工程数学(2006-01

试卷代号：1008 土木工程专业 工程数学(本) 200601
一、单项选择题(每小题3分，共21分)
1. 设B A ,均为3阶可逆矩阵，且k>0，则下式（ B ）成立．
A. B
A B A +=+ B.
AB A B '
=
C.
1
AB
A B
-= D.
kA k A =
2. 下列命题正确的是（ C ）．
A ．n 个n 维向量组成的向量组一定线性相关；
B ．向量组s ααα,,,21 是线性相关的充分必要条件是以
s
ααα,,,21 为系数的齐次线性方程组
02211=+++s s k k k ααα 有解
C ．向量组 ,,21αα,s α,0的秩至多是s
D ．设
A 是n m ⨯矩阵，且n m <，则A 的行向量线性相关
3．设1551A ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，则A 的特征值为（ D ）。

A ．1，1 B ．5，5 C ．1，5 D ．-4，6
4．掷两颗均匀的股子，事件“点数之和为3”的概率是（ B ）。

A ．
136
B ．
118
C ．
112
D ．
111
5．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ A
）。

A ． P A
B P A P B ()()()+=+
B ． ()1()P B P A =-
C ． ()(|)P A P A B =
D ．
P AB P A P B ()()()=
6．设1234,,,x x x x 是来自正态总体
2
(,)N μσ的样本，
其中μ已知，2
σ未知，则下列（ C ）不是统计量．
A
．
4
1
14i i x =∑ B ．
142x x μ+-
C ．
4
2
2
1
1
()
i
i x x σ
=-∑；
D ．421
1()4i i x x =-∑
7. 对正态总体),(2
σμN 的假设检验问题中，τ
检验解决
的问题是（ D ）．
A. 已知方差，检验均值
B. 未知方差，检验均值
C. 已知均值，检验方差
D. 未知均值，检验方差
土木工程专业 工程数学(本) 试题2006年7月
一、单项选择题(每小题3分，共21分)
1．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( A ) A ．11()AB BA
-=
B ．1
11()
A B A B ---+=+ C ．111
()AB A B ---=
D ．1111
A B A B ----+=+
2．方程组121
23213
3x x a x x a x x a
-=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩相容的充分必要条件是（ B ），
其中0,(1,2,3)i
a i ≠=
A ．1230a a a ++=
B ．
1230a a a +-=
C ．1230a a a -+=
D ．1230a a a -++=
3．设矩阵1111A -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
的特征值为0，2，则3A 的特征
值为（ B ）
A ．0，2
B ．0，6
C ．0，0
D ．2，6 4. 设A B ,是两个事件，则下列等式中（ C ）是不正确的．
A . ()()()P A
B P A P B =，其中A ，B 相互独立
B . ()()()P AB P B P A B =，其中()0P B ≠
C . )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容
D .
()()()P AB P A P B A =，其中()0P A ≠
5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=
（ D ）．
A ．
)
(3)(2Y D X D - B ．
)(3)(2Y D X D +
C ．)(9)(4Y
D X D - D ．)(9)(4Y D X D +
6. 设
123,,x x x 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未
知），那么下列（ D ）不是统计量．
A ．3
1
13i i x =∑；
B ．
3
1
i i x =∑；
C ．12
323x x x +-；
D ．3
1
1()3i i x μ=-∑
7．对正态总体方差的检验用( C ) A ．U 检验法 B ．t 检验法
C ．2
x 检验法 D ．F 检验法
土木工程专业 工程数学(本) 试题2007年1月 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.
B A ,都是n 阶矩阵（)
1>n ，则下列命题正确的是
( A ) ．
A ．
B A AB =
B ．222
2)(B AB A B A +-=-
C ．
BA AB = D ．若0=AB ，则0=A 或0=B
2．已知2维向量1234,,,αααα，则1234(,,,)r αααα至
多是（ B ）。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.设AX =0是n 元线性方程组，其中A 是n 阶矩阵，若条件（ D ）成立，则该方程组没有非0解．
A. 秩n A <)(
B. A 的行向量线性相关
C.
0=A
D.
A 是行满秩矩阵
4.袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ B ）．
A.
256 B. 103 C. 203 D. 25
9
5.设123,,x x x 是来自正态总体2
~(,)X N μσ的样本，则（ C ）是μ无偏估计．
A . 32151
5151x x x ++ B . 321x x x ++ C . 321535151x x x ++ D . 3215
25252x x x ++ 土木工程专业 工程数学(本) 试题2007年7月 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.
B A ,都是n 阶矩阵（)
1>n ，则下列命题正确的是 ( D ) ．
A ．
BA AB =
B ．
()AB A B '''= C ．()AB AB '=
D ．()A B A B '''+=
+
2. 向量组10001200123012341111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥
⎥⎥⎥,,,,的秩是（
B ）．
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5 3. 线性方程组⎩⎨
⎧=+=+01
32
21x x x x 解的情况是（
D ）．
A . 只有零解
B . 有唯一非零解
C . 无解
D . 有无穷多解 4. 下列事件运算关系正确的是（ A ）． A . BA A B B += B . A B BA B +=
C .
BA A B A += D . B B -=1
5. 设123,,x x x 是来自正态总体
2
2,)(,(σ
μσμN 均未知
参数）的样本，则（ B ）是统计量．
A .
2x σμ+ B .
123
3
x x x ++
C .
1x μ
σ
- D .
1x μ
试题2008年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.
B A ,都是n 阶矩阵（)
1>n ，则下列命题正确的是
( C ) ．
A ．2
22()2A B A AB B +=++
B ．若0=AB ，且0A ≠，则或0=B
C ．()A B A B '''-=-
D ．若AB AC =，且0A ≠，则B C =
2. 向量组11020,1,2,30037⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
的秩是（ B ）．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
3. 若线性方程组
AX =0只有零解，则线性方程组
AX b =（ D
）．
A. 有唯一解
B. 无解
C. 有无穷多解
D. 接的情况不能断定
4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第
二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ D ）．
A .
25
6
B .
103 C . 20
3 D .
25
9
5．设f(x)和F(x)分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意a<b ，有()P a X b <
≤=（ B ）。

