<34,所以b>c,综上a c b << 故选：B8．（山东省德州市2019届高三下学期第一次练习理）设有下列四个命题：1p ：若a b <，则22a b <； 2p ：若x 0>，则sinx x <；3p ：“()()f x 1f x =--”是“()y f x =为奇函数”的充要条件；4p ：“等比数列{}n a 中，123a a a >>”是“等比数列{}n a 是递减数列”的充要条件．其中，真命题的是( ) A ．1p ，3p B ．2p ，3pC ．2p ，4pD ．3p ，4p【答案】C 【解析】1p ：当a 1=-，b 1=时，满足a b <，则22a b <；不成立，即命题1p 是假命题 2p ：设()f x sinx x =-，则()f'x cosx 10=-≤，即()f x 是减函数，若x 0>，()()f x f 0sin000<=-=，即sinx x 0-<，则sinx x <成立，即命题2p 是真命题；若()()f x 1f x =--，则()()f x f x =--，即()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数，当()f x 0=，满足()f x 是奇函数，但()()f x 1f x =--不成立，即“()()f x 1f x =--”是“()y f x =为奇函数”的充要条件错误；即命题3p 是假命题，4p ：“等比数列{}n a 中，123a a a >>”,则2111a qa q a >>，若1a 0>，则21q q >>，得0q 1<<，此时nn 1a q 1a -=<，即n n 1a a -<，数列为递减数列， 1a 0<，则21q q <<，则q 1>，此时nn 1a q 1a -=>，即n n 1a a -<，数列为递减数列，综上等比数列{}n a 是递减数列，若等比数列{}n a 是递减数列，则123a a a >>成立，即等比数列{}n a 中，123a a a >>”是“等比数列{}n a 是递减数列”的充要条件，故命题4p 是真命题；故真命题是2p ，4p ，故选：C ．9．（北京延庆区2019届高三一模数学理）已知()0,1x ∈，令log 3x a =，sinx b =，2x c =，那么,,a b c 之间的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】因为()0,1x ∈，则log 3x a =，为单调递减函数，所以0a <。

