大学物理静电场习题

解：介质中的电位移矢量的大小 由有电介质的高斯定理
DS 0S
D 0 4.5 105 C m2
S
D 0rE E, D ε0E P
介质中的电场强度和极化强度的大小分别为
E D 2.5106 V m1
0 r
P D 0E 2.3105 C m2
D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。
若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带 电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面
密度' = ）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板
和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。
8
解：在带电平面附近
E1
2 0
nˆ
nˆ 为沿平面外法线的单位矢量；
圆盘激发的电场:
E2
荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度
（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上 单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
分析：（1）在两导线构成的平面上
任一点的电场强度为两导线单独在
此所激发的电场的叠加。
（2）由F = qE，单位长度导线所受 的电场力等于另一根导线在该导线
o
p
x
x
处的电场强度来乘以单位长度导线
所带电的量，即：F = E应该注意：
式中的电场强度E是除去自身电荷外
r0
其它电荷的合电场强度。
3
解：（1）设点P在两导线构成的平面上，E+、E-分别表示正、负
带电导线在P点的电场强度，则有
E
E
E
E
E
E
p
ox
x
p
ox
x
p
o x
x
r0
r0
r0
E
E
（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B
内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
分析：（1）根据静电感应和静电平衡
时导体表面电荷分布的规律，电荷QA 均匀分布在球A表面，球壳B内表面带
电荷-QA ,
R3
外表面带电荷QA+ QB，电荷在导体表面 均匀分布（图(a)），由带电球面电势的 B 叠加可求得球A和球壳B的电势。
场方向相反，介质内的电场减弱。由
于极板间的距离d不变，因而与电源
相接的导体极板将会从电源获得电荷，
以维持电势差不变，并有
U
Q
(d )
Q
0S
0 r S
20
设极板带电 Q 0S
两板电势差
U E无 电 介 质(d ) E 有 电 介 质
U 0 (d ) 0
0
0 r
U Q (d ) Q
2 0
1
x x2
r2
nˆ
例12.4
它们的合电场强度为
E
E1
E2
2 0
x nˆ x2 r2
在圆孔中心处x = 0，则 E = 0
在距离圆孔较远时x>>r，则
E
20
1 nˆ nˆ 1 r 2 x2 20
上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布 的影响可以忽略不计。
9
5.如图所示，一厚度为b的“无限大”带电平板，其电荷体密
度分布为 = kx（0 x b），式中k为一常数，求：
（1）平板外两侧任一点P1 和P2处的电场强度； （2）平板内任一点P处的电场强度； （3）场强为零的点在何处？
分析：平板外两侧电场分布
在带电平板中取一平面，
电荷面密度(x)
P1
P
P2
E (x) 2 0
两侧均匀场,方向 与平面垂直
0
x
x
可知：平板外两侧电场仍为均匀电
和球壳B的电势分别为
UA
QA
4 0R1
QA
4 0R2
QA QB
4 0R3
5.6 103V
UB
QA QB
4 0R3
4.5 103V
QA QB
R1
o
R2
A QA
QA
(a)
13
（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、 外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势 通常取为零）。球壳B接地后，外表面的电荷 与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电 -QA （图（b））。
R1
R3
R2
A qA
B
qA
解： （2）将球壳B接地后断开，再把球A接地， (c)
设球A带电qA，球A和球壳B的电势为
UA
qA
4 0R1
qA
4 0R2
qA QA
4 0R3
0
UB
qA QA
4 0R3
解得
qA
R1R2
R1R2QA R2R3
R1R 3
2.12 10 8 C
UB 7.92 102 V
它沿x、y轴上的二个分量为：
dEx=－dEcos , dEy=－dEsin
d Ex
R
d
O
x
dE dEy
对各分量分别求和
Ex
0 40R
2
0
co
s2
d
0 4 0 R
E y
0 4 0 R
2
sin d(sin ) 0
0
故O点的场强为：
E
Exi
0 4 0 R
i
2
2.两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电
2
2
11
6.在一半径为R1 =6.0 cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳 B。已知球壳B的内、外半径分别为R2 =8.0 cm，R3 =10.0 cm。设 球A带有总电荷QA= 3.010-8C ，球壳B带有总电荷QB= 2.010-8C。 （l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；
示为
UA
qA
4 0R1
qA
4 0R2
qA QA
4 0R3
qA QA
R1
R3
R2
A qA
B
qA
由 UA= 0 可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加， (c)
可求出球A和球壳B的电势。
14
此时球A的电势可表示为
qA QA
UA
qA
4 0R1
qA
4 0R2
qA QA
4 0R3
由 UA= 0 可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面 电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。
行插入一面积相同、厚度为 ( < d )，相对电容率为r的电介质板；
（3）将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容 C，极板上的电荷Q和极板间的电场强度E 。
分析：电源对电容器充电，电容器极
板间的电势差等于电源端电压U。插
入电介质后，由于介质界面出现极化
电荷，极化电荷在介质中激发的电场
与原电容器极板上自由电荷激发的电
E
2 0
1 x
1 r0
x i
2 0
r0 x(r0
i x)
E
E
E
2 0
1 x
1 x r0
i
2 0
r0
i
x( x r0 )
E
E
E
2 0
1 x
r0
1
x
i
2 0
r0 x(r0
i x)
4
E
E
p
ox
x
r0
E
E
p
ox
x
r0
E
E
p
o x
x
r0
E
E
E
ΦOABC ΦDEFG 0
C
o
x
请分析： ΦABGF ?
