人教版高三数学一轮复习练习题全套—(含答案)及参考答案
【2020最新】人教版最新高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)(1)附参考答案

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)(1)附参考答案编辑:__________________时间:__________________(附参考答案)1.若椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为( )A.2 B.2 3C.4 D.4 3答案D解析∵椭圆过(-2,),则有+=1,b2=4,c2=16-4=12,c=2,2c =4.故选D.2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1答案A解析圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.又e==,∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3.∴椭圆的标准方程为+=1.3.已知曲线C上的动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是( )A. B. 3C. D.13答案A解析因为|a|+|b|=6表示动点M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6,所以曲线C是椭圆且长轴长2a=6,即a=3.又c=2,∴e=.4.已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为( )A.3 B.3或253C. D.或5153答案B解析若焦点在x轴上,则有∴m=3.若焦点在y轴上,则有∴m=.5.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.6.(20xx·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于( )A. B.45C. D.34答案B解析因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a =10⇒a=5,则c==4,e==,故选B.7.(20xx·广东广州二模)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为( )A. B.13C. D.33答案D解析设PF1的中点为M,连接PF2,由于O为F1F2的中点,则OM为△PF1F2的中位线,所以OM∥PF2.所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.由于∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理,得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=|PF2|.由椭圆定义,得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=.所以椭圆的离心率为e==·=.故选D.8.(20xx·河北邯郸一模)已知P是椭圆+=1(0<b<5)上除顶点外一点,F1是椭圆的左焦点,若|+|=8,则点P到该椭圆左焦点的距离为( ) A.6 B.4C.2 D.52答案C解析取PF1的中点M,连接OM,+=2,∴|OM|=4.在△F1PF2中,OM 是中位线,∴|PF2|=8.∴|PF1|+|PF2|=2a=10,解得|PF1|=2,故选C.9.(20xx·北京海淀期末练习)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( )A. B.332C. D.154解析由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得y=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,·的最大值为.故B正确.10.(20xx·河北唐山二模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )A.[,1) B.[,]C.[,1) D.[,1)答案C解析在椭圆长轴端点向圆引两条切线P′A,P′B,则两切线形成的角∠AP′B最小,若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直,则只需∠AP′B≤90°,即α=∠AP′O≤45°.∴sinα=≤sin45°=,解得a2≤2c2,∴e2≥.即e≥.而0<e<1,∴≤e<1,即e∈[,1).11.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x 轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________.答案+=1解析根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.12.椭圆+=1上一点P到左焦点F的距离为6,若点M满足=(+),则||=________.解析设右焦点为F′,由=(+)知M为线段PF中点,∴||=||=(10-6)=2.13.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若点A坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是________.答案 3解析∵·=0,∴⊥.∴||2=||2-||2=||2-1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,∴||min=.14.已知点A(4,0)和B(2,2),M是椭圆+=1上一动点,则|MA|+|MB|的最大值为________.答案10+210解析显然A是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为A1(-4,0),连接BA1并延长交椭圆于M1,则M1是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上,对于椭圆上的任意点M有:|MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当M1与M重合时取等号),∴|MA|+|MB|的最大值为2a+|A1B|=2×5+=10+2.15.如右图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.答案(1) (2)+=1解析(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形.所以有|OA|=|OF2|,即b=c.所以a=c,e==.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由=2,解得x=,y=-.代入+=1,得+=1.即+=1,解得a2=3.所以椭圆方程为+=1.16.(20xx·新课标全国Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.答案(1) (2)a=7,b=27思路本题主要考查椭圆的方程与基本量,考查椭圆的几何性质与离心率的计算,考查直线与椭圆的位置关系,意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力.(1)将M,F1的坐标都用椭圆的基本量a,b,c表示,由斜率条件可得到a,b,c的关系式,然后由b2=a2-c2消去b2,再“两边同除以a2”,即得到离心率e的二次方程,由此解出离心率.若能抓住△MF1F2是“焦点三角形”,则可利用△MF1F2的三边比值快速求解,有:|F1F2|=2c,|MF2|=2c×=c,则|MF1|=c,由此可得离心率e==.(2)利用“MF2∥y轴”及“截距为2”,可得yM==4,此为一个方程;再转化条件“|MN|=5|F1N|”为向量形式,可得到N的坐标,代入椭圆得到第二个方程.两方程联立可解得a,b的值.解析(1)根据c=及题设知M,=,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点.故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则⎩⎨⎧-c -=c ,-2y1=2,即⎩⎨⎧x1=-32c ,y1=-1.代入C 的方程,得+=1.② 将①及c =代入②得+=1. 解得a =7,b2=4a =28. 故a =7,b =2.1.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1,F2,b =4,离心率为.过F1的直线交椭圆于A ,B 两点,则△ABF2的周长为( )A .10B .12C .16D .20答案 D解析 如图,由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a ,又e ==,即c =a ,∴a2-c2=a2=b2=16. ∴a =5,△ABF2的周长为20.2.椭圆+=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c.若d1,2c ,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( )A. B.22C. D.34答案 A解析 由d1+d2=2a =4c ,∴e==.3.设e 是椭圆+=1的离心率,且e∈(,1),则实数k 的取值范围是( )A .(0,3)B .(3,)C .(0,3)∪(,+∞)D .(0,2)答案 C解析 当k>4时,c =,由条件知<<1,解得k>;当0<k<4时,c =, 由条件知<<1,解得0<k<3,综上知选C.4.已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y =k(x +)交于点A ,B ,则△ABM 的周长为______________.答案 8解析 直线y =k(x +)过定点N(-,0),而M ,N 恰为椭圆+y2=1的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为4a =4×2=8.5.已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上,点P 是椭圆上任意一点.当||最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.答案 (1)+=1 (2)1≤m≤4解析 (1)由题意知 解之得⎩⎨⎧a2=16,b2=12.∴椭圆方程为+=1.(2)设P(x0,y0),且+=1, ∴||2=(x0-m)2+y 20 =x -2mx0+m2+12(1-) =x -2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4).∴||2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为4m.由题意知,当x0=4时,||2最小,∴4m≥4,∴m≥1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,∴1≤m≤4.。
人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题:平面向量(含答案)及参考答案

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题:平面向量(含答案)及参考答案(附参考答案)平面向量一、填空题1、(2014年江苏高考)如图,在平行四边形中,已知,,则的值是▲.2、(2013年江苏高考)设分别是的边上的点,,,若(为实数),则的值为。
3、(2012年江苏高考)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是▲.4、(2015届江苏南京高三9月调研)已知向量a=(2,1),b=(0,-1).若(a+λb)⊥a,则实数λ=▲.5、(2015届江苏南通市直中学高三9月调研)已知△ABC中,∠C=90°,,分别为边上的点,且,,则▲.6、(2015届江苏苏州高三9月调研)如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点是线段上靠近的三等分点且则的值为▲7、(南京市2014届高三第三次模拟)在Rt△ABC中,CA=CB=2,M,N是斜边AB 上的两个动点,且MN=,则·的取值范围为▲.8、(南通市2014届高三第三次调研)在直角三角形中,=90°,,.若点满足,则▲.9、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))已知平面内的四点O,A,B,C满足,,则=▲.(徐州市2014届高三第三次模拟)如图,在△中,已知,,,10、,,则▲.11、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))已知||=1,||=2,∠AOB=,=+,则与的夹角大小为▲12、(2014江苏百校联考一)如图,是半径为1的圆的直径,△ABC是边长为1的正三角形,则的最大值为13、(2014南通二模)在△ABC中,D是BC的中点,AD=8,BC=20,则的值为▲.14、(苏锡常镇四市2014届高三3月调研(一))如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,,设∥,若,则的值为▲15、(兴化市2014届高三上学期期中)已知在中,,,设是的内心,若,则.二、解答题1、(2013年江苏高考)已知,。
(1)若,求证:;(2)设,若,求的值。
高考数学一轮复习综合测试卷一含解析新人教A版

综合测试卷(一)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z =2-i 1+i(i 为虚数单位),则复数z 的模等于( )A.√102B.3√22C.√3D.√52答案 A 由于z =2-i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2,∴|z |=|12-32i |=√(12)2+(-32)2=√102.故选A .2.(2019江西南昌外国语学校适应性测试,1)已知集合M ={x |0<x <5},N ={x |m <x <6},若M ∩N ={x |3<x <n },则m +n 等于 ( )A.9B.8C.7D.6答案 B 因为M ∩N ={x |0<x <5}∩{x |m <x <6}={x |3<x <n },所以m =3,n =5,因此m +n =8.故选B . 3.(2020九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 ( )A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案 C 本题主要考查空间几何体的结构特征,考查数学抽象、数学运算的核心素养.由已知条件“胡夫金字塔的底部周长除以其高度的两倍,得到商为3.14159”可得,胡夫金字塔的原高为230×42×3.14159≈146.4米,则胡夫金字塔现高大约为146.4-10=136.4米,故选C . 4.(2019广西梧州调研,6)若抛物线x 2=2py (p >0)上一点(1,m )到其准线的距离为54,则抛物线的方程为( )A.x 2=y B.x 2=2y 或x 2=4y C.x 2=4y D.x 2=y 或x 2=4y答案 D 由已知可得m =12p ,则12p +p 2=54,化简得2p 2-5p +2=0,解得p =12或p =2,所以抛物线方程为x 2=y 或x 2=4y.5.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x ,y 之间的线性回归方程为p^=-0.7x +10.3,且变量x ,y 之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误..的是 ( ) x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ,y 之间成负相关关系B.可以预测,当x =20时,p^=-3.7 C.m =4D.该回归直线必过点(9,4)答案 C 由-0.7<0,得变量x ,y 之间成负相关关系,故A 说法正确;当x =20时,p^=-0.7×20+10.3=-3.7,故B 说法正确; 由表格数据可知。
最新人教版高中理科数学一轮复习全套单元测试题含答案及解析

16.设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是.