1.4基本不等式专项训练高三数学一轮复习

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第四节基本不等式1.不等式（x －2y ）＋1x －2y≥2成立的前提条件为（）A.x ≥2yB.x ＞2yC.x ≤2yD.x ＜2y 2.若a ，b 都是正数，则(1+ba )(1+4a b)的最小值为（）A.5B.7C.9D.133.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＋2，则xy （） A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为12D.有最小值为124.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（） A.80元 B.120元 C.160元D.240元5.（多选）下列不等式一定成立的有（） A.x ＋1x ≥2B.2x （1－x ）≤14C.x 2＋3x 2+1≥2√3－1D.√x ＋√x≥26.（多选）若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋4，则下列不等式恒成立的是（） A.0＜1ab ≤14 B.1a ＋1b ≥1 C.log 2a ＋log 2b ＜2D.1a 2＋b 2≤187.√（3－a)(a+6）（－6≤a≤3）的最大值为.8.已知x＞0，y＞0，且2x＋y＋1，则x＋yxy的最小值为.9.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为.10.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＋0，求：（1）xy的最小值；（2）x＋y的最小值.11.已知a，b为正实数，且a＋4b－√ab－3＋0，则ab的取值范围是（）A.（－∞，2]B.＋32，2＋C.＋0，32＋ D.（0，1]12.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够利用图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＋a，BC＋b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a＋b2≥√ab（a＞0，b＞0） B.a2＋b2≥2√ab（a＞0，b＞0）C.2aba＋b ≤√ab（a＞0，b＞0） D.a＋b2≤√a2＋b22（a＞0，b＞0）13.（多选）若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＋1，则下列不等式成立的是（）A.a＋b＋c≤√3B.（a＋b＋c）2≥3C.1a ＋1b＋1c≥2√3 D.a2＋b2＋c2≥114.已知a，b为正实数，且满足a＋b＋1.证明：（1）a2＋b2≥12；（2）√1a ＋2b≥1＋√2.15.甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14，固定成本为a元.（1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？参考答案与解析1.B因为不等式成立的前提条件是x－2y和1x－2y均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.2.C因为a，b都是正数，所以＋1＋ba ＋＋1＋4ab＋＋5＋ba＋4ab≥5＋2√ba·4ab＋9（当且仅当b＋2a时等号成立）.故选C.3.C 因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2，所以x ＋2y ≥2√x ·2y ，即2≥2√2xy ，xy ≤12，当且仅当x ＋2y ，即x ＋1，y ＋12时，等号成立.所以xy 有最大值，且最大值为12.4.C 由题意知，体积V ＋4 m 3，高h ＋1 m ，所以底面积S ＋4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＋20×4＋10×＋2x ＋8x ＋≥80＋20√2x ·8x ＋160，当且仅当2x ＋8x ，即x ＋2时取得等号.5.CD 对于A ，当x ＜0时，x ＋1x ＜0，故A 错误；对于B ，2x （1－x ）＋－2x 2＋2x ＋－2＋x －12＋2＋12≤12，故B 错误；对于C ，x 2＋3x 2+1＋x 2＋1＋3x 2+1－1≥2√（x 2+1）·3x 2+1－1＋2√3－1，当且仅当x 2＋√3－1时取等号，故C 正确；对于D ，√x ＋√x ≥2√√x ·√x ＋2，当且仅当x ＋1时取等号，故D 正确.故选C 、D.6.BD 因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤＋a ＋b 2＋2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则ab ≤＋42＋2＋4≤a 2＋b 22，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则1ab≥14，a 2＋b 2≥8，1a 2＋b2≤18，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则log 2a ＋log 2b ＋log 2ab ≤log 24＋2，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，故A 、C 不恒成立，D 恒成立；对于B 选项，1a ＋1b ＋a ＋b ab＋4ab ≥4×14＋1，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，故B 恒成立.7.92解析：当a ＋－6或a ＋3时，√（3－a)(a +6）＋0；当－6＜a ＜3时，√（3－a)(a +6）≤3－a ＋a+62＋92，当且仅当3－a ＋a ＋6，即a ＋－32时取等号.8.3＋2√2 解析：x ＋yxy ＋1x ＋1y ＋＋1x ＋1y ＋（2x ＋y ）＋3＋yx ＋2xy ≥3＋2√y x ·2xy＋3＋2√2，当且仅当yx ＋2xy ，即x ＋1－√22，y ＋√2－1时等号成立，所以x ＋y xy的最小值为3＋2√2.9.a 2＋b 2＋1（答案不唯一）解析：该等式可为a 2＋b 2＋1，下面证明该等式符合条件.1a2＋9b2＋＋1a2＋9b2＋（a 2＋b 2）＋1＋9＋9a 2b 2＋b 2a 2≥10＋2√9a 2b 2·b 2a 2＋16，当且仅当b 2＋3a 2时取等号，所以1a 2＋9b 2是一个变量，且它的最小值为16.10.解：（1）由2x ＋8y －xy ＋0，得8x ＋2y ＋1. 又x ＞0，y ＞0，则1＋8x ＋2y ≥2 √8x ·2y ＋√xy，得xy ≥64，当且仅当8x ＋2y ，即x ＋16且y ＋4时，等号成立. 所以xy 的最小值为64.（2）由2x ＋8y －xy ＋0，得8x ＋2y ＋1，则x ＋y ＋(8x ＋2y )（x ＋y ）＋10＋2xy ＋8yx ≥10＋2 √2x y ·8yx＋18.当且仅当2x y＋8y x，即x ＋12且y ＋6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.11.D 因为a ＋4b －√ab －3＋0，所以a ＋4b ＋√ab ＋3≥2√a ·4b ，当且仅当a ＋4b 时取等号，因为a ，b 为正实数，所以0＜ab ≤1.故选D.12.D 由题意可得圆O 的半径r ＋OF ＋12AB ＋a ＋b 2，又由OC ＋OB －BC ＋a ＋b 2－b ＋a －b 2，在Rt＋OCF 中，可得FC 2＋OC 2＋OF 2＋＋a －b 2＋2＋＋a ＋b 2＋2＋a 2＋b 22，因为FO ≤FC ，所以a ＋b 2≤√a2＋b 22，当且仅当a ＋b时取等号.故选D.13.BD 由基本不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2（a 2＋b 2＋c 2）≥2（ab ＋bc ＋ca ）＋2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＋b ＋c ＋±√33时，等号成立.∴（a ＋b ＋c ）2＋a 2＋b 2＋c 2＋2（ab ＋bc ＋ca ）≥3，∴a ＋b ＋c ≤－√3或a ＋b ＋c ≥√3.若a ＋b ＋c ＋－√33，则1a ＋1b ＋1c ＋－3√3＜2√3.因此A 、C 错误，B 、D 正确.14.证明：（1）因为a ＋b ＋1，a ＞0，b ＞0，所以a 2＋b 2＋12（a 2＋b 2＋a 2＋b 2）≥12（a 2＋b 2＋2ab ）＋12（a ＋b ）2＋12（当且仅当a ＋b 时取等号）. （2）1a ＋2b ＋(1a ＋2b )（a ＋b ）＋3＋2ab ＋ba ≥3＋2√2ab ×ba ＋3＋2√2＋（1＋√2）2＋当且仅当2ab ＋ba ，即a ＋√2－1，b ＋2－√2时等号成立＋，所以√1a ＋2b ≥1＋√2.15.解：（1）由题意，得可变成本为14v 2元，固定成本为a 元，所用时间为1 000v，所以y ＋1 000v＋14v 2＋a ＋＋1 000＋14v ＋av＋，定义域为（0，80].（2）y ＋1 000＋14v ＋av ＋≥1 000×2√a4＋1 000√a （元），当14v ＋av 时，得v ＋2√a ，因为0＜v ≤80，所以当0＜a ≤1 600时，货车以v ＋2√a km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当a ≥1 600时，函数y ＋1 000＋14v ＋av ＋在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小.。

高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题(含答案)