A . ()()F a F b -
B .
()b
a
f x dx ⎰
C .
()b
a
F x dx ⎰
D .
()()f b f a -
(半开卷)工程数学(本) 试题2008年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1． 设
B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是
（ D ）．
A ． 111
)(---+=+B A B A
B ． B A B A +=+
C ． B A AB n 22=-
D ． 111
)
(---=A B AB
2． 下列命题正确的是（ C ）．
A ．n 个n 维向量组成的向量组一定线性相关；
B ．向量组s ααα,,,21 是线性相关的充分必要条件是以
s
ααα,,,21 为系数的齐次线性方程组
02211=+++s s k k k ααα 有解
C ．向量组 ,,21αα,s α,0的秩至多是s
D ．设A 是n m ⨯矩阵，且n m <，则A 的行向量线性相
关
3． 设线性方程组AX=B 的两个解为X 1，X 2，(12X X ≠)，
则下列向量中( D )一定是AX=B 的解。

A ． X 1+X 2
B ． X 1-X 2
C ． X 1-2X 2
D ． 2X 2-X 1
4． 设X ～N(50,102
)，则随机变量( B )～N(0，1)．
A ．
50100X - B ． 50
10X -
C ． 10050X -
D ． 1050
X -
5． 对正态总体2
(,)N μσ的假设检验问题中，U 检验解决
的问题是( A )．
A ． 已知方差，检验均值
B ． 未知方差，检验均值
C ． 已知均值，检验方差
D ． 未知均值，检验方差
2010年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设
A 为对称矩阵，则条件（
B ）成立． A ． 1
AA I -= B ． A A '=
C ． 1A A -'=
D ． 1
A A -=
2． 1
3547-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（ D ）
． A ．7453-⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦ B ．7453-⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
C ． 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
D ．7543-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
3． 若 ( A )成立，则n 元方程组0AX =有唯一解。

A ．
()A n =秩 B ．
0A ≠
C ． ()A n <秩
D ．A 的行向量组线性无关
4． 若条件 ( C )成立，则随机事件,A B 互为对立事
件．
A ．AB
A B U =∅+=或
B ．
()0()P AB P A B I =+=或
C ．AB A B U =∅+=且
D ． ()0()P AB P A B I =+=且
5． 对来自正态总体2(,)X
N μσμ （未知）
的一组样本123,,X X X ，记3
1
1
3i i X X ==
∑，则下列各式中 ( C )不是统计量．
A ．
X
B ．
3
1
i
i X
=∑
C ．
3
21
1
()3i i X μ=-∑ D ．
3
21
1
()3i i X X =-∑
2010年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1． 设
A ，
B 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（
A ）．
A ． A
B A B =
B ． 2
22()
2A B A AB B -=-+ C ． AB BA =
D ． , AB O A O B O ===若则或
2． 向量组110201230037⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，，，的秩是（ B ）． A ．1 B ．3 C ． 2 D ．4 3． n 元线性方程组，
AX b =有解的充分必要条件是
（ A ）。