第二章
(
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设集合M={x|2x-1<1,x∈R},N={x|lo x<1,x∈R},则M∩N等于()
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.[1,+∞)D.(-∞,-1)
7.已知集合A= ,B={y|y= },则A∩(∁RB)=()
A.[-3,5]B.(-3,1)
C.(-3,1]D.(-3,+∞)
8.不等式x2-2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是()
A.m>2B.0<m<1
C.m>0D.m>1
A.p:∃x0∈A,2x0∈B
B.p:∃x0∉A,2x0∈B
C.p:∃x0∈A,2x0∉B
D.p:∀x∉A,2x∉B
5.“p∨q是真命题”是“p为假命题”的()
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知p:x≥k,q: <1,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()
A.若α≠ ,则sinα≠
B.若α= ,则sinα≠
C.若sinα≠ ,则α≠
D.若sinα≠ ,则α=
3.已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=()
人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题:数列(含答案)及参考答案

高考一轮复习备考试题(附参考答案)数列一、填空题1、(2014年江苏高考)在各项均为正数的等比数列中,若,,则的值是▲2、(2013年江苏高考)在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数的值为。
3、(2012年江苏高考)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是▲.4、(2015届江苏南京高三9月调研)记数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=1,S n =2(a 1+a n )(n ≥2,n ∈N *),则S n =▲5、(2015届江苏南通市直中学高三9月调研)已知等比数列的前项和为,且,则数列的公比为▲6、(2015届江苏苏州高三9月调研)已知等比数列的各项均为正数则▲7、(南京市2014届高三第三次模拟)已知数列{a n }满足a n =a n -1-a n -2(n ≥3,n ∈N *),它的前n 项和为S n .若S 9=6,S 10=5,则a 1的值为▲8、(南通市2014届高三第三次调研)设数列{a n }为等差数列,数列{b n }为等比数列.若,,且,则数列{b n }的公比为▲.9、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 1 = 1,S 3 = 6,则S 6 =▲10、(徐州市2014届高三第三次模拟)在等比数列中,已知,.设为该数列的前项和,为数列的前项和.若,则实数的值为▲11、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))已知等差数列{a n }的公差d 不为0,且a 1,a 3,a 7成等比数列,则a1d 的值为▲二、解答题1、(2014年江苏高考)设数列{}的前n 项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得,则称{}是“H 数列。
”(1)若数列{}的前n项和=(n),证明:{}是“H数列”;(2)设数列{}是等差数列,其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{},总存在两个“H数列”{}和{},使得=(n)成立。
高三数学试题及答案一轮

高三数学试题及答案一轮一、选择题(每题4分,共40分)1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴有两个交点,则这两个交点的横坐标之和为:A. 1B. 2C. 3D. 42. 在等差数列{a_n}中,若a_1 + a_3 + a_5 = 9,a_2 + a_4 + a_6 = 15,则a_7的值为:A. 7B. 9C. 11D. 133. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a > 0,b > 0),若双曲线C的一条渐近线方程为y = √2x,则双曲线C的离心率为:A. √2B. √3C. 2D. 34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为:A. [-√2, √2]B. [-1, 1]C. [0, 2]D. [1, √2]5. 已知向量a = (1, 2),向量b = (2, -1),则向量a与向量b的数量积为:A. -1B. 0C. 1D. 36. 若直线l的方程为y = kx + 1,且直线l与圆x^2 + y^2 = 4相切,则k的值为:A. 1B. -1C. √3D. -√37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,若f'(x) = 0的根为x = 1或x = 2,则f(x)的极值点为:A. x = 1B. x = 2C. x = 1和x = 2D. 无极值点8. 已知抛物线C的方程为y^2 = 4x,若抛物线C上一点P到焦点的距离为5,则点P的横坐标为:A. 4B. 5C. 6D. 79. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,若a^2 + b^2 = c^2,且a = 3,b = 4,则三角形ABC的面积为:A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√310. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图像开口向上,且f(1) = 0,f(2) = 0,则a + b + c的值为:A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知等比数列{a_n}的首项为2,公比为3,其前n项和为S_n,则S_5 = ________。
高三数学一轮复习练习题全套17—20(含答案)

姓名 作业时间: 2010 年 月 日 星期 作业编号 0171.已知函数()()()56(4)462x a x f x ax x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()+∈=N n n f a n ,且数列{}n a 是单调递增数列,则实数a 的取值范围是 。
2.下列三个命题:①若函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于y 轴对称,则2πϕ=;②若函数2()1ax f x x -=-的图象关于点(1,1)对称,则1=a ; ③函数()|||2|f x x x =+-的图象关于直线1=x 对称。
其中真命题的序号是 。
(把真命题的序号都填上) 3. 已知向量(sin 3)a θ=,(1,cos )b θ=,(,)22ππθ∈-.(1)若a b ⊥,求θ; (2)求||a b +的最大值.4. 已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =; (1)求常数c 的值; (2)解不等式()2f x <.姓名 作业时间: 2010 年 月 日 星期 作业编号 018批阅时间 等级1. 函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =_______ 2. 对正整数n ,设曲线)1(x x y n-=在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和=n S .3. 如图所示,将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ,要求B 在AM 上,D 在AN上,且对角线MN 过C 点,已知AB=3米,AD=2米,(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则AN 的长应在什么范围内? (2)当AN 的长度是多少时,矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积;(3)若AN 的长度不少于6米,则当AN 的长度是多少时,矩形AMPN 的面积最小?并求出最小面积。
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高考第一轮复习文科数学习题集(含答案)目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1.已知A ={1,2},B ={}|x x A Î,则集合A 与B 的关系为________.解析:由集合B ={}|x x A Î知,B ={1,2}.答案:A =B2.若{}2,|a a R x x NÆØ,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意知,2x a £有解,故0a ³.答案:0a ³3.已知集合A ={}2|21,y y x x x R =--?,集合B ={}|28x x-#,则集合A 与B 的关系是________.解析:y =x 2-2x -1=(x -1)2-2≥-2,∴A ={y|y ≥-2},∴B A .答案:B A4.(2009年高考广东卷改编)已知全集U =R ,则正确表示集合M ={-1,0,1}和N ={}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________.解析:由N={}2|0x x x +=,得N ={-1,0},则N M .答案:②5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ={}|5x x >,集合B ={}|x x a >,若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________.解析:命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件,∴A B ,∴a <5.答案:a <56.(原创题)已知m ∈A ,n ∈B ,且集合A ={x |x =2a ,a ∈Z },B ={x |x =2a +1,a ∈Z },又C ={x |x =4a +1,a ∈Z },判断m +n 属于哪一个集合?解:∵m ∈A ,∴设m =2a 1,a 1∈Z ,又∵n ∈B ,∴设n =2a 2+1,a 2∈Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈Z ,∴m +n ∈B .B 组1.设a ,b 都是非零实数,y =a |a |+b |b |+ab |ab |可能取的值组成的集合是________. 解析:分四种情况:(1)a >0且b >0;(2)a >0且b <0;(3)a <0且b >0;(4)a <0且b <0,讨论得y =3或y =-1.答案:{3,-1}2.已知集合A ={-1,3,2m -1},集合B ={3,m 2}.若B ⊆A ,则实数m =________.解析:∵B ⊆A ,显然m 2≠-1且m 2≠3,故m 2=2m -1,即(m -1)2=0,∴m =1. 答案:13.设P ,Q 为两个非空实数集合,定义集合P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q },若P ={0,2,5},Q ={1,2,6},则P +Q 中元素的个数是________个.解析:依次分别取a =0,2,5;b =1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P +Q ={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:84.已知集合M ={x |x 2=1},集合N ={x |ax =1},若N M ,那么a 的值是________.解析:M ={x |x =1或x =-1},N M ,所以N =∅时,a =0;当a ≠0时,x =1a=1或-1,∴a =1或-1.答案:0,1,-15.满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个.解析:A 中一定有元素1,所以A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:36.