高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（） A ．21ab a b <，那么下列不等式中，一定成立的是（） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（） A ．若a >b ，则11a b b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．若a >b ，c >d ，则下列不等式中一定正确的是（） A ．a d b c +>+ B ．a d b c ->- C ．ad bc >D ．a b d c> 5．若,R a b ∈，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则22a b > B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc > C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b <6．已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]7．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a bC ．()20a b c -≥D ．b c ba c a+>+ 8．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（） A ．22a b C ．11a b a>- D ．2ab b >9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④a a b b <.其中正确的结论的序号为（） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③11．若向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最大的是（） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定12．已知0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（） A ．n 0()l a b ->B2C ．a b b a >D ．114a b+>二、填空题13．已知25,21a b a b ≤+≤-≤-≤，则3a b -的取值范围是___________.14．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 15．已知12,03a b ≤≤≤≤，则2+a b 的取值范围为__________． 16．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．三、解答题17．比较（x －2）（x －4）与（x －1）（x －5）的大小关系．18．求解下列问题：(1)已知a ∈R ，比较()()37a a ++和()()46a a ++的大小； (2)已知0x y <<，比较1x与1y 的大小.19．（1）已知022a b <-<，123a b <+<，求a b +的取值范围；（2）已知x ，y ，z 都是正数，求证：222x y z xy xz yz ++≥++．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d ++、、之间的大小关系．21．请选择适当的方法证明. (1)已知0a >，0b >，且ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)已知x ∈R ，22a x =-，23b x =-+，证明：a ，b 中至少有一个不小于0.22．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．求证下列问题：(1)已知a b c ，，均为正数，求证:bc ac aba b c++a b c ≥++. (2)已知0xy >，求证: 11x y>的充要条件是x y <.24．已知定义在R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3x f x g x +=． (1)求(),()f x g x ，并证明：22()()(2)f x g x f x +=；(2)若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2(2)2()10f x ag x ++≤成立，求实数a 的取值范围。

高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义理(含解析)-

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则b a b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析因为c 0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立，当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型一不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定答案 C解析显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________．答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型二不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解本题采用分类讨论思想．原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型三二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围．解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

(全国通用)高考数学一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式习题理选修4-5-人教版高三选修4

选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2.(2015·某某统测)不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3.(2015·某某巴蜀中学三诊)已知关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值X围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值X围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5.(2015·某某三模)若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6.(2015·某某高考)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.(2015·东北三省四市二模)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,某某数t的取值X围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8.(2015·某某实验中学质检)设函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,某某数a的取值X围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值X围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值X围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值X围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值X围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分)(2015·某某调研)设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)=f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)=f(x)min=f a-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值X围是[-2,0].3.(10分)(2015·某某测试)设函数f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值X围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值X围是.4.(10分)(2015·某某监测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,某某数k的取值X围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分)(2015·某某二中二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,某某数a的取值X围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值X围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。

【经典双基题】高三数学(理)(通用版)一轮复习检测试题12 word版含解析

一．单项选择题。

（本部分共5道选择题）1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 A2．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )． A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3解析由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3.答案 D3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )A．－13 B．－15C．10 D．15解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案：A4．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案 A5．某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫95－π2 c m 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94＋π2 cm 2D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫95＋π2 cm 2解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.答案 C二．填空题。

高三数学复习—基本不等式(导学试题)

