2020年河北省石家庄市藁城第三中学高三数学文测试题含解析

2020年河北省石家庄市藁城第三中学高三数学文测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知且, 当时均有, 则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
2. 已知F为椭圆的左焦点，A是椭圆的短轴的上顶点，点B在x轴上，且AF⊥AB，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+my+3=0相切，则m的值为（）
A．±3 B．C．±D．3
参考答案：
C
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】求得椭圆的焦点坐标，设B，则圆心C（，0），半径为r=，利用勾股定理求得x
的值，利用点到直线的距离公式，即可求得m的值．
【解答】解：由题意可知：椭圆+=1的左焦点（﹣1，0），设B（x，0），
由AF⊥AB，且A，B，F三点确定的圆C，圆心C（，0），半径为r=，
在△AOC中，由丨AO丨2+丨OC丨2=丨AC丨2=r2，即（）2+（）2=（）2，解得：x=3，
则C（1，0），半径为2，
由题意可知：圆心到直线x+my+3=0距离d==2，解得：m=±，
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
3. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
试题分析：令,则,因由可得因
,即.又,故函数
是偶函数,所以当时,,即函数
是单调递增函数,故由可得,即,
解
之得,故应选A.
考点：函数的单调性和奇偶性及不等式的解法等知识的综合运用.
【易错点晴】本题以可导函数满足的不等式为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何将不等式进行等价转化为.再依据题设条件先构造函数,将问题转化为证明函数是单调递增函数,从而将不等式化为,从而使得问题最终获解.
4. 若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值
为（）
参考答案：
B
5. 下面给出四个命题：
①若平面//平面，是夹在间的线
段，若//，则；
②是异面直线，是异面直线，则一定是异面直线；
③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面垂直；
④平面//平面，，//，则；
其中正确的命题是（）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①④
参考答案：
D
6. 已知集合，，则
A. B. C. D.
参考答案：C
7. 在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）
A．B．C．2D．2
参考答案：
B
【考点】余弦定理．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．
【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，
∴AB?AC?sinA=，即×2×AC×=，
解得：AC=1，
由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA=1+4﹣2=3，
则BC=．
故选：B．
8. 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）
．第一象限．第二象限．第三象
限．第四象限
参考答案：
D
，所以对应点位，在第四象限，选D.
9. 在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】CF：几何概型．
【分析】设取出的两个数为x、y，则可得“0≤x≤1，0≤y≤1”表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1.5表示的区域为直线x+y=1.5下方，且在0≤x≤1，
0≤y≤1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案．
【解答】解：设取出的两个数为x、y，
则有0≤x≤1，0≤y≤1，其表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，
而x+y＜1.5表示的区域为直线x+y=1.5下方，且在0≤x≤1，0≤y≤1表示区域内部的部分，易得其面积为1﹣=，
则两数之和小于1.5的概率是．
故选：D．
10. 曲线与直线有两个不同的交点，实数k的范围是()
A. (，+∞）
B. (，
C. (0，)
D. (，
参考答案：
B
本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用。

根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A（2，4），B（-2，1），，又直线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即
，解得k=,
当直线l过B点时，直线l的斜率为,则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为(，
,故选B.
解决该试题的关键是理解曲线表示的图形，结合数形结合思想得到结论。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，则实数a的值为．
参考答案：
考点：复数的基本概念．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用纯虚数的定义即可得出．
解答：解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，
∴a2﹣3a+2=0，a﹣2≠0，
解得a=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．
12. 已知向量a=（2,6），b=(－1，λ) ，若a∥b，则λ=
参考答案：
－3
13. 已知方程有两个实数根，且一个根大于1，一个根小于1，则实数取值范是
____________。

