2014届高三数学一轮复习精讲精练：6.1基本不等式

2014届高三数学一轮复习精讲精练：6.1基本不等式
1.
2. 与相应函数、方程的联系和相互转化。

3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。

同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。

第1课 基本不等式
【考点导读】
1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。

2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。

【基础练习】 1.“a >b >0”是“ab <
22
2
a b +”的充分而不必要条件
(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件) 2.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,12
2
2
2
2
2
的最小值为132
- 3.已知,x y R +
∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为161
4.已知lg lg 1x y +=，则52x y
+的最小值是2 【范例导析】
例1.已知54x <，求函数1
4245
y x x =-+
-的最大值.
分析：由于450x -<，所以首先要调整符号. 解：∵54
x <∴540x -> ∴y=4x-2+145x -=154354x x
⎛⎫--++ ⎪-⎝
⎭
≤-2+3=1 当且仅当15454x x -=-，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max
1
y
=.
例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，
且1a b +=x y
，求x+y 的最小值。

（2） 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解. 解:(1)法一：直接利用基本不等式：
a b bx ay
x +y =(x +y)(+)=a +b ++
x y y x
≥
a +
b +2ab
当且仅当
ay bx
=x y a b +=1x y
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩，即
x =a ab
y =b ab
⎧⎪⎨⎪⎩
法二：
由a b +=1x y 得ay
x =
y -b
∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由ay y -b >0得y-b>0 ∴ x+y≥2
ab a +b
当且仅当
ab
=y -b y -b a b +=1x y
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩，即
y =b ab
x =a ab
⎧⎪⎨⎪⎩时，等号成立
（2）法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x x
x
y ． 注意到162
64
)2(22
64
)2(=+⋅
+≥+++x x x x ．可得，18≤xy ．
当且仅当2
642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入30
2=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．
法二：+
∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：30
22
≤+⋅xy xy
解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略． 点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.
【反馈练习】 1.设a ＞1,且2
log (1),log (1),log (2)
a
a a m a
n a p a =+=-=,则p n m ,,的
大小关系为m ＞p ＞n 2.已知下列四个结论： ①若
,
,R b a ∈则
22=⋅≥+b
a a
b b a a b ； ②若
+
∈R y x ,,则
y
x y x lg lg 2lg lg ≥+；
③若
,
-∈R x 则
44
24-=⋅-≥+
x
x x x ； ④若
,
-∈R x 则
2
22222=⋅≥+--x x x x 。

其中正确的是④
3.已知不等式1()()9a
x y x y
++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为6
4.（1）已知：0>>x y ，且：1=xy ，求证：2
22
2
≥-+
y
x y
x ，
并且求等号成立的条件．
（2）设实数x ，y 满足y +x 2=0，0<a <1，求证：
()
x y a log a +a ≤1log
28
+
a 。

解： （1）分析：由已知条件+
∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy
y x 2
≥+，故猜想先将所求证的式子进行变
形，看能否出现)
(1
)(y x y x -+-型，再行论证． 证明：,
1.
0,0=>-∴>>xy y x y x 又
y x xy y x y x y x -+-=-+∴2)(222y
x y x -+
-=2
)(.22)(2)(2=-⋅-≥y x y x 等号
成立
当且仅当)
(2
)(y x y x -=-时．.
4,2,2)
(222
=+=-=-∴y x y x y x ,6)(,12=+∴=y x xy .
6=+∴y x 由以上得2
2
6,226-=+=
y x
即当2
2
6,226-=+=
y x 时等号成立．
说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式． （2）∵ y
x
a a +≥8
1)21x (212
x x y
x 22
a 2a
2a 2+---+=
=，
81)21x (212
+--≤8
1
，0<a<1。