题型1:不等式的性质及其应用【典型例题】 [例1](1)若a >b >0,c <d <0,则一定有( ) A.a c >b d B.a c b c D .a d 1a B.()12a <()12b C.(lg a )2<(lg b )2 D .1lg a >1lg b(2)已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C.sin x >sin y D .x 3>y 3 (3)已知－1<a <0,A ＝1＋a 2,B ＝1－a 2,C ＝11＋a ,比较A ,B ,C 的大小关系为( ) A.A b >0是“a 2>b 2”的() A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知a ,b ,c 满足c 0 C .b 2c <a 2c D.a －c ac <0 3.若1a <1b <0,则下列不等式中：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中,正确的不等式是________.(填正确不等式的序号) ★题型2:基本不等式及其应用【典型例题】 [例1](1)已知54x <,则14245y x x =-+-的最大值 . (2)函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域 . (3)当时,函数(82)y x x =-的最大值 . (4)设230<<x ,则函数)23(4x x y -=的最大值 . (5)函数2254x y x +=+的值域 . [例2](1)若实数x ,y 满足xy ＝1,则x 2＋2y 2的最小值为________. (2)设x ,y ∈R ,且xy ≠0,则()x 2＋1y 2·()1x 2＋4y 2的最小值为________. (3)已知x ,y ∈R ＋,且满足x 3＋y 4=1,则xy 的最大值为______. (4)已知x ,y 为正实数,且x 2＋y 22 =1,则x 1＋y 2 的最大值 .[例3](1)已知0,0x y >>,且191x y +=,则x y +的最小值为 . (2)已知a >0,b >0,a ＋b ＝2,则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B.4 C .92 D.5 (3)若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C .5 D.6 [例4](1)若正数x ,y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30,则xy 的最大值是 A.43 B.53 C .2 D.54 (2)设x ,y 均为正实数,且32＋x ＋32＋y＝1,则xy 的最小值为( ) A.4 B.4 3 C.9 D .16(3)已知x >0,y >0,x ＋2y ＋2xy ＝8,则x ＋2y 的最小值是( ) A.3 B .4 C.92 D.112[例5](1)已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx ＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c(a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1,x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a无实根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集① ②Rax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形 2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a ③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1，2)C ．[－1，1]D ．[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1]．故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x ∈R } B ．{x |x ≠1，x ∈R } C ．{x |x ≥1}D ．{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B .已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(－2，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D .不等式2x 2－x <4的解集为____________．解：由2x 2－x <4得x 2－x <2，解得－1<x <2，即不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．故填{x|－1<x<2}．(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解：显然k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＜0，解得k ∈(－3，0)．故填(－3，0)．类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故填{x|x ＜－3}．【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－13是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅， ②当m ＝2时，原不等式的解集为R . (2)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2. (3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2. 类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <－1或x >12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b a ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0. 解得－1＜x ＜12.故选B .【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________．解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝2＋3，ca ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0)．即6x 2＋5x ＋1＜0，解得－12＜x ＜－13.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜－13.类型四含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)当m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＞0，∵1m＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m或x ＞1.②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1，即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m＜x ＜1；(Ⅱ)若1m＞1，即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ； (Ⅲ)若1m＝1，即m ＝1时，不等式的解集为∅.【点拨】当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0，当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a .类型五分式不等式的解法(1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{x|x ＞－12或x ≤－2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x|x ＞－12或x≤－2}．(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集为．解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}．【点拨】分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A .类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0 ⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(1)(2015·甘肃模拟)若不等式a ·4x －2x＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是________．解：不等式可变形为a >2x－14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝t －t2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a >14.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．类型七二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)D ．[0，1)解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1. 解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B .【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.检验知合要求．不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0. ∴故填{x|－1＜x ＜0}．类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x －14－3x≥0⇒5x 2－14x －3≥0⇒(5x ＋1)(x－3)≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x2＋1x＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112.故x ＝6时，y max ＝457 500元．【点拨】和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．(2015·河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解： (1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . ∵售价不能低于成本价，∴100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.∴y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.∴x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2] B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2.则f (x )＝－x 2－x ＋2，∴f (－x )＝－x2＋x ＋2.故选C .3．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg2}B ．{x |－1<x <lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D .4．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( ) A ．[15，20] B ．[12，25] C ．[10，30]D ．[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C .5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－12) B ．(－4，＋∞) C ．(－12，＋∞)D ．(－∞，－4)解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜－4.故选D .6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－12，＋∞)C ．(－22，0)D ．(－12，0)解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得－12＜a ＜0.故选D .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3的解集为________．解：log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x≤2.当x ＞0时，x ＋1x ≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，此时x ＋1x＞－6，解得－3－22＜x＜－3＋2 2.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}．8．(2015·昆明模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x恒成立，则a 的最大值是__________．解：原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22，对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.故填8.9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解法一：设f (x )＝x 2－ax －a .则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x －1200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(舍去)．这表明甲车的车速超过30 km/h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)．这表明乙车超过40 km/h ，超过规定限速．11．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)， ∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0. 因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a，及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a ＜1)．解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0，若a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}；若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅；若a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}．。

(精品人教)2020版高考数学一轮复习第六章不等式第5讲不等式的应用课时作业理

第5讲不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年2．(2017年广东惠州三模)设z ＝4x ·2y，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，则z 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．163．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层4．(2016年山东烟台诊断)已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金不超过54万元，假设项目年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润((单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元7．(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是__________．8．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其关系式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l. (1)如果不限定车型，l ＝6.05，那么最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．9．(2017年湖北孝感一模)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (单位：升)与速度x (单位：千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋，x ∈[50，，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？10．(2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？第5讲不等式的应用1．C 解析：y x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2x ×25x ＋12，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取等号．2．C 解析：作出不等式组对应的平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＝－3，x ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，设A (1,1)，由图可知，直线2x ＋y ＝m 经过点A 时，m 取最小值，同时z ＝4x ·2y ＝22x ＋y 取得最小值．所以z min ＝22×1＋1＝23＝8.故选C.3．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈N *)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.4．D 解析：设公比为q .因为a 2＝1＝a 1q ，所以S 3＝a 1＋1＋a 1q 2＝1q ＋q ＋1.当q >0时，1q ＋q ≥2；当q <0时，1q＋q ≤－2.所以S 3≥3或S 3≤－1.故选D.5．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D124所示的阴影部分．易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30,20)时，z取得最大值为48.故选B.图D124 图D1256．C 解析：设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝1600x ＋2400y .画出可行域：如图D125所示的阴影部分，可知当目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．7．30 解析：总费用4x ＋600x×6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥4×2900＝240.当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．8．(1)1900 (2)100 解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时，等号成立．此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时． 9．解：(1)①当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4900)＝175[(x －65)2＋675] 当x ＝65时，y 有最小值175×675＝9.②当x ∈[80,120]时，函数单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值10. 因为9<10，故当x ＝65时每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意，可知l ＝y ·120x.①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4900x－130＝16.当且仅当x ＝4900x，即x ＝70时，l 取得最小值16.②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤80120时，l ＝y ·120x ＝1440x －2为减函数，当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120时，总耗油量最少．10．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图D126中的阴影部分．图D126 图D127 (2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图D127可知，当直线z ＝60x ＋25y经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0得点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多。