A ． ()()r A r A b =
B ．A
不是行满秩矩阵
C ．
()r A n < D ．()r A n =
4． 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是 ( D )．
A ．625
B ． 310
C ．320
D ． 9
25
5． 设12,,,n x x x 是来自正态总体2
(,)N μσ的样本，则 ( C )是μ无偏估计．
A ．123111
555x x x ++ B ．123x x x ++
C ．123113555x x x ++
D ．123222555
x x x ++
2011年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1． 设
A ，
B 都是n 阶方阵，则下列等式成立的是（
A ）．
A ．
AB A B = B ．
A B A B
+=+ C ． 111()
A B A B ---+=+
D 1
11()
AB A B ---=
2． 方程组1212321
33 x x a x x a x x a
-=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩相容的充分必要条件是
（ B ），其中0,(1,2,3)i
a i ≠=．
3．下列命题中不正确的是（ D ）。

A ．
A A '与有相同的特征多项式
B ．若λ是 A 的特征值，则
-0I A X λ=（）的非零解向量必是 A 对应于λ的特征向量
C ．若0λ=是A 的一个特征值，则AX=O 必有非零解
D ．A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量
4．若事件 A 与 B 互斥，则下列等式中正确的是( A )．
5． 设12,,,n x x x 是来自正态总体(51)N ，的样本，则检验假设0=5H μ：采用统计量=U ( C )．
二、填空题(每小题3分，共15分) 1. 设
B
A ,是3阶矩阵，其中
2,3==B A ，则
='-12B A
12 。

2．设A 为n 阶方阵，若存放在数λ和非零n 维向量x ，使得
Ax x λ=，则称x 为A 相应于特征值λ的特征向量。

3．若()0.9,()0.8,()0.4
P A B P A P B +===，则=)(AB P 0.3 。

4．设随机变量
X
，
若
2(),()5
E X E X =
=，则()D X =
2 。

5. 设
12,,,n x x x 是来自正态总体2(,)N μσ的一个样
本，则1
1~n
i i x n =∑ 2(,)N n σμ 。

二、填空题(每小题3分，共15分)
1． 设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为
A B C ---111,,，则()CA B '=--11 11()B A C --'
．
2．线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是
()([])r A r A b =
．
3．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P
0.3 ．
4．设随机变量X
的概率密度函数为
⎩⎨
⎧≤≤=其它
103)(2
x x
x f ，则=<)21(X P 1
8
．
5．设n x x x ,,,21
是来自正态总体N (,)μσ2
的一个
样本，则~11
∑=n
i i x n 2()N n σμ，__．
二、填空题(每小题3分，共15分) 1. 设A 是2阶矩阵，其中
9A =，1
3()A -'=
1 。

2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得
A x x λ= ，则称x 为A 相应于特征值λ的特征向量。

3．若P （A ）=0.8，()P AB =0.5，则()P AB ＝ 0.3 。

4. 设随机变量
X ，若()3D X =，则(3)D X -+= 3 ．
5. 若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2
ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1
ˆθ更 有效 ． 二、填空题(每小题3分，共15分)
1．已知矩阵A ，B ，C=()ij m n c ⨯满足AC = CB ，则A 与B 分别是___,s s n n ⨯⨯____矩阵。

2．线性方程组12341234134
3
324623x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+++=⎨⎪+-=⎩一般解的自由未
知量的个数为__2_____。

3．设A ，B 为两个事件，若P (AB)=P(A)P(B)，.则称A 与B____相互独立__。

4. 设随机变量
12~0.40.30.3
X ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦，则E(X)=
___0.9___。

5．矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为
12345,,,,x x x x x (百分数)，设铜含量服从22(,),N μσσ未知，
检验0μμ=，则区统计量
x 。