已知集合A ={x |x =a +16,a ∈Z },B ={x |x =b 2-13,b ∈Z },C ={x |x =c 2+16,c ∈Z },则A 、B 、C 之间的关系是________.解析:用列举法寻找规律.答案:A B =C7.集合A ={x ||x |≤4,x ∈R },B ={x |x <a },则“A ⊆B ”是“a >5”的________.解析:结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4,故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件.答案:必要不充分条件8.(2010年江苏启东模拟)设集合M ={m |m =2n ,n ∈N ,且m <500},则M 中所有元素的和为________.解析:∵2n <500,∴n =0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S =1+2+22+…+28=511.答案:5119.(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集,对于k ∈A ,如果k -1∉A ,且k +1∉A ,那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8},由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.解析:依题可知,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案:610.已知A ={x ,xy ,lg(xy )},B ={0,|x |,y },且A =B ,试求x ,y 的值.解:由lg(xy )知,xy >0,故x ≠0,xy ≠0,于是由A =B 得lg(xy )=0,xy =1.∴A ={x ,1,0},B ={0,|x |,1x}. 于是必有|x |=1,1x=x ≠1,故x =-1,从而y =-1. 11.已知集合A ={x |x 2-3x -10≤0},(1)若B ⊆A ,B ={x |m +1≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围;(2)若A ⊆B ,B ={x |m -6≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围;(3)若A =B ,B ={x |m -6≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围.解:由A ={x |x 2-3x -10≤0},得A ={x |-2≤x ≤5},(1)∵B ⊆A ,∴①若B =∅,则m +1>2m -1,即m <2,此时满足B ⊆A .②若B ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧ m +1≤2m -1,-2≤m +1,2m -1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得,m 的取值范围是(-∞,3].(2)若A ⊆B ,则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m -1>m -6,m -6≤-2,2m -1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >-5,m ≤4,m ≥3.故3≤m ≤4,∴m 的取值范围是[3,4].(3)若A =B ,则必有⎩⎪⎨⎪⎧m -6=-2,2m -1=5,解得m ∈∅.,即不存在m 值使得A =B . 12.已知集合A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1)x +a ≤0}.(1)若A 是B 的真子集,求a 的取值范围;(2)若B 是A 的子集,求a 的取值范围;(3)若A =B ,求a 的取值范围.解:由x 2-3x +2≤0,即(x -1)(x -2)≤0,得1≤x ≤2,故A ={x |1≤x ≤2},而集合B ={x |(x -1)(x -a )≤0},(1)若A 是B 的真子集,即A B ,则此时B ={x |1≤x ≤ a },故a >2.(2)若B 是A 的子集,即B ⊆A ,由数轴可知1≤a ≤2.(3)若A =B ,则必有a =2第二节 集合的基本运算A 组1.(2009年高考浙江卷改编)设U =R ,A ={}|0x x >,B ={}|1x x >,则A ∩∁U B =____.解析:∁U B ={x |x ≤1},∴A ∩∁U B ={x |0<x ≤1}.答案:{x |0<x ≤1}2.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9},全集U =A ∪B ,则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个.解析:A ∩B ={4,7,9},A ∪B ={3,4,5,7,8,9},∁U (A ∩B )={3,5,8}.答案:33.已知集合M ={0,1,2},N ={}|2,x x a a M =?,则集合M ∩N =________.解析:由题意知,N ={0,2,4},故M ∩N ={0,2}.答案:{0,2}4.(原创题)设A ,B 是非空集合,定义A ⓐB ={x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B },已知A ={x |0≤x ≤2},B ={y |y ≥0},则A ⓐB =________.解析:A ∪B =[0,+∞),A ∩B =[0,2],所以A ⓐB =(2,+∞).答案:(2,+∞)5.(2009年高考湖南卷)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.解析:设两项运动都喜欢的人数为x ,画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案:126.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ={x |x >1},集合B ={x |m ≤x ≤m +3}.(1)当m =-1时,求A ∩B ,A ∪B ;(2)若B ⊆A ,求m 的取值范围.解:(1)当1m =-时,B ={x |-1≤x ≤2},∴A ∩B ={x |1<x ≤2},A ∪B ={x |x ≥-1}.(2)若B ⊆A ,则1m >,即m 的取值范围为(1,+∞)B 组1.若集合M ={x ∈R |-3<x <1},N ={x ∈Z |-1≤x ≤2},则M ∩N =________.解析:因为集合N ={-1,0,1,2},所以M ∩N ={-1,0}.答案:{-1,0}2.已知全集U ={-1,0,1,2},集合A ={-1,2},B ={0,2},则(∁U A )∩B =________.解析:∁U A ={0,1},故(∁U A )∩B ={0}.答案:{0}3.(2010年济南市高三模拟)若全集U =R ,集合M ={x |-2≤x ≤2},N ={x |x 2-3x ≤0},则M ∩(∁U N )=________.解析:根据已知得M ∩(∁U N )={x |-2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}={x |-2≤x <0}.答案:{x |-2≤x <0}4.集合A ={3,log 2a },B ={a ,b },若A ∩B ={2},则A ∪B =________.解析:由A ∩B ={2}得log 2a =2,∴a =4,从而b =2,∴A ∪B ={2,3,4}.答案:{2,3,4}5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U =A ∪B 中有m 个元素,(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素.若A ∩B 非空,则A ∩B 的元素个数为________.解析:U =A ∪B 中有m 个元素,∵(∁U A )∪(∁U B )=∁U (A ∩B )中有n 个元素,∴A ∩B 中有m -n 个元素.答案:m -n6.(2009年高考重庆卷)设U ={n |n 是小于9的正整数},A ={n ∈U |n是奇数},B ={n ∈U |n 是3的倍数},则∁U (A ∪B )=________.解析:U ={1,2,3,4,5,6,7,8},A ={1,3,5,7},B ={3,6},∴A ∪B ={1,3,5,6,7},得∁U (A ∪B )={2,4,8}.答案:{2,4,8}7.定义A ⊗B ={z |z =xy +x y,x ∈A ,y ∈B }.设集合A ={0,2},B ={1,2},C ={1},则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________.解析:由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5,则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案:188.若集合{(x ,y )|x +y -2=0且x -2y +4=x ,y )|y =3x +b },则b =________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -2=0,x -2y +4=0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =2.点(0,2)在y =3x +b 上,∴b =2. 9.设全集I ={2,3,a 2+2a -3},A ={2,|a +1|},∁I A ={5},M ={x |x =log 2|a |},则集合M的所有子集是________.解析:∵A ∪(∁I A )=I ,∴{2,3,a 2+2a -3}={2,5,|a +1|},∴|a +1|=3,且a 2+2a -3=5,解得a =-4或a =2,∴M ={log 22,log 2|-4|}={1,2}.答案:∅,{1},{2},{1,2}10.设集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2+2(a +1)x +(a 2-5)=0}.(1)若A ∩B ={2},求实数a 的值;(2)若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围.解:由x 2-3x +2=0得x =1或x =2,故集合A ={1,2}.(1)∵A ∩B ={2},∴2∈B ,代入B 中的方程,得a 2+4a +3=0⇒a =-1或a =-3;当a =-1时,B ={x |x 2-4=0}={-2,2},满足条件;当a =-3时,B ={x |x 2-4x +4=0}={2},满足条件;综上,a 的值为-1或-3.(2)对于集合B ,Δ=4(a +1)2-4(a 2-5)=8(a +3).∵A ∪B =A ,∴B ⊆A ,①当Δ<0,即a <-3时,B =∅满足条件;②当Δ=0,即a =-3时,B ={2}满足条件;③当Δ>0,即a >-3时,B =A ={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1+2=-2(a +1)1×2=a 2-5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =-52,a 2=7,矛盾.综上,a 的取值范围是a ≤-3. 11.已知函数f (x )= 6x +1-1的定义域为集合A ,函数g (x )=lg(-x 2+2x +m )的定义域为集合B .(1)当m =3时,求A ∩(∁R B );(2)若A ∩B ={x |-1<x <4},求实数m 的值.解:A ={x |-1<x ≤5}.(1)当m =3时,B ={x |-1<x <3},则∁R B ={x |x ≤-1或x ≥3},∴A ∩(∁R B )={x |3≤x ≤5}.(2)∵A ={x |-1<x ≤5},A ∩B ={x |-1<x <4},∴有-42+2×4+m =0,解得m =8,此时B ={x |-2<x <4},符合题意.12.已知集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}.(1)若A =∅,求实数a 的取值范围;(2)若A 是单元素集,求a 的值及集合A ;(3)求集合M ={a ∈R |A ≠∅}.解:(1)A 是空集,即方程ax 2-3x +2=0无解.若a =0,方程有一解x =23,不合题意. 若a ≠0,要方程ax 2-3x +2=0无解,则Δ=9-8a <0,则a >98. 综上可知,若A =∅,则a 的取值范围应为a >98. (2)当a =0时,方程ax 2-3x +2=0只有一根x =23,A ={23}符合题意. 当a ≠0时,则Δ=9-8a =0,即a =98时, 方程有两个相等的实数根x =43,则A ={43}. 