ΦABGF E d S
E
D
z
[(E1 kx)i E2 j )][d S j ]
SABGF
SABGF
E2 d S|dSSABGF E2a2
i j 0, j j 1
6
E (E1 kx)i E2 j
y
A
B
考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方
0S
0 r S
S
d
r
C q 0rS U d r(d )
21
相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块 导体板，由于极板上的自由电荷和插人导体板上的感应电荷 在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将 会从电源获得电荷，使间隙中的电场E增强，以维持两极板间 的电势差不变，并有
向相反，且该两面的电场分布相同，
F
G
故有
C
ΦCDEO ΦABGF E2 a 2
同理
o
x
E
D
z
ΦAOEF E d S [E1i E2 j ][d S i ] E1a2
SAOEF
SAOEF
Байду номын сангаас
ΦBCDG E d S [(E1 k a)i E2 j ][d S i ] (E1 k a)a2
大学物理
习题讨论课
真空中的静电场 静电场中的导体与电介质
1
1. 半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为= 0cos，式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
解：在任意角 处取微小电量dq =dl，它在O点
y
产生的场强为：
dq
dE
dq
4 0R2
dl 4 0R2
0co s d 4 0 R
20
1 x
r0
1
x
i
20
r0
i
x(r0 x)
（2）设F+、F-分别表示正、负带电
E
E
导线单位长度所受的电场力，则有
F
E
2 2 0r0
i
F
E
2 2 0r0
i
o
x
相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。 r0
5
3.边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和zx平
QA QB
R1
A
o
QA
R2
QA
(a)
12
（l）求球壳B内、外表面上所带的电 荷以及球A和球壳B的电势
外表面带电荷QA+ QB，电荷在导体表面 均匀分布（图(a)），由带电球面电势的
R3
叠加可求得球A和球壳B的电势。
解：（1）由分析可知，球A的外表面带电 B 3.010-8C，球壳B内表面带电-3.010-8C， 外表面带电5.010-8C。由电势的叠加，球A
分析：薄金属板A、B与金属盒一 起构成三个电容器其等效电路图如 图 （b）所示，由于两导体间距离 较小。电容器可视为平板电容器， 通过分析等效电路图可求得A、B 间的电容。
16
解：（1）由等效电路图（b）可知
C
C2 3
C1
C2 C3 C2 C3
C1
由于电容器可视作平板电容器，
且d1=2d2=2d3
C2 C3 2C1
因此A、B间的总电容 C 2C1
（2）若电容器的一个引脚与屏蔽
盒相碰，相当于C2（或者C3）极板 短接，其电容为零，则总电容
C 3C1
17
8.一平板电容充电后极板上电荷面密度为0=4.510-5Cm-2。现将
两极板与电源断开，然后再把相对电容率为r=2.0的电介质插人两
极板之间。此时电介质中的D、E和P各为多少？
导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有
的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，
以建立新的静电平衡。
15
7.由两块相距0.50 mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器 被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距 0.25 mm，金属板面积为30mm40mm。求：（1）被屏蔽后电 容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与 金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。
面 ，立方体的 一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度
E (E1 kx)i E2 j 的非均匀电场中，求电场对立方体各表面
及整个立方体表面的电场强度通量。
y
解 ： 参 见 图 。 由 题 意 E 与 Oxy 面 平行，所以对任何与Oxy面平行 的立方体表面。电场强度的通量
A F
B G
为零:
再将球A接地，球壳内表面带电-QA？
R1
R3
R2
A QA
B
QA
断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A
(b)
的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新
分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可
设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上电荷
的分布规律，可知球壳B内表面感应qA，外表
面带电qAQA（图（c））。此时球A的电势可表
场，方向与板面垂直！
b
10
解：（1）平板外两侧任一点P1 和P2处 的电场强度E
2SE
1
0
b
S d
0
x
Sk
0
b
0
xd
x
P1
P
s
0x
P2
x
kSb2
2 0
E kb2
4 0
（2）平板内任一点P处的电场强度E'
b
(E
E)S
kS
0
x
0
xd
x
kSx2
2 0
E k (x2 b2 )
2 0
2
（3）场强为零的点在何处？ x2 b2 0 x b ,(0 x b)
d U m Eb 2.22104 m
要制作电容为0.047F 的平板电容器，其极板面积
S Cd 0.42 m2
0 r
显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通 常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。
19
10.有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d。现将该电容 器接在端电压为U的电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平
18
9.某介质的相对电容率r=2.8，击穿电场强度为18×106
V·m-1 ，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容 为0.047 F，而耐压为4.0 kV的电容器，它的极板面积至 少要多大。 解：介质内电场强度 E Eb 18106 V m1
电容耐压Um = 4.0 kV，因而电容器极板间最小距离
SBCDG
SBCDG
因此，整个立方体表面的电场强度通量
Φ Φ ka3
7
4.一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一
半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的 电场强度。
分析：用补偿法求解
利用高斯定理求解电场强度只适用于 几种非常特殊的对称性电场。本题的 电场分布虽然不具有这样的对称性， 但可以利用具有对称性的无限大带电 平面和带电圆盘的电场叠加，求出电 场的分布。