二、填空题(每小题31．设
22112()11
221
4
f x x x =-+，则f(x)=0的根是
_____1，-1，2，-2_____。

2．若向量β可由向量组12,,,n ααα 线性表示，则表示方法惟一的充分必要条件是12,,,n ααα ____线性无关______。

3．若事件A,B 满足A
⊃
B ，则P(A-B)=
___()()P A P B -_____。

4．设随机变量的概率密度函数为
2
,01()10,k
x f x x
⎧≤≤⎪=+⎨⎪⎩
其它，则常数k= ____4π___。

5．设
10
21,,,x x x 是来自总体
~(0,1)X N ，
且1
1n
i
i x x n ==∑，则~x
_1
(0,)N n
_
．
二、填空题(每小题3分，共15分)
1
．
设
B
A ,是
3
阶矩阵，其中
136,3,()_________A B A B -'=-=-=． 8
2．设A 为n 阶方阵，若存放在数λ和非零n 维向量x ，使得
Ax x λ=，则称λ为A 的 特征值 。

3．若()0.8,()0P A P
B A ==，则=-)(B A P
0.6 ．
4．设离散随机变量012~0.20.5X
a ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦，则a = 0.3 ． 5. 若参数θ的估计量ˆθ
满足ˆ()E θθ=，则称ˆθ为θ的
无偏估计 ．
二、填空题(每小题3分，共15分)
6
． 设
,A B
均为3阶方阵，且
136,3,()A B A B -'=-=-=
8 ．
7．设
A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使
得
Ax x λ=_，则称x 为A 相应于特征值λ的特征向
量．
8．若5.0)(,
8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P
0.3 ．
9．如果随机变量X 的期望()2E X =且2
()9E X =，那
么(2)D X = 20 ．
10．不含未知参数的样本函数称为 __统计量__．
二、填空题(每小题3分，共15分) 1
． 设
,A B
均为3阶方阵，且
12,3,3A B A B -'==-=
-18 ．
2．设
A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 Ax x λ=___，则称λ为A 的特征值λ．
3．设随机变量0
120.20.5X a ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
，则a = 0.3 ． 4．设X 为随机变量，已知()3D X =，此时(32)D X -=
27 ．
5．设θ
是未知参数θ的一个无偏估计量，则有
__()E θθ=
__ ．
二、填空题(每小题3分，共15分)
6． 设
2
21
1
2
=112
214
A x x -+，则
0A =的根是
1,-1,2.,-2 ．
7．设 4 元钱性方程提 AX=B 有解且
()1r A =，那么
AX B =的相应齐次方程程的基础解系含有
____3____个解向量。

8． 设 A ， B 互不相容，旦 P(A)>O ，则 (|)P B A =
9．设随机变量(,)X B n p ，则()E X = np ．
10．若样本
12,,n x x x 来自总体(0,1)
X N ，且1
1n
i
i x x n ==∑，则x
____1
(0,)N n
__ ．
三、计算题(每小题10分，共60分)
1．设矩阵120111211421,020*********A B ⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥---⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣
⎦
，求（1）
A ；（2）()I A
B -
解：（1）13
017102041121
0211341102041121021----=
----=A
=2513
171200
011317120
121
-=--=-- （2）因为 )(A I -=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-------03411120412
21020 所
以
B A I )(-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------⋅0341112041221020=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21101211⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----09355245． 三、计算题(每小题10分，共60分)
1．设矩阵231011001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123112012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求：⑴AB ；⑵1
A -
1．解：
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=031052,843722310B A ，I
是
3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．
解：
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=031052,843722310B A ，I
是
3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．
解：
1．已知AX B =，其中12323357,58581001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求X ．
解：
1．设矩阵A =110121223-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B =200050005⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求1A B -。

解：
1
．
已
知
B AX X +=，
其
中
01011
11,201
035
3A B -⎡⎤
⎡
⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣
⎦，求X ． 解：
1()X I A B -=-
021121011-⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
-1且(I-A)
由矩阵乘法得
2111131
2120240115333B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦-1X=(I-A)
11． 设矩阵1001111
01A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，求1
()AA -'．
2．k 为何值时，线性方程组有解，并求出一般解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
当k=5时，方程组有解，且方程组的一般解为
2．求线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+---=+-+-=---=---2
6212420483123432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
13
21138410
2142112
61213211012230580305803-----------⎡⎣⎢⎢
⎢⎢
⎤⎦⎥⎥⎥⎥→--------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥
⎥⎥
→-----⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥→---⎡⎣⎢⎢⎢⎢
⎤⎦
⎥⎥
⎥
⎥
13211012230021012000001
015160
1089001560
000
此时齐次方程组化为
x x x x x x
14
243
41585===-⎧⎨⎪
⎩⎪ 令x 4
1=，得齐次方程组的一个基础解系
[]
X 115851=-'
令x 4
0=，得非齐次方程组的一个特解
[]
X 016960=-'
由此得原方程组的全部解为
X X kX =+01
（其中k 为任意常数）
2．当λ取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧+=++-=++-=+-2
5323
4224321
432142
1λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的一般解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
110121214323152110120113101132---+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥λλ
→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥1101
20113100003101210113100003λλ
由此可知当λ≠3时，方程组无解。