综上可知,当a =0时,A ={23};当a =98时,A ={43}. (3)当a =0时,A ={23}≠∅.当a ≠0时,要使方程有实数根, 则Δ=9-8a ≥0,即a ≤98. 综上可知,a 的取值范围是a ≤98,即M ={a ∈R |A ≠∅}={a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1.(2009年高考江西卷改编)函数y =-x 2-3x +4x的定义域为________. 解析:⎩⎪⎨⎪⎧ -x 2-3x +4≥0,x ≠0,⇒x ∈[-4,0)∪(0,1] .答案:[-4,0)∪(0,1] 2.(2010年绍兴第一次质检)如图,函数f (x )的图象是曲线段OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f (1f (3))的值等于________.解析:由图象知f (3)=1,f (1f (3))=f (1)=2.答案:2 3.(2009年高考北京卷)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x ,x ≤1,-x ,x >1.若f (x )=2,则x =________.解析:依题意得x ≤1时,3x =2,∴x =log 32;当x >1时,-x =2,x =-2(舍去).故x =log 32.答案:log 324.(2010年黄冈市高三质检)函数f :{1,2}→{1,2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个.解析:如图.答案:15.(原创题)由等式x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=(x +1)3+b 1(x +1)2+b 2(x +1)+b 3定义一个映射f (a 1,a 2,a 3)=(b 1,b 2,b 3),则f (2,1,-1)=________.解析:由题意知x 3+2x 2+x -1=(x +1)3+b 1(x +1)2+b 2(x +1)+b 3,令x =-1得:-1=b 3;再令x =0与x =1得⎩⎪⎨⎪⎧-1=1+b 1+b 2+b 33=8+4b 1+2b 2+b 3, 解得b 1=-1,b 2=0.答案:(-1,0,-1)6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 1+1x(x >1),x 2+1 (-1≤x ≤1),2x +3 (x <-1).(1)求f (1-12-1),f {f [f (-2)]}的值;(2)求f (3x -1);(3)若f (a )=32, 求a . 解:f (x )为分段函数,应分段求解.(1)∵1-12-1=1-(2+1)=-2<-1,∴f (-2)=-22+3, 又∵f (-2)=-1,f [f (-2)]=f (-1)=2,∴f {f [f (-2)]}=1+12=32. (2)若3x -1>1,即x >23,f (3x -1)=1+13x -1=3x 3x -1; 若-1≤3x -1≤1,即0≤x ≤32,f (3x -1)=(3x -1)2+1=9x 2-6x +2; 若3x -1<-1,即x <0,f (3x -1)=2(3x -1)+3=6x +1.∴f (3x -1)=⎩⎨⎧ 3x 3x -1 (x >23),9x 2-6x +2 (0≤x ≤23),6x +1 (x <0).(3)∵f (a )=32,∴a >1或-1≤a ≤1. 当a >1时,有1+1a =32,∴a =2; 当-1≤a ≤1时,a 2+1=32,∴a =±22. ∴a =2或±22.B 组1.(2010年广东江门质检)函数y =13x -2+lg(2x -1)的定义域是________. 解析:由3x -2>0,2x -1>0,得x >23.答案:{x |x >23} 2.(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -2x +1,(x <-1),-3,(-1≤x ≤2),2x -1,(x >2),则f (f (f (32)+5))=_. 解析:∵-1≤32≤2,∴f (32)+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f (2)=-3, ∴f (-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:73.定义在区间(-1,1)上的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),则f (x )的解析式为________.解析:∵对任意的x ∈(-1,1),有-x ∈(-1,1),由2f (x )-f (-x )=lg(x +1),①由2f (-x )-f (x )=lg(-x +1),②①×2+②消去f (-x ),得3f (x )=2lg(x +1)+lg(-x +1),∴f (x )=23lg(x +1)+13lg(1-x ),(-1<x <1). 答案:f (x )=23lg(x +1)+13lg(1-x ),(-1<x <1) 4.设函数y =f (x )满足f (x +1)=f (x )+1,则函数y =f (x )与y =x 图象交点的个数可能是________个.解析:由f (x +1)=f (x )+1可得f (1)=f (0)+1,f (2)=f (0)+2,f (3)=f (0)+3,…本题中如果f (0)=0,那么y =f (x )和y =x 有无数个交点;若f (0)≠0,则y =f (x )和y =x 有零个交点.答案:0或无数5.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2 (x >0)x 2+bx +c (x ≤0),若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则f (x )的解析式为f (x )=________,关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为________个.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16-4b +c =c 4-2b +c =-2 ⎩⎪⎨⎪⎧b =4c =2, ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2 (x >0)x 2+4x +2 (x ≤0). 由数形结合得f (x )=x 的解的个数有3个.答案:⎩⎪⎨⎪⎧2 (x >0)x 2+4x +2 (x ≤0)3 6.设函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),函数g (x )=-x 2+bx +c ,若f (2+2)-f (2+1)=12,g (x )的图象过点A (4,-5)及B (-2,-5),则a =__________,函数f [g (x )]的定义域为__________.答案:2 (-1,3)7.(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-4x +6,x ≥0x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是________.解析:由已知,函数先增后减再增,当x ≥0,f (x )>f (1)=3时,令f (x )=3,解得x =1,x =3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0,x +6=3时,x =-3,故f (x )>f (1)=3,解得-3<x <0或x >3.综上,f (x )>f (1)的解集为{x |-3<x <1或x >3}.答案:{x |-3<x <1或x >3}8.(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4-x ), x ≤0,f (x -1)-f (x -2), x >0, 则f (3)的值为________.解析:∵f (3)=f (2)-f (1),又f (2)=f (1)-f (0),∴f (3)=-f (0),∵f (0)=log 24=2,∴f (3)=-2.答案:-29.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即x ≥20),y 与x 之间函数的函数关系是________.解析:设进水速度为a 1升/分钟,出水速度为a 2升/分钟,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1=205a 1+15(a 1-a 2)=35, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4a 2=3,则y =35-3(x -20),得y =-3x +95, 又因为水放完为止,所以时间为x ≤953,又知x ≥20,故解析式为y =-3x +95(20≤x ≤953).答案:y =-3x +95(20≤x ≤953)10.函数()f x =.(1)若()f x 的定义域为R ,求实数a 的取值范围;(2)若()f x 的定义域为[-2,1],求实数a 的值.解:(1)①若1-a 2=0,即a =±1,(ⅰ)若a =1时,f (x )=6,定义域为R ,符合题意;(ⅱ)当a =-1时,f (x )=6x +6,定义域为[-1,+∞),不合题意.②若1-a 2≠0,则g (x )=(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6为二次函数.由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a 2>0,Δ≤0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ -1<a <1,(a -1)(11a +5)≤0, ∴-511≤a <1.由①②可得-511≤a ≤1. (2)由题意知,不等式(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6≥0的解集为[-2,1],显然1-a 2≠0且-2,1是方程(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6=0的两个根. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a 2<0,-2+1=3(1-a )a 2-1,-2=61-a 2,Δ=[3(1-a )]2-24(1-a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <-1或a >1,a =2,a =±2.a <-511或a >1∴a =2.11.已知()()()2f x f x x R +=?,并且当x ∈[-1,1]时,()21f x x =-+,求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式.解:由f (x +2)=f (x ),可推知f (x )是以2为周期的周期函数.当x ∈[2k -1,2k +1]时,2k -1≤x ≤2k +1,-1≤x -2k ≤1.∴f (x -2k )=-(x -2k )2+1.又f (x )=f (x -2)=f (x -4)=…=f (x -2k ),∴f (x )=-(x -2k )2+1,x ∈[2k -1,2k +1],k ∈Z .12.在2008年11月4日珠海航展上,中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注,接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工C 型装置的工人有x 位,他们加工完C 型装置所需时间为g (x ),其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x ).(单位:h ,时间可不为整数)(1)写出g (x ),h (x )的解析式;(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式;(3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少?解:(1)g (x )=20003x (0<x <216,x ∈N *),h (x )=1000216-x(0<x <216,x ∈N *). (2)f (x )=⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86,x ∈N *).1000216-x (87≤x <216,x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节 函数的单调性A 组1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当12x x <时,都有()()12f x f x >”的是________.