参考答案：
(3，)
14. 对于函数f （x ）=x|x|+px+q ，现给出四个命题： ①q=0时，f （x ）为奇函数
②y=f（x ）的图象关于（0，q ）对称
③p=0，q ＞0时，方程f （x ）=0有且只有一个实数根 ④方程f （x ）=0至多有两个实数根 其中正确命题的序号为 ．
参考答案：
①②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①若f （x ）为奇函数，则f （0）=q=0，反之若q=0，f （x ）=x|x|+px 为奇函数； ②y=x|x|+px 为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论； ③当p=0，q ＞0时，x ＞0时，方程f （x ）=0的无解，x ＜0时，f （x ）=0的解为x=
；
④q=0，p=1时，方程f （x ）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f （x ）=0有3个实数根． 【解答】解：①若f （x ）为奇函数，则f （0）=q=0，反之若q=0，f （x ）=x|x|+px 为奇函数，所以①正确．
②y=x|x|+px 为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px 图象上下平移可得f （x ）=x|x|+px+q 图象，即得f （x ）的图象关于点（0，q ）对称，所以②正确．
③当p=0，q ＞0时，x ＞0时，方程f （x ）=0的无解，x ＜0时，f （x ）=0的解为x=﹣（舍去正
根），故③正确．
④q=0，p=﹣1时，方程f （x ）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f （x ）=0有3个实数根，故④不正确． 故答案为：①②③
【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
15. 设
为单位向量，非零向量
，若
的夹角为
，则
的最大值等于
．
参考答案：
16. 在
展开式中含
的项的系数
参考答案：
略
17. 定义平面中没有角度大于180°的四边形为凸四边形，在平面凸四边形ABCD 中，
，
，
，
，设CD =t ，则t 的取值范围是______________.
参考答案：
在△ABD 中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2， 由余弦定理得BD 2=AD 2+AB 2﹣2AD?ABcosA=2．
∴DB=，即△ABD 为等腰直角三角形，角ABD 为九十度． ∴角DBC 为三十度，
所以点C 在射线BT 上运动（如图），要使ABCD 为平面四边形ABCD ，
当DC ⊥BT 时，CD 最短，为，
当A ，D ，C 共线时，如图，在△ABC 2中，由正弦定理可得
解得
∴设CD=t ，则t 的取值范围是
.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为
，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，
（万元）.每件商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售
完.
（Ⅰ）写出年利润
（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
参考答案：
19. 设函数
（1）求函数的单调区间； （2）对于两个函数
和
及区间
，若存在
使得
成立，则称区间是函数
和的“非疏远区
间”
，若区间
是函数和
的“非疏远区
间”，求的取值范围.
参考答案：
①时 在
上单调递减
②
③
略
20. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分. 设是数列
的前项和，对任意
都有
成立，
(其中、、是常数) ．
（1）当，，时，求；
（2）当，
，
时，
①若
，，求数列
的通项公式；
②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.
如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有
，且．若存在，求数列的首项的所
有取值构成的集合；若不存在，说明理由．
参考答案：
（1）当，，时，由得
①
用去代得，，②
②—①得，，， (2)
分
在①中令得，，则0，∴，
∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴=…….5分
（2）当，，时，
，③
用去代得，，④
④—③得，，⑤…….7分
用去代得，，⑥
⑥—⑤得，，即，…….8分
∴数列是等差数列.∵，，
∴公差，∴……10分
易知数列是等差数列，∵，∴.
又是“数列”，得：对任意，必存在使
，
得，故是偶
数，…….12分
又由已知，，故一方面，当时，，对任意，
都有
.……. 13分
另一方面，当时，，，
则，
取，则，不合题意. …….14分
当时，，，则
，…….15分
当时，，，
，…….16分
又，∴或或或…….17分
所以，首项的所有取值构成的集合为
…… 18分
21. （12分）在△ABC中，已知
（Ⅰ）求sin A的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积，求BC的长
参考答案：
解析：（Ⅰ）由········2分由
················4分
∴
················6分
（Ⅱ）由
又∵sin
∴=65 ·················8分
又∵∴
∴
∴
∴················10分
∴················12分
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为
y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；
（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y ﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；
（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，
设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，
∴+==．。