当λ=3时，方程组有
解。

此方程组的一般解为：
1342
3421
31x x x x x x =++⎧⎨
=+-⎩ 2．求解线性方程组
1234234
123412343234329523810
x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--=-⎪⎨
-+--=-⎪⎪-++=⎩
的全部解。

解：
此时其次线性方程组化为：
2．求解线性方程组
1234234
123412343
234329523810
x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--=-⎪⎨
-+--=-⎪⎪-++=⎩ 的全部解。

解：
此时其次线性方程组化为：
三、计算题(每小题16分，共32分)
11． 设矩阵110200121,050223005A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求
1A B -．
解：利用初等行变换得
12．当
λ取何值时，线性方程组
123412341
234222736
9741
x x x x x x x x x x x x λ+--=-⎧⎪
+++=⎨⎪+++=+⎩有解，在有解的情况下求出此方程组的一般解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
三、计算题(每小题16分，共64分)
1． 设矩阵112215235,011324A B -⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
，且有AX B '=，求X ．
解：利用初等行变换得
2．求线性方程组12341234
1234123431
2722432124822
x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-+=-⎪⎨
-++=⎪⎪-++=⎩的全部解。

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
2．求齐次线性方一程组
12345123451
23533202695303320
x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪
++++=⎨⎪--++=⎩的通解。

解：
2. 设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经过初等行变
换，得
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-→→000023200102 A
求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．
解： 因为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000012/31002/101000023200102 得一般解：
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=4
3231
23
21x x x x x （其中43,x x 是自由元）
令0,243==x x ，得[]'
-=02311X ； 令1,043
==x x ，得[]'
-=10102X ．
所以，
{
}2
1,X X 是方程组的一个基础解系．
方程组的通解为：=X 2211X k X k +，其中21,k k 是任
意常数．
12．求下列线性方程组的通解。

123412341
23424535
3652548151115
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-++=⎨⎪-++=⎩
3
．
用
配
方
法
将
二
次
型
22
12313121323(,,)3226f x x x x x x x x x x x =----化为标准
型，并求出所作的满秩变换。

解：
3
．
用
配
方
法将二次型
2221231
2
3
1223
(,,)2424f x x x x x x x x x x =++++化为标准
型，并求出所作的满秩变换。

解：
4．假设
B
A ,为两个随机事件，已知
()0.5,()0.6,()0.2P A P B P AB ===，求：⑴P(AB)；⑵)(B A P +．
解： ⑴因为,AB B AB B AB =-⊃
所以，
()()()()
0.60.20.4
P AB P B AB P A P AB =-=-=-=
⑵()()()()P A B P A P B P AB +=+-
=0.5+0.6-0.4=0.7
4．假设
B
A ,是两个随机事件，已知
()0.4,()0.5,()0.45P A P B P B A ===，求⑴()P AB ；
⑵()P A B +
解：（1）)(AB P =)()(A P A B P =4.045.0⨯=18.0
（2） )(1)
(B A P B A P +-=+
)]()()([1AB P B P A P -+-=
28.0]18.05.04.0[1=-+-=
3．已知
2
1
)(,31)(,41)(===
B A P A B P A P ，求
)(B A P +．
解：
12
1
)()()(=
=A B P A P AB P
6
1
)()()(==
B A P AB P B P
于
是
)()()()(AB P B P A P B A P -+=+
3
11216141=-+=
3. 设
)
4,3(~N X ，试求⑴
)
95(<<X P ；⑵
)7(>X P ．（已知,
8413.0)1(=Φ
9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ） 解： ⑴
)32
3
1()23923235(
)95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P
1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=
⑵ )2
3
723(
)7(->-=>X P X
P 33
(
2)1(2)
22
1(2)10.97720.0228X X P P --=>=-≤=-Φ=-= 3. 设~(2,9)X
N ，试求⑴(11)P X <；
⑵(58)P X <<．（已知
,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）
解：⑴
2112
(11)(
)332(3)(3)0.9987
3
X P X P X P --<=<-=<=Φ= ⑵
522822
(58)(
)(2)3333
(2)(1)0.97720.84130.1359
X X P X P P ----<<=<<=<=Φ-Φ=-= 5. 设随
机
变
量
X
的密度函数为
2
12()0
kx x f x ⎧-≤≤=⎨
⎩其它
，求⑴k ；⑵E X D X (),()。