①f (x )=1x②f (x )=(x -1)2 ③f (x )=e x ④f (x )=ln(x +1) 解析:∵对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,+∞)上为减函数.答案:①2.函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示,则函数g (x )=f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________.解析:∵0<a <1,y =log a x 为减函数,∴log a x ∈[0,12]时,g (x )为减函数.由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案:[a ,1](或(a ,1))3.函数y =________.解析:令x =4+sin 2α,α∈[0,π2],y =sin α+3cos α=2sin(α+π3),∴1≤y ≤2. 答案:[1,2]4.已知函数f (x )=|e x +a ex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增,则实数a 的取值范围__. 解析:当a <0,且e x +a e x ≥0时,只需满足e 0+a e0≥0即可,则-1≤a <0;当a =0时,f (x )=|e x |=e x 符合题意;当a >0时,f (x )=e x +a e x ,则满足f ′(x )=e x -a ex ≥0在x ∈[0,1]上恒成立.只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可,故a ≤1,综上-1≤a ≤1.答案:-1≤a ≤15.(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ,都有f (x )≥M (M 为常数),称M 为f (x )的下界,下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________.①f (x )=sin x ;②f (x )=lg x ;③f (x )=e x ;④f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x =0)-1 (x <-1)解析:∵sin x ≥-1,∴f (x )=sin x 的下确界为-1,即f (x )=sin x 是有下确界的函数;∵f (x )=lg x 的值域为(-∞,+∞),∴f (x )=lg x 没有下确界;∴f (x )=e x 的值域为(0,+∞),∴f (x )=e x 的下确界为0,即f (x )=e x 是有下确界的函数;∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x =0)-1 (x <-1)的下确界为-1.∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x =0)-1 (x <-1)是有下确界的函数.答案:①③④6.已知函数()2f x x =,()1g x x =-. (1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?,求实数b 的取值范围;(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2,且()F x 在[0,1]上单调递增,求实数m 的取值范围.解:(1)x ∈R ,f (x )<b ·g (x x ∈R ,x 2-bx +b=(-b )2-4b b <0或b >4.(2)F (x )=x 2-mx +1-m 2,Δ=m 2-4(1-m 2)=5m 2-4,①当Δ≤0即-255≤m ≤255时,则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0-255≤m ≤255-255≤m ≤0. ②当Δ>0即m <-255或m >255时,设方程F (x )=0的根为x 1,x 2(x 1<x 2),若m 2≥1,则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)=1-m 2≤0m ≥2. 若m 2≤0,则x 2≤0, ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)=1-m 2≥0-1≤m <-255.综上所述:-1≤m ≤0或m ≥2.B 组1.(2010年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________.①y =-1x②y =-(x -1) ③y =x 2-2 ④y =-|x | 解析:由函数y =-|x |的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④2.若函数f (x )=log 2(x 2-ax +3a )在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.解析:令g (x )=x 2-ax +3a ,由题知g (x )在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2,4-2a +3a >0,∴-4<a ≤4.答案:-4<a ≤4 3.若函数f (x )=x +a x (a >0)在(34,+∞)上是单调增函数,则实数a 的取值范围__. 解析:∵f (x )=x +a x (a >0)在(a ,+∞)上为增函数,∴a ≤34,0<a ≤916. 答案:(0,916] 4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x ),对任意x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<0,则下列结论正确的是________. ①f (3)<f (-2)<f (1) ②f (1)<f (-2)<f (3)③f (-2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (-2)解析:由已知f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<0,得f (x )在x ∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得f (2)=f (-2),即f (3)<f (-2)<f (1).答案:①5.(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0),(a -3)x +4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是________. 解析:由题意知,f (x )为减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1,a -3<0,a 0≥(a -3)×0+4a ,解得0<a ≤14. 6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ,点A 的坐标为(1,2),点B 的坐标为(3,0),定义函数g (x )=f (x )·(x -1),则函数g (x )的最大值为________.解析:g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x (x -1) (0≤x <1),(-x +3)(x -1) (1≤x ≤3), 当0≤x <1时,最大值为0;当1≤x ≤3时,在x =2取得最大值1.答案:17.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数y =f (x )的值域为[-2,0],则函数y =f (cos x )的值域是________.解析:∵cos x ∈[-1,1],函数y =f (x )的值域为[-2,0],∴y =f (cos x )的值域为[-2,0].答案:[-2,0]8.已知f (x )=log 3x +2,x ∈[1,9],则函数y =[f (x )]2+f (x 2)的最大值是________.解析:∵函数y =[f (x )]2+f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9,1≤x 2≤9,∴x ∈[1,3],令log 3x =t ,t ∈[0,1], ∴y =(t +2)2+2t +2=(t +3)2-3,∴当t =1时,y max =13.答案:139.若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间(0,12)内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为__________.解析:令μ=2x 2+x ,当x ∈(0,12)时,μ∈(0,1),而此时f (x )>0恒成立,∴0<a <1. μ=2(x +14)2-18,则减区间为(-∞,-14).而必然有2x 2+x >0,即x >0或x <-12.∴f (x )的单调递增区间为(-∞,-12).答案:(-∞,-12) 10.试讨论函数y =2(log 12x )2-2log 12x +1的单调性. 解:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令u =g (x )=log 12x ,y =f (u )=2u 2-2u +1,那么原函数y =f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数,而u =log 12x 在x ∈(0,+∞)内是减函数,y =2u 2-2u +1=2(u -12)2+12在u ∈(-∞,12)上是减函数,在u ∈(12,+∞)上是增函数.又u ≤12,即log 12x ≤12,得x ≥22;u >12,得0<x <22.由此,从下表讨论复合函数y =f [g (x )]的单调性:故函数y =2(log 12x )2-2log 12x +1在区间(0,22)上单调递减,在区间(22,+∞)上单调递增. 11.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的单调性;(3)若f (3)=-1,解不等式f (|x |)<-2.解:(1)令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0.(2)任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0, 所以f (x 1x 2)<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数.(3)由f (x 1x 2)=f (x 1)-f (x 2)得f (93)=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. 由于函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数,由f (|x |)<f (9),得|x |>9,∴x >9或x <-9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <-9}.12.已知:f (x )=log 3x 2+ax +b x,x ∈(0,+∞),是否存在实数a ,b ,使f (x )同时满足下列三个条件:(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f (x )的最小值是1.若存在,求出a 、b ;若不存在,说明理由.解:∵f (x )在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x =1时,f (x )最小,log 31+a +b 1=1.即a +b =2.设0<x 1<x 2≤1,则f (x 1)>f (x 2).即x 12+ax 1+b x 1>x 22+ax 2+b x 2恒成立. 由此得(x 1-x 2)(x 1x 2-b )x 1x 2>0恒成立. 又∵x 1-x 2<0,x 1x 2>0,∴x 1x 2-b <0恒成立,∴b ≥1.设1≤x 3<x 4,则f (x 3)<f (x 4)恒成立.∴(x 3-x 4)(x 3x 4-b )x 3x 4<0恒成立. ∵x 3-x 4<0,x 3x 4>0,∴x 3x 4>b 恒成立.∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b =1,∴a =1.∴存在a 、b ,使f (x )同时满足三个条件.第三节 函数的性质A 组1.