2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．若x <a <0，则一定成立的不等式是()A ．x 2<ax <0B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<0D ．x 2>a 2>ax2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是()A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a ab >b 2C ．若a ab3．若a >b >0，c <d <0，则一定有()A.a c >b d B.a c b cD.a d b ＋c ，a ＋c b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则P ＝ac ＋bd ，Q ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的大小关系为()A ．P ≥QB ．P >QC ．P <QD ．P ≤Q6．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1＋1＋1的值()A ．一定是正数B ．一定为负数C ．可能为0D ．正负不定7．已知a >0，b >0，c >0，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a ，则有()A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”)10．已知α，β满足1≤α＋β≤1，≤α＋2β≤3，则z ＝α＋3β的取值范围是．三、解答题11．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．12．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．(2)已知a >0，b >0，x >0，y >0且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b.13．(多选题)设a ，b 为正实数，则下列命题中为真命题的是()A ．若a 2－b 2＝1，则a －b <1；B ．若1b －1a ＝1，则a －b <1；C ．若|a －b |＝1，则|a －b |<1；D ．若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.14．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A 元，购买3枝康乃馨所需费用为B 元，则A ，B 的大小关系是()A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A ，B 的大小关系不确定15．某公司有20名技术人员，计划开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A 类127.5B 类136今制定计划欲使总产值最高，则A 类产品应生产件，最高产值为万元．16．若a >b >0，c <d <0，|b |>|c |.(1)求证：b ＋c >0；(2)求证：b ＋c (a －c )2<a ＋d(b －d )2；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足b ＋c(a －c )2<所求a＋d (b－d)2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．式<2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．若x <a <0，则一定成立的不等式是(B )A ．x 2<ax <0B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<0D ．x 2>a 2>ax解析：取x ＝－2，a ＝－1，则x 2＝4，a 2＝1，ax ＝2，∴x 2>ax ，可排除A ，显然C 不正确．又a 2＝1，∴ax >a 2.∴排除D ，故选B.2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是(B )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a ab >b 2C ．若a ab解析：∵a >b ，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故A 错．∵a ab ，b 2<ab ，1a >1b ，a b >1，b a <1，即b a <ab ，∴B 正确，C ，D 错误．3．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D )A.a c >bd B.a c b c D.a d －d >0，∴1－d >1－c>0.又a >b >0，∴a －d >b －c，∴a d <bc .方法二：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2.则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项A ，B.又a d ＝－32，b c ＝－23，∴a d <bc，排除选项C.4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d .又a ＋c b >a >c .5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则P ＝ac ＋bd ，Q ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的大小关系为(D )A ．P ≥QB ．P >QC ．P <QD ．P ≤Q解析：P 2－Q 2＝(ac ＋bd )2－(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2－(a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2)＝－a 2d 2＋2abcd －b 2c 2＝－(ad －bc )2≤0，所以P 2≤Q 2，又Q ≥0，所以P ≤Q .6．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值(B )A ．一定是正数B ．一定为负数C ．可能为0D ．正负不定解析：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝0，且a 2＋b 2＋c 2>0(由abc >0知abc 均不为0)．∴ab ＋bc ＋ac <0.∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc<0.7．已知a >0，b >0，c >0，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a ，则有(A )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a 0，b >0，c >0，所以a ＋b >b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c ，可得a >c .由b ＋c >c ＋a ，可得b >a .于是有c <a <b .8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(B )A ．甲B ．乙C ．同时到达D ．无法判断解析：设寝室到教室的路程为s ，步行速度v 1，跑步速度v 2，则甲用时t 1＝12s v 1＋12s v 2，乙用时t 2＝2s v 1＋v 2，t 1－t 2＝s2v 1＋s2v 2－2sv 1＋v 2＝＝(v 1＋v 2)2－4v 1v 22v 1v 2(v 1＋v 2)·s ＝(v 1－v 2)2·s 2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，∴甲用时多．二、填空题9．已知若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac >0.(填“>”“<”或“＝”)解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )，∴b 2＝a 2＋c 2＋2ac .∴b 2－4ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2.∵a >c ，∴(a －c )2>0，∴b 2－4ac >0.10．已知α，β1≤α＋β≤1，≤α＋2β≤3，则z ＝α＋3β的取值范围是{z |1≤z ≤7}．解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β)＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β(λ，v ∈R )，＋v ＝1，＋2v ＝3，＝－1，＝2，所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，所以1≤α＋3β≤7.故z ＝α＋3β的取值范围是{z |1≤z ≤7}．三、解答题11．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．解：答案不唯一．命题一：若ab >0，且c a >db ，则bc >ad .证明：因为c a >db ，且ab >0，所以c a ·ab >d b·ab ，即bc >ad .命题二：若ab >0，且bc >ad ，则c a >d b .证明：因为ab >0，所以1ab >0，又bc >ad ，所以bc ·1ab >ad ·1ab ，即c a >db.12．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．(2)已知a >0，b >0，x >0，y >0且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b .解：(1)方法一：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0所以－2xy (x －y )>0，所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．方法二：因为x <y <0，所以x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.所以(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0，所以0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1，所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)证明：x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).因为1a >1b 且a >0，b >0，所以b >a >0，又因为x >y >0，所以bx >ay >0，所以bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，所以x x ＋a >yy ＋b .13．(多选题)设a ，b 为正实数，则下列命题中为真命题的是(AD )A ．若a 2－b 2＝1，则a －b <1；B ．若1b －1a ＝1，则a －b <1；C ．若|a －b |＝1，则|a －b |<1；D ．若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.解析：对于A ，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b ≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．对于B ，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1.对于C ，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1.对于D ，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0，∴a ≠b ，不妨设a >b >0.∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2，即a 3－b 3>(a －b )3>0，∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0，∴0<a －b <1，即|a －b |<1.因此正确．14．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A 元，购买3枝康乃馨所需费用为B 元，则A ，B 的大小关系是(A )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A ，B 的大小关系不确定解析：设每枝玫瑰的价格为x 元，每枝康乃馨的价格为y 元，则由题意得x ＋y >8，x ＋5y <22，2x ＝A,3y ＝B ，整理得x ＝A 2，y ＝B3，将其代入不等式组得，＋B3>8，A ＋5B3<22，将A ＋B 3>8乘以－2与2A ＋53B <22相加，解得B <6，将B <6代入A >8－B3中，解得A >6，故A >B .15．某公司有20名技术人员，计划开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A 类127.5B 类136今制定计划欲使总产值最高，则A 类产品应生产20件，最高产值为330万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．16．若a >b >0，c <d <0，|b |>|c |.(1)求证：b ＋c >0；(2)求证：b ＋c (a －c )2<a ＋d (b －d )2；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足b ＋c (a －c )2<所求式<a ＋d (b －d )2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．解：(1)证明：因为|b |>|c |，且b >0，c <0，所以b >－c ，所以b ＋c >0.(2)证明：因为c <d <0，所以－c >－d >0.又a >b >0，所以由同向不等式的可加性可得a －c >b －d >0，所以(a －c )2>(b －d )2>0，所以0<1(a －c )2<1(b －d )2①.因为a >b ，d >c ，所以由同向不等式的可加性可得a ＋d >b ＋c ，所以a ＋d >b ＋c >0②.①②相乘得b ＋c (a －c )2<a ＋d(b －d )2.(3)因为a ＋d >b ＋c >0,0<1(a －c )2<1(b －d )2，所以b ＋c (a －c )2<b ＋c (b －d )2<a ＋d (b －d )2或b ＋c (a －c )2<a ＋d (a －c )2<a ＋d(b －d )2.(只要写出其中一个即可)。