5．解：（1）因为 1=
⎰
∞
+∞
-x x f d )(=⎰-2
12d x kx =2
1
3
3
-x k
= 3
k
所以 k =
3
1
(2) E (X ) =⎰-⋅2
12
d 3
1x x x =2
1
4121-x =
4
5
E (
2X ) =⎰-⋅2122d 31x x x =5
11
D (X ) =
E (2X ) - )(2
X E =80
51
6. 某一批零件重量2~(,0.2)X N μ，随机抽取4个测得
长度（单位：cm ）为
14.7, 15.1, 14.8, 15.2
可否认为这批零件的平均长度为15cm (.)α
=005(已知
96.1975.0=u )？
解：零假设H 015:μ
=．由于已知σ2，故选取样本函数
U x n
N =-μ
σ~(,)01
0.1=
经计算得14.9x =
14.915
10.1-==
已知u 0975
196..=
0.9751 1.96u =≤=
故接受零假设，即可以认为这批零件的平均长度为15cm ．
5．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）
若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．
解：（1）)24(>-X
P ＝1－)24(≤-X P
= 1－)
242(≤-≤-X P ＝1－
（)2()2(-Φ-Φ）
= 2（1－)2(Φ）＝0.045．
（2）)44()(->-=>k X P k X
P
＝1－)44(-≤-k X P
＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk
)5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk
即 k －4 = -1.5， k ＝2.5． 13. 设随机变量
(3,4)X N ,试求(1)(17)P X <<；
（2）使()0.9P X a <=成立的常数a 。

(已知
(1)
0.Φ=，(2)0.9772
Φ=，
(3)0.9987Φ=)
14. 从正态总体(,4)N μ中抽取容量为625的样本，计算样
本均值得 2.5x =，求μ
的置信区间度为，99%的置信
区间。

（已知0.995
2.576u =）
四、证明题（本题6分）
15. 设n 阶矩阵A 满足()()A I A I O -+=,则A 为可逆矩
阵
6．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分
布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。

从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）
10.4 10.6 10.1 10.4
问该机工作是否正常（α=0.05，u 975.0 =1.96）？ 解：令假设0
:10.5H μ=，由于已知0.15σ=，故选取
样本函数
(0,1)x U
N =
经计算得x
==
10.37510.5
1.670.075-==
由
已
知
条
件
112
2
1.96, 1.67 1.96σ
σμ
μ-
-==<=
故接受令假设，即该机工作正常。

4．某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm ，今对这批管材
进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm ，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平α
=005.，t 00582306.().=）？
解：零假设H 0100:μ
=．由于未知σ2，故选取样本函数
T x s n
t n =
--μ
~()1
已知x =999.，经计算得
s 9
047
3016==..
，
x s n
-=-=μ999100
0160625...
由已知条件t 00582306.()
.=，
x s n
t -=<=μ
062523068005..().
故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的． 4．某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm ，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平α
=005.，t 00582306.().=）？
解：零假设H 0100:μ
=．由于未知σ2，故选取样本函数
T x s n
t n =
--μ
~()1
已知x =999.，经计算得
s 9
047
3016==..
，
x s n
-=-=μ999100
0160625...
由已知条件t 00582306.()
.=，
x s n
t -=<=μ
062523068005..().
故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的． 3. 设随机变量
X 具有概率密度
f x x x (),,
=≤≤⎧⎨⎪⎩⎪30102其它
求E X D X (),()．
解：由期望的定义得
E X xf x x x x x ()()====
-∞+∞
⎰⎰d d 33
4
3
4
3
01
4
1
E X x f x x x x x ()()2
2
4
1
501
3353
5
====-∞+∞
⎰⎰d d 由方差的计算公式有
D X
E X E X ()()()=-=
-=22359163
80
4．已知某种零件重量(15,0.09)X N ，采用新技术后，
取了9个样品，测得重量（单位：kg ）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（0.9750.05, 1.96u α==）？
解：零假设0:15H μ=，由于已知20.09σ=，故选取样本
函数
(0,1)x U N =
已知14.9x =，经计算得
0.314.915
130.1-=
=== 由已知条件0.975
1.96μ=，
0.9751 1.96μ=<=
故接受零假设，即零件平均重量仍为15
4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度
)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得
抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（α
==0051960975.,..u ）．
解： 零假设H 0325:.μ=．由于已知σ2121
=.，故选取样本函数
U x n
N =
-μ
σ~(,)01
已知x =3112.，经计算得
σ
9
113
037=
=.
.，
x n
-=-=μσ3112325
037373....
由已知条件u 0975
196..=，
x n
u -=>=μ
σ3731960975...
故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。