设偶函数f (x )=log a |x -b |在(-∞,0)上单调递增,则f (a +1)与f (b +2)的大小关系为________.解析:由f (x )为偶函数,知b =0,∴f (x )=log a |x |,又f (x )在(-∞,0)上单调递增,所以0<a <1,1<a +1<2,则f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以f (a +1)>f (b +2).答案:f (a +1)>f (b +2)2.(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f (1)+f (4)+f (7)等于________.解析:f (x )为奇函数,且x ∈R ,所以f (0)=0,由周期为2可知,f (4)=0,f (7)=f (1),又由f (x +2)=f (x ),令x =-1得f (1)=f (-1)=-f (1)⇒f (1)=0,所以f (1)+f (4)+f (7)=0.答案:03.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则f (-25)、f (11)、f (80)的大小关系为________.解析:因为f (x )满足f (x -4)=-f (x ),所以f (x -8)=f (x ),所以函数是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3),又因为f (x )在R 上是奇函数,f (0)=0,得f (80)=f (0)=0,f (-25)=f (-1)=-f (1),而由f (x -4)=-f (x )得f (11)=f (3)=-f (-3)=-f (1-4)=f (1),又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以f (1)>f (0)=0,所以-f (1)<0,即f (-25)<f (80)<f (11).答案:f (-25)<f (80)<f (11)4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f (2x -1)<f (13)的x 取值范围是________.解析:由于f (x )是偶函数,故f (x )=f (|x |),由f (|2x -1|)<f (13),再根据f (x )的单调性得|2x -1|<13,解得13<x <23.答案:(13,23) 5.(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数,对x ∈R ,f (2+x )=f (2-x ),当f (-3)=-2时,f (2011)的值为________.解析:因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数,所以f (2+x )=f (2-x )=f (x -2),故函数f (x )是以4为周期的函数,所以f (2011)=f (3+502×4)=f (3)=f (-3)=-2.答案:-26.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数,周期T =5,函数y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x =2时函数取得最小值-5.(1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)求y =f (x ),x ∈[1,4]的解析式;(3)求y =f (x )在[4,9]上的解析式.解:(1)证明:∵f (x )是以5为周期的周期函数,∴f (4)=f (4-5)=f (-1),又∵y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (1)=-f (-1)=-f (4),∴f (1)+f (4)=0.(2)当x ∈[1,4]时,由题意可设f (x )=a (x -2)2-5(a >0),由f (1)+f (4)=0,得a (1-2)2-5+a (4-2)2-5=0,∴a =2,∴f (x )=2(x -2)2-5(1≤x ≤4).(3)∵y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (0)=0,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),而f (1)=2(1-2)2-5=-3,∴k =-3,∴当0≤x ≤1时,f (x )=-3x ,从而当-1≤x <0时,f (x )=-f (-x )=-3x ,故-1≤x ≤1时,f (x )=-3x .∴当4≤x ≤6时,有-1≤x -5≤1,∴f (x )=f (x -5)=-3(x -5)=-3x +15.当6<x ≤9时,1<x -5≤4,∴f (x )=f (x -5)=2[(x -5)-2]2-5=2(x -7)2-5.∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-3x +15, 4≤x ≤62(x -7)2-5, 6<x ≤9.B 组1.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数,则下列结论正确的是________.①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )=f (x +2)④f (x +3)是奇函数解析:∵f (x +1)与f (x -1)都是奇函数,∴f (-x +1)=-f (x +1),f (-x -1)=-f (x -1),∴函数f (x )关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数f (x )是周期T =2[1-(-1)]=4的周期函数.∴f (-x -1+4)=-f (x -1+4),f (-x +3)=-f (x +3),即f (x +3)是奇函数.答案:④2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=-f (x +32),且f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,f (1)+f (2)+…+f (2009)+f (2010)=________.解析:f (x )=-f (x +32)⇒f (x +3)=f (x ),即周期为3,由f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,所以f (1)=-1,f (2)=-1,f (3)=2,所以f (1)+f (2)+…+f (2009)+f (2010)=f (2008)+f (2009)+f (2010)=f (1)+f (2)+f (3)=0.答案:03.(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (1)=1,若将f (x )的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2010)=________.解析:f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-x )=-f (x ),将f (x )的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则满足f (-2+x )=-f (x ),即f (x +2)=-f (x ),所以周期为4,f (1)=1,f (2)=f (0)=0,f (3)=-f (1)=-1,f (4)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2010)=f (4)×502+f (2)=0.答案:04.(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有f ′(x )>0,若f (-1)=0,那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________.解析:在(0,+∞)上有f ′(x )>0,则在(0,+∞)上f (x )是增函数,在(-∞,0)上是减函数,又f (x )在R 上是偶函数,且f (-1)=0,∴f (1)=0.从而可知x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0;x ∈(-1,0)时,f (x )<0;x ∈(0,1)时,f (x )<0;x ∈(1,+∞)时,f (x )>0.∴不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,1)答案:(-∞,-1)∪(0,1).5.(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 2(x +1),则f (-2009)+f (2010)的值为________.解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-2009)=f (2009).∵f (x )在x ≥0时f (x +2)=f (x ),∴f (x )周期为2.∴f (-2009)+f (2010)=f (2009)+f (2010)=f (1)+f (0)=log 22+log 21=0+1=1.答案:16.(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数,并且对于定义域内任意的x ,满足f (x +2)=-1f (x ),若当2<x <3时,f (x )=x ,则f (2009.5)=________. 解析:由f (x +2)=-1f (x ),可得f (x +4)=f (x ),f (2009.5)=f (502×4+1.5)=f (1.5)=f (-2.5)∵f (x )是偶函数,∴f (2009.5)=f (2.5)=52.答案:527.(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(-∞,a ]上是增函数,函数y =f (x +a )是偶函数,当x 1<a ,x 2>a ,且|x 1-a |<|x 2-a |时,则f (2a -x 1)与f (x 2)的大小关系为________.解析:∵y =f (x +a )为偶函数,∴y =f (x +a )的图象关于y 轴对称,∴y =f (x )的图象关于x =a 对称.又∵f (x )在(-∞,a ]上是增函数,∴f (x )在[a ,+∞)上是减函数.当x 1<a ,x 2>a ,且|x 1-a |<|x 2-a |时,有a -x 1<x 2-a ,即a <2a -x 1<x 2,∴f (2a -x 1)>f (x 2).答案:f (2a -x 1)>f (x 2)8.已知函数f (x )为R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (x +1).若f (a )=-2,则实数a =________.解析:当x ≥0时,f (x )=x (x +1)>0,由f (x )为奇函数知x <0时,f (x )<0,∴a <0,f (-a )=2,∴-a (-a +1)=2,∴a =2(舍)或a =-1.答案:-19.(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4=________.解析:因为定义在R 上的奇函数,满足f (x -4)=-f (x ),所以f (4-x )=f (x ),因此,函数图象关于直线x =2对称且f (0)=0.由f (x -4)=-f (x )知f (x -8)=f (x ),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以f (x )在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1+x 2=-12,x 3+x 4=4,所以x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8. 答案:-810.已知f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.解:∵f (x )是奇函数,可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x >0时,-x <0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f (x )=x lg(2+x ),即f (x )=-x lg(2+x ) (x >0).∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x lg(2-x ) (x <0),-x lg(2+x ) (x ≥0).即f (x )=-x lg(2+|x |)(x ∈R ). 