高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测37 绝对值不等式(选修4-5) Word版含解析[ 高考]

课时跟踪检测(三十七)绝对值不等式(选修4－5) 第Ⅰ组：全员必做题1．如果|x－a|<ε2，|y－a|<ε2，则一定有()A．|x－y|<εB．|x－y|>εC．|x－y|<ε2D．|x－y|>ε22．不等式2<|x＋1|<4的解集为()A．(1,3) B．(－5，－3)∪(0,3)C．(－5,0) D．(－5，－3)∪(1,3)3．(2012·哈尔滨模拟)不等式|x＋1|>|2x－3|－2的解集为()A．(－∞，－6) B．(－6,0)C．(0,6) D．(6，＋∞)4．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]5．已知不等式|a－2x|>x－1，对任意x∈[0,2]恒成立，则a的取值范围为() A．(－∞，1)∪(5，＋∞) B．(－∞，2)∪(5，＋∞)C．(1,5) D．(2,5)6．若关于x的不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的值为________．7．(2014·青岛一模)不等式|2x＋1|－|x－4|>2的解集是________．8．(2014·西安检测)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围为________．9．(2013·福建高考)设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且32∈A，12∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．10．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·广州一模)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．2．(2013·湖北八校联考)若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选A |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|y －a |<ε，即|x －y |<ε.2．选D ∵2<|x ＋1|<4，∴2<x ＋1<4或－4<x ＋1<－2，∴1<x <3或－5<x <－3.3．选C 原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－(x ＋1)>－(2x －3)－2 或②⎩⎨⎧ －1<x <32，x ＋1>－(2x －3)－2或③⎩⎨⎧ x ≥32，x ＋1>2x －3－2.不等式组①的解集为∅，不等式组②的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，不等式组③的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，6，因此原不等式的解集为(0,6)． 4．选A 由绝对值的几何意义易知：|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.5．选B 当0≤x <1时，不等式|a －2x |>x －1对a ∈R 恒成立；当1≤x ≤2时，不等式|a －2x |>x －1，即a －2x <1－x 或a －2x >x －1，x >a －1或3x <1＋a ，由题意得1>a －1或6<1＋a ，a <2或a >5；综上所述，则a 的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．6．解析：由题意可知，－1和2都是|ax ＋2|＝6的根，所以|－a ＋2|＝6且|2a ＋2|＝6，解得a ＝－4.答案：－47．解析：原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎨⎧ －12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2，解得x ∈(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 答案：(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 8．解析：函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)9．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.10．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |>3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|>3即可，所以m ＋1>3或m ＋1<－3，解得m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．解析：只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a＋4a整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．答案：(－∞，－4]∪[－1,0)。

不等式练习高三数学一轮复习(原卷版)