4．随机抽取某班28名学生的数学考试成绩，得平均分数为
x =82分，样本标准差s = 8分，已知全年级的数学成绩服从正态分布，且平均分数为85分，试问在显著性水平α=005.下，能否认为该班的数学成绩为85分？（0.05(27) 2.052t =）
解： 假设0
:85H μ=，1:85H μ≠
选取统计量
0x T s
n
-=
四、计算分析题（每小题16分，共32分） 13. 设
(3,4)
X N ,试求（1）
(1)P X <；（2）
(57)
P X <<。

(已知
(1)
0.8Φ=，
(2)0.9772Φ=，(3)0.9987Φ=)
14. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一
批产品里随机取出9 个，测得直径平均值为15.1 mm
，
若已知这批滚珠直径的方差为2
0.06，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间0.976( 1.96)u =
3. 设(3,4)X N ,试求（1）(59)P X <<； （2）
(7)
P X >。

(已知
(1)0.84
Φ=，(2)0.9772Φ=，(3)0.9987
Φ=)
4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度
(32.5,1.21)X N ，今从这批砖中随机地抽取了
9
块，测得抗断强度（单位：2
/kg cm ）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格
0.976(0.05, 1.96)u α==？
四、证明题（本题6分） 设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．
证明：
))
(1)(()()()()()()(A P B P B P A P B P AB P B P B A P -=-=-=
)()(B P A P =
所以B A ,也相互独立． 四、证明题（本题6分）
设A ,B 是两个随机事件，试证：
P B P A P B A P A P B A ()()()()()=+．
证明：由事件的关系可知
B A AB A A B BU B +=+==)(
而∅=))((B A AB ，故由加法公式和乘法公式可知
P B P AB P AB P A P B A P A P B A ()()()()()()()
=+=+
证毕． 四、证明题（本题6分）
设
321,,ααα是线性无关
的，证明,
313221,,αααααα+++也线性无关。

证明： 设有一组数321,,k k k ，使得
)()()(313322211=+++++ααααααk k k 成立， 即0)()()(332221131
=+++++αααk k k k k k ，由
已知321,,ααα线性无关，故有
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+0
00
32
2131k k k k k k 该方程组只有零解，得
321===k k k ，故
313221,,αααααα+++是线性无关的．
四、证明题（本题6分） 设
向
量
组
321,,ααα线性
无
关
，
令
112
22332,32
,4
βααβααβαα
=+=+=-，证明向量组123,,βββ线性无关。

四、证明题（本题4分）
设n 阶矩阵A 满足O I A I A =+-))((，则A 为可逆矩阵
证明： 因为
0))((2=-=+-I A I A I A ，
即
I A =2
所以，A 为可逆矩阵．
四、证明题（本题6分）
设
321,,ααα是线性无关
的，证明,
313221,,αααααα+++也线性无关。

证明： 设有一组数321,,k k k ，使得
0)()()(313322211=+++++ααααααk k k
成立，即
0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，由已
知321,,ααα线性无关，故有
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+0
0032
2131k k k k k k 该方程组只有零解，得
321===k k k ，故
313221,,αααααα+++是线性无关的．
四、证明题（本题6分） 设
A
,
B
为随机事件，试证：
P A P A B P AB ()()()=-+
证明：由事件的关系可知
A A U A
B B AB AB A B AB
==+=+=-+ ()()
而()A B AB -=∅ ，故由概率的性质可知
P A P A B P AB ()()()=-+
五、证明题（本题6分）
15. 设随机事件A B 、相互独立，试证：,A B 也相互独立。

四、证明题（本题6分）
设
A B 、是n 阶对称矩阵，试证：A B +也是对称矩阵。