11.已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时,恒有f (x +y )=f (x )+f (y ).(1)求证:f (x )是奇函数;(2)如果x ∈R +,f (x )<0,并且f (1)=-12,试求f (x )在区间[-2,6]上的最值. 解:(1)证明:∴函数定义域为R ,其定义域关于原点对称.∵f (x +y )=f (x )+f (y ),令y =-x ,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0,∴f (0)=f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f (x )+f (-x )=0,得f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.(2)法一:设x ,y ∈R +,∵f (x +y )=f (x )+f (y ),∴f (x +y )-f (x )=f (y ).∵x ∈R +,f (x )<0,∴f (x +y )-f (x )<0,∴f (x +y )<f (x ).∵x +y >x ,∴f (x )在(0,+∞)上是减函数.又∵f (x )为奇函数,f (0)=0,∴f (x )在(-∞,+∞)上是减函数.∴f (-2)为最大值,f (6)为最小值.∵f (1)=-12,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2[f (1)+f (2)]=-3.∴所求f (x )在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.法二:设x 1<x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f [x 2+(-x 1)]=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0.∴f (x 2)-f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减.∴f (-2)为最大值,f (6)为最小值.∵f (1)=-12,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2[f (1)+f (2)]=-3.∴所求f (x )在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.12.已知函数f (x )的定义域为R ,且满足f (x +2)=-f (x ).(1)求证:f (x )是周期函数;(2)若f (x )为奇函数,且当0≤x ≤1时,f (x )=12x ,求使f (x )=-12在[0,2010]上的所有x 的个数.解:(1)证明:∵f (x +2)=-f (x ),∴f (x +4)=-f (x +2)=-[-f (x )]=f (x ),∴f (x )是以4为周期的周期函数.(2)当0≤x ≤1时,f (x )=12x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f (-x )=12(-x )=-12x .∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),∴-f (x )=-12x ,即f (x )=12x .故f (x )=12x (-1≤x ≤1) 又设1<x <3,则-1<x -2<1,∴f (x -2)=12(x -2), 又∵f (x -2)=-f (2-x )=-f [(-x )+2]=-[-f (-x )]=-f (x ),∴-f (x )=12(x -2),∴f (x )=-12(x -2)(1<x <3).∴f (x )=⎩⎨⎧12x (-1≤x ≤1)-12(x -2) (1<x <3) 由f (x )=-12,解得x =-1.∵f (x )是以4为周期的周期函数.故f (x )=-12的所有x =4n -1(n ∈Z ).令0≤4n -1≤2010,则14≤n ≤50234,又∵n ∈Z ,∴1≤n ≤502(n ∈Z ),∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )=-12.第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1,b <0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于________.解析:∵a >1,b <0,∴0<a b <1,a -b >1.又∵(a b +a -b )2=a 2b +a-2b +2=8,∴a 2b +a -2b =6,∴(a b -a -b )2=a 2b +a -2b -2=4,∴a b-a -b =-2.答案:-22.已知f (x )=a x +b 的图象如图所示,则f (3)=________.解析:由图象知f (0)=1+b =-2,∴b =-3.又f (2)=a 2-3=0,∴a =3,则f (3)=(3)3-3=33-3.答案:33-33.函数y =(12)2x -x 2的值域是________. 解析:∵2x -x 2=-(x -1)2+1≤1,∴(12)2x -x 2≥12.答案:[12,+∞) 4.(2009年高考山东卷)若函数f (x )=a x -x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是________.解析:函数f (x )的零点的个数就是函数y =a x 与函数y =x +a 交点的个数,由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点,0<a <1时两函数图象有惟一交点,故a >1. 答案:(1,+∞)5.(原创题)若函数f (x )=a x-1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a 等于________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2-1=0a 0-1=2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0-1=0a 2-1=2⇒a =3.答案: 3 6.已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +b 2x +1+a是奇函数.(1)求a ,b 的值; (2)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求k 的取值范围.解:(1)因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0,即-1+b 2+a=0,解得b =1. 从而有f (x )=-2x +12x +1+a .又由f (1)=-f (-1)知-2+14+a =--12+11+a,解得a =2. (2)法一:由(1)知f (x )=-2x +12x +1+2=-12+12x +1, 由上式易知f (x )在R 上为减函数,又因f (x )是奇函数,从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0⇔f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (-2t 2+k ).因f (x )是R 上的减函数,由上式推得t 2-2t >-2t 2+k .即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0,从而Δ=4+12k <0,解得k <-13. 法二:由(1)知f (x )=-2x +12x +1+2,又由题设条件得-2t 2-2t +12t 2-2t +1+2+-22t 2-k +122t 2-k +1+2<0 即(22t 2-k +1+2)(-2t 2-2t +1)+(2t 2-2t +1+2)(-22t 2-k +1)<0整理得23t 2-2t -k >1,因底数2>1,故3t 2-2t -k >0上式对一切t ∈R 均成立,从而判别式Δ=4+12k <0,解得k <-13.B 组1.如果函数f (x )=a x +b -1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有________.①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析:当0<a <1时,把指数函数f (x )=a x 的图象向下平移,观察可知-1<b -1<0,即0<b <1.答案:②2.(2010年保定模拟)若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=(a +1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________.解析:f (x )=-x 2+2ax =-(x -a )2+a 2,所以f (x )在[a ,+∞)上为减函数,又f (x ),g (x )都在[1,2]上为减函数,所以需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1a +1>1⇒0<a ≤1.答案:(0,1] 3.已知f (x ),g (x )都是定义在R 上的函数,且满足以下条件①f (x )=a x ·g (x )(a >0,a ≠1);②g (x )≠0;若f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52,则a 等于________. 解析:由f (x )=a x ·g (x )得f (x )g (x )=a x ,所以f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52⇒a +a -1=52,解得a =2或12.答案:2或124.(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )=a x (a >0且a ≠1),其反函数为f -1(x ).若f (2)=9,则f -1(13)+f (1)的值是________. 解析:因为f (2)=a 2=9,且a >0,∴a =3,则f (x )=3x =13,∴x =-1, 故f -1(13)=-1.又f (1)=3,所以f -1(13)+f (1)=2.答案:2 5.(2010年山东青岛质检)已知f (x )=(13)x ,若f (x )的图象关于直线x =1对称的图象对应的函数为g (x ),则g (x )的表达式为________.解析:设y =g (x )上任意一点P (x ,y ),P (x ,y )关于x =1的对称点P ′(2-x ,y )在f (x )=(13)x 上,∴y =(13)2-x =3x -2.答案:y =3x -2(x ∈R ) 6.(2009年高考山东卷改编)函数y =e x +e -xe x -e-x 的图象大致为________.解析:∵f (-x )=e -x +e x e -x -e x =-e x +e -xe x -e-x =-f (x ),∴f (x )为奇函数,排除④. 又∵y =e x +e -x e x -e -x =e 2x +1e 2x -1=e 2x -1+2e 2x -1=1+2e 2x -1在(-∞,0)、(0,+∞)上都是减函数,排除②、③.答案:①7.(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x ;当x <4时,f (x )=f (x +1),则f (2+log 23)=________.解析:∵2<3<4=22,∴1<log 23<2.∴3<2+log 23<4,∴f (2+log 23)=f (3+log 23)=f (log 224)=(12)log 224=2-log 224=2log 2124=124.答案:1248.(2009年高考湖南卷改编)设函数y =f (x )在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数K ,定义函数f K (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≤K ,K , f (x )>K .取函数f (x )=2-|x |,当K =12时,函数f K (x )的单调递增区间为________.。