专题四《不等式》专项练习一．选择题（共8小题）1．下列命题中，正确命题的个数是（） ①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d ； ④若a ＞0，b ＞0，则1a +1b≥√ab；⑤y ＝sin x +2sinx ，x ∈（0，π2]的最小值是2√2． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知正实数a 、b 满足a +b ＝ab ，则ab 的最小值为（） A ．1B ．√2C ．2D ．43．已知x ＞0，y ＞0，且2x +y ＝xy ，则4x +2y 的最小值为（） A ．8B ．12C ．16D ．204．若函数f （x ）＝ax 2+ax ﹣1对∀x ∈R 都有f （x ）＜0恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．﹣4＜a ≤0B ．a ＜﹣4C ．﹣4＜a ＜0D ．a ≤05．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则下列结论正确的是（） A ．a c ＜b c B ．a log b c ＜b log a c C ．ab c ＜ba c D ．log a c ＜log b c6．在R 上定义运算：|abcd|=ad −bc ，若不等式|x −1a −2a +1x |≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．−12B ．−32C ．12D ．327．已知正数x ，y 满足3xy +y 2﹣4＝0，则3x +5y 的最小值为（） A ．1B ．4C ．8D ．168．若正数x ，y ，z 满足x 2+4y 2＝z +3xy ，则当xy z取最大值时，1x +12y−1z 的最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．12二．多选题（共4小题）9．已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝6，则（）A．ab的最大值为2B．2a+b的最小值为4C．a+b的最小值为3D．1a+1+1b+2的最小值为√2210．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12B．2a﹣b＞12C．log2a+log2b≥﹣2D．√a+√b≤√211．已知函数f（x）＝x+1x（x＞0），若f（a）＝f（b），且a＜b，则下列不等式成立的有（）A．ab＝1B．a2+b2＞2C．1a +2b≥2√2D．log a b＜log b a12．若实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．1y ＞1xB．ln（x﹣y）＞lnyC．x+y＜√2(x2+y2)D．x﹣y＜e x﹣e y 三．填空题（共4小题）13．已知x，y∈R+，x+2y＝1，则1x +x+yy的最小值为．14．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+4b2+14ab的最小值是．16．已知a，b∈R，且a＞b＞0，a+b＝1，则a2+2b2的最小值为，4a−b +1 2b的最小值为．。

高三数学一轮复习集合逻辑推理不等式专题练习(无答案)理试题

集合逻辑推理不等式专题一选择题1. 已知集合{}0,2|>==x y y M x，{}2|lg(2)N x y x x ==-，则N M 为（） A.(1,2) B.),1(+∞ C.),2[+∞ D.),1[+∞ 2. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 3.1:1,:1,p x q p q x⌝≤<已知则是成立的( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既非充分也非必要4.下列四个命题：①11(0,),()()23x x x ∃∈+∞>； ②23(0,),log log x x x ∃∈+∞<；③121(0,),()log 2xx x ∀∈+∞>；④1311(0,),()log 32xx x ∀∈<．其中正确命题的个数（）A ．1 B.2 C. 3 D. 4 5. 下列推理是归纳推理的是（）Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由1131n a a n ＝，＝－，求出123S S S ，，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆222x y r ＋＝的面积2r π，猜想出椭圆2222=1x y a b+的面积S ab π＝D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 6. 下列命题中正确的是（）A .1y x x =+的最小值是2B .()4230y x x x=-->的最大值是2- C .224sin sin y x x =+的最小值是4 D .()4230y x x x=--<的最小值是2-7. 已知正数,x y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为( )A. 8B. 4C. 2D. 0 二、填空题8．曲线 sin y x =在点 (,),(,)2222A B ππππ-处的切线分别为 12,l l ,设 12,l l 及直线 x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x ，y)是区域D 内任意一点，则x+2y 的最大值为________.9. 在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =___________. 10. 111()1...()23f n n N n*=++++∈，计算35(2),(4)2,(8),(16)322f f f f =>>>，7(32)2f >，推测当2n ≥时，有____________．三、解答题11.命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>，对一切x R ∈恒成立；命题q ：函()(32)xf x a =-是增函数．若p 或q为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．12.近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足123+-=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．。