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高考数学复习练习题全套(附参考答案)1. 已知:函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数,则a 的取值范围是 .2. 设,x y 为正实数,且33log log 2x y +=,则11x y+的最小值是 . 3. 已知:()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈. (1)若AC BC ⊥,求2sin α.(2)若31OA OC +=OB 与OC 的夹角.4. 已知:数列{}n a 满足()211232222n n na a a a n N -+++++=∈……. (1)求数列{}n a 的通项. (2)若n nnb a =,求数列{}n b 的前n 项的和n S .姓名 作业时间: 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2275157515cos cos cos cos ++的值等于 .2. 如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是 .3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章,每枚进价为5元,同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x 元(x ∈N *).(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域);(2)当每枚纪念销售价格x 为多少元时,该特许专营店一年内利润y (元)最大,并求出这个最大值.4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ,如果同时满足以下三条:①对任意的[]0,1x ∈,总有()0f x ≥;②(1)1f =;③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤,都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立,则称函数()f x 为理想函数.(1) 若函数()f x 为理想函数,求(0)f 的值;(2)判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数,并予以证明;(3)若函数()f x 为理想函数,假定∃[]00,1x ∈,使得[]0()0,1f x ∈,且00(())f f x x =,求证00()f x x =.0.01频率组距姓名 作业时间: 2010 年 月 日 星期 作业编号 003 1. 复数13i z =+,21i z =-,则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限. 2. 一个靶子上有10个同心圆,半径依次为1、2、……、10,击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环,则不考虑技术因素,射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 . 3. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(是不小于40不大于100的整数)分成六段[)50,40,[)60,50…[]100,90后:(1)求第四小组的频率,并补全这个画出如下部分频率分布直方图.(2) 观察频率分布直方图图形的信息,估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.4. 在ABC ∆中,c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边,,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos ,且→→n //m . (1)求角A 的大小;(2)求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域.姓名 作业时间: 2010 年 月 日 星期 作业编号 0041. 如果执行下面的程序框图,那么输出的S =2.△ABC 中,︒=∠==30,1,3B AC AB ,则△ABC 的面积等于 __. 3. 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 为棱AD 、AB 的中点. (1)求证:EF ∥平面CB 1D 1; (2)求证:平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.4. 已知数列{}n a 的首项1213a a ==,,前n 项和为n S ,且1n S +、n S 、1n S -(n ≥2)分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标,21n na AB BC a +=,设11b =,12log (1)n n n b a b +=++. ⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列,并证明你的结论;⑵ 设11114n b n n n n c a a +-++=,证明:11<∑=nk k C .批阅时间 等级ADA B 1C 1D 1E课堂作业参考答案(1)1. 32a ≤;2. 23; 3. 解:(1)()()cos 5,sin ,cos ,sin 5AC BC αααα=-=-…………………………1分AC BC ⊥,∴()()cos cos 5sin sin 50AC BC αααα⋅=-+-=,即1sin cos 5αα+=………………………………………………………………4分 ∴()21sin cos 25αα+=, ∴24sin 225α=-………………………………………7分(2)()5cos ,sin OA OC αα+=+,∴(5OA OC +==……9分∴1cos 2α= 又()0,απ∈,∴sin α=, 1,22C ⎛ ⎝⎭,∴53OB OC ⋅=11分设OB 与OC 夹角为θ,则52cos 512OB OC OB OCθ⋅===⋅⋅,∴30θ︒= , OB 与OC 夹角为30︒……14分。
4. 解(1)n=1时, 112a =………………………………………………………………1分 2n ≥时,211232222n n na a a a -++++= (1)22123112222n n n a a a a ---++++=…… (2)………………3分 (1)-(2)得 1122n n a -=, 12n n a =……………………………………5分又112a =适合上式 ∴12n n a =…………………………………………7分(2)2nn b n =⋅………………………………………………………………………8分231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅……()23121222122n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅………………………………10分∴()21122222n n n S n +-=+++-⋅……()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-……………13分∴()1122n n S n +=-+………………………………………………………15分课堂作业参考答案(2)1.54;2.5; 3. 解:(I )依题意[2000400(20)](7),[2000100(20)](7),x x y x x +--⎧=⎨---⎩**720,2040,x x Nx x N <≤∈<<∈…………………3分 ∴ 400(25)(7),100(40)(7),x x y x x --⎧=⎨--⎩**720,2040,x x Nx x N <≤∈<<∈ ………………………5分 此函数的定义域为*{|740,}x x x N <<∈ ………………………7分(Ⅱ)22400[(16)81],271089100[(),24x y x ⎧--+⎪=⎨--+⎪⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈ …………………………9分 当720x <≤,则当16x =时,max 32400y =(元);…………………………11分 当2040x <<,因为x ∈N *,所以当x =23或24时,max 27200y =(元);……13分 综合上可得当16x =时,该特许专营店获得的利润最大为32400元.……………15分 4. 解:(1)取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f .……………………1分又由条件①0)0(≥f ,故0)0(=f .………………………3分(2)显然12)(-=xx g 在[0,1]满足条件①0)(≥x g ;………………………4分 也满足条件②1)1(=g .………………………-5分 若01≥x ,02≥x ,121≤+x x ,则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ,即满足条件③,………………8分故)(x g 理想函数. (9)(3)由条件③知,任给m 、∈n [0,1],当n m <时,由n m <知∈-m n [0,1],)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴.………………………11分若)(00x f x <,则000)]([)(x x f f x f =≤,前后矛盾;………………………13分 若)(00x f x >,则000)]([)(x x f f x f =≥,前后矛盾.………………………15分 故)(00x f x = . ………………………16分课堂作业参考答案(3)1. 第一象限;2. 0.01;3. (1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=……3′直方图如右所示………………………………………… 6′ (2)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯= 所以,抽样学生成绩的合格率是75%.…………………… 9 ′利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ =450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=71,估计这次考试的平均分是71分……………………………………………………… 12′4. (1)由→→n //m 得0cos cos )2(=-⋅-C a A c b ………………………………………………………4′ 由正弦定理得cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B ,∴0)sin(cos sin 2=+-C A A B , ∴0sin cos sin 2=-B A B ………………………… 6′()3,21cos ,0sin ,0,ππ=∴=≠∴∈A A B B A ………………………………………… 8′ (2)B B B y 2sin 3sin2cos 3cossin 2ππ++=,=B B 2sin 232cos 211+-………………… 10′ =1)62sin(+-πB ………………………………………………………12′由(1)得67626320ππππ<-<-∴<<B B , ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-∴1,21)62sin(πB ⎥⎦⎤⎝⎛∈∴2,21y ………………………………………………………15′课堂作业参考答案(4)1. 2550;2.4323或; 3. (1)证明:连结BD .在长方体1AC 中,对角线11//BD B D .又E 、F 为棱AD 、AB 的中点,//EF BD ∴. 11//EF B D ∴. 又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ,EF ⊄平面11CB D ,∴ EF ∥平面CB 1D 1. ………………………………………………… 6′(2) 在长方体1AC 中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1,∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中,A 1C 1⊥B 1D 1,∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1,∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.………………………………………………… 13′4. ⑴由题意得1112121n n n n n n n nS S a a a S S a ++--+=⇒=+-…………………………………………………4′∴112(1)n n aa ++=+(n ≥2),又∵11a =,23a =∴数列{1}na+是以112a +=为首项,以2为公比的等比数列。