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第七章不等式考点1 不等关系与不等式1.(2016·北京,5)已知x ,y ∈R ,且x ＞y ＞0,则( )A.1x －1y ＞0B.sin x －sin y ＞0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞01.C [函数y ＝1x 在(0,＋∞)上单调递减,所以1x ＜1y ,即1x －1y＜0,A 错;函数y ＝sin x 在(0,＋∞)上不是单调函数,B 错;函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,＋∞)上单调递减,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0,所以C 正确；ln x ＋ln y ＝ln xy ,当x ＞y ＞0时,xy 不一定大于1,即不一定有ln xy ＞0,D 错.]2. (2016·全国Ⅰ,8)若a >b >1,0<c <1,则( ) A.a c<bcB.ab c <bacC.a log b c b >1⇒a c>b c,故A 错；对B ：由于－1<c －1<0,∴函数y ＝x c －1在(1,＋∞)上单调递减,∴a >b >1⇔ac －1<bc －1⇔ba c<ab c,故B 错；对C ：要比较a log b c 和b log a c ,只需比较a ln c lnb 和b lnc ln a ,只需比较ln c b ln b 和ln ca ln a,只需比较b ln b 和a ln a .构造函数f (x )＝x ln x (x >1),则f ′(x )＝ln x ＋1>1>0,f (x )在(1,＋∞)上单调递增,因此f (a )>f (b )>0⇒a ln a >b ln b >0⇒1a ln a <1b ln b ,又由0<c <1得ln c <0,∴ln c a ln a >ln cb ln b⇒b log a c >a log b c ,C 正确；对D ：要比较log a c 和log b c ,只需比较ln c ln a 和ln cln b ,而函数y ＝ln x 在(1,＋∞)上单调递增,故a >b >1⇔ln a >ln b >0⇔1ln a <1ln b ,又由0<c <1得ln c <0,∴ln c ln a >ln cln b ⇔log a c >log b c ,D 错误,故选C.]3.(2014·四川,4)若a >b >0,c <d <0,则一定有( ) A.a c >bdB.a c b cD.a d －1c >0,又a >b >0,故由不等式性质,得－a d >－b c >0,所以a d <bc,故选D.]4.(2014·浙江，6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3<c ≤6C.6<c ≤9D.c >94.C [由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9].]5.(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.5.{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.]6.(2014·江苏，10)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.6.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.] 考点2 线性规划1.(2016·四川,7)设p ：实数x ,y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2,q ：实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.A [如图,(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数x ,y 满足②则必然满足①,反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.]2.(2016·山东,4)若变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.122.C[满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如右图阴影部分(包括边界),x 2＋y 2是可行域上动点(x ,y )到原点(0,0)距离的平方,显然,当x ＝3,y ＝－1时,x 2＋y 2取最大值,最大值为10.故选C.]3.(2016·北京,2)若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.53.C [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z ＝2x ＋y ,则y ＝－2x ＋z ,作直线2x＋y ＝0并平移,当直线过点A 时,截距最大,即z 取得最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A点坐标为(1,2),可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.]4.(2015·广东,6)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( ) A.315B.6C.235D.44.C[不等式组所表示的可行域如下图所示,由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2,依题当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时,z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235,故选C.]5.(2015·北京,2)若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.25.D[可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12z ,当直线y ＝－12x ＋12z ,过点A (0,1)时,z 取得最大值2.]6.(2015·福卷,5)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A.－52B.－2C.－32D.26.A[如图,可行域为阴影部分,线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ,由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小,z min ＝2×(－1)－12＝－52,故选A.]7.(2015·山东,6)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4,则a＝( )A.3B.2C.－2D.－37.B[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2,0),由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1).由z ＝ax ＋y ,得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时,z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值,最大值为z max ＝0,不满足题意,排除C,D 选项；当a ＝2或3时,z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值, ∴2a ＝4,∴a ＝2,排除A,故选B.]8.(2015·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元8.D[设甲、乙的产量分别为x 吨,y 吨,由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元).]9.(2014·广东,3)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ,则m －n ＝( ) A.5 B.6C.7D.89.B[作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y ＝－2x ＋z 经过点A时,z 的值最大,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1,则m ＝z max ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B时,z 的值最小,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1y ＝x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1,则n ＝z min ＝2×(－1)－1＝－3,故m －n ＝6.]10.(2014·安徽,5)x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( ) A.12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－110.D[法一由题中条件画出可行域,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则z A ＝2,z B ＝－2a ,z C ＝2a －2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ,解得a ＝－1或a ＝2.法二目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ,令l 0：y ＝ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2.]11.(2014·山东,9)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0,b >0)在该约束条件下取到最小值25时,a 2＋b 2的最小值为( )A.5B.4C. 5D.211.B [法一不等式组表示的平面区域如图所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,1)处取得最小值,故2a ＋b ＝25,两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20,又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2,所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2),所以a 2＋b 2≥4,即a 2＋b 2的最小值为4,当且仅当a ＝2b ,即b ＝25,a ＝45时等号成立.法二把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线,则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方,即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4.]12.(2014·新课标全国Ⅰ,9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ,y )∈D ,x ＋2y ≥－2,p 2：∃(x ,y )∈D ,x ＋2y ≥2, p 3：∀(x ,y )∈D ,x ＋2y ≤3,p 4：∃(x ,y )∈D ,x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( )A.p 2,p 3B.p 1,p 4C.p 1,p 2D.p 1,p 312.C[画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2,－1)时,取得最小值0,故x ＋2y ≥0,因此p 1,p 2是真命题,选C.]13.(2016·全国Ⅲ,13)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________.13.32 [满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2,－1),B (0,1),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为顶点的三角形内部及边界,过C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时取得最大值为32.]14.(2016·全国Ⅰ,16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.14. 216 000 [设生产A 产品x 件,B 产品y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).]15.(2015·新课标全国Ⅰ,15)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.15.3[约束条件的可行域如下图,由y x ＝y －0x －0,则最大值为3.]16.(2014·大纲全国,14)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________.16.5[作出约束条件下的平面区域,如图所示.由图可知当目标函数z ＝x ＋4y 经过点B (1,1)时取得最大值,且最大值为1＋4×1＝5.]17.(2014·湖南,14)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6,则k ＝________.17.－2[画出可行域(图略),由题意可知不等式组表示的区域为一三角形,平移参照直线2x ＋y ＝0,可知在点(k ,k )处z ＝2x ＋y 取得最小值,故z min ＝2k ＋k ＝－6.解得k ＝－2.]考点3 基本不等式1.(2014·上海，5)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．1.22 [∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取“＝”，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2.]。