函数的奇偶性与周期性-专项训练-2025届高三数学一轮复习(含解析)

2025高考数学一轮复习-2.3-函数的奇偶性与周期性-专项训练
【A级　基础巩固】
一、单选题
1．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝2x B．y＝x
C．y＝|x| D．y＝－x2＋1
2．设函数f(x)＝x－2
x＋2
，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－2)－1 B．f(x－2)＋1
C．f(x＋2)－1 D．f(x＋2)＋1
3．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(－1)＝－2，则f(2 025)＝( )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
4．已知函数f(x)＝sin x＋x3＋1
x
＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝( )
A．3 B．5
C．6 D．7
5．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)
B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)
C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)
D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)
6．若函数f(x)＝sin x·ln(mx＋1＋4x2)的图象关于y轴对称，则m＝( ) A．2 B．4
C．±2 D．±4
7．已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是( )
A.(12，＋∞)
B.(－∞，12)
C.(－∞，12)∪(34，＋∞)
D.(0，12)∪(34，＋∞)
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( )
A．0 B．－1
C．－2 D．2
二、多选题
9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
10．已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )
A．这个函数有两个单调递增区间
B．这个函数有三个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为4
B．f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．f(x)的图象关于点(2,0)对称
D．f(x)在(－5,5)内至少有5个零点
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是( )
A．f(2 021)＝0
B．2是f(x)的一个周期
C．当x∈(1,3)时，f(x)＝(1－x)3
D．f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)
三、填空题
13．已知函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，则a的值等于_________.
14．已知奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为_________.
15．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝_7__.－2≤x≤0时，f(x)＝_________.
16．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝__________.
17．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f(12)＝0，则f(x)>0的解集为__________________.
【B级　能力提升】
1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)<f(－x2)
D．f(－x1)与f(－x2)的大小不能确定
2．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则( )
B．f(x)是周期函数
C．f(x＋3)为奇函数
D．f(x＋5)为偶函数
3．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x －1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
4．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
5．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝__________.
6．函数f(x)＝ax＋b
x2＋1
是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(12)＝25.
(1)求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求当x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
参考答案
【A级　基础巩固】
1．[解析]　A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B 选项，由y＝x的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.
2．[解析]　化简函数f(x)＝1－
4
x＋2
，分别写出每个选项对应的解析式，利用
奇函数的定义判断．由题意得，f(x)＝1－
4
x＋2
.对A，f(x－2)－1＝－
4
x
是奇函数；
对B，f(x－2)＋1＝2－4
x
，关于(0,2)对称，不是奇函数；对C，f(x＋2)－1＝－
4
x＋4
，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数；对
D，f(x＋2)＋1＝2－
4
x＋4
，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，
不是奇函数．故选A.
3．[解析]　依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(－1)＝－2，则f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－f(－1)＝2.
4．[解析]　函数f(x)＝sin x＋x3＋1
x
＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－
1
x
＋3＋sin
x＋x3＋1
x
＋3＝－sin x－x3－
1
x
＋sin x＋x3＋
1
x
＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)
＝6－(－1)＝7.故选D.
5．[解析]　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．6．[解析]　因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，又y＝sin x为奇函数，所以y＝ln(mx＋1＋4x2)为奇函数，即ln[－mx＋1＋4·(－x)2]＝－ln(mx＋1＋4x2)，解得m＝±2.故选C.
7．[解析]　显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－
1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>3
4
或a<
1
2
，故选C.
8．[解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)．又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以
f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a
2
＝1，解得a＝－2，
所以a＋b＝－2.
二、多选题
9．[解析]　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．
10．[解析]　根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选BC.
11.[解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，但f(x)的最小正周期不一定为4，如f(x)＝sin(3π2x)，满足f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝sin[3π2(x＋2)]＝sin (3π
2
x＋3π)＝－sin(3π2x)＝－f(x)，而f(x)＝sin(3π2x)的最小正周期为43，故A错误；因为f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；由f(x＋4)＝f(x)，及f(x)为奇函数可知f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(x)的图象关于点(2,0)对称，故C正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，故f(－2)＝－f(2)＝0，f(－4)＝－f(4)＝0，所以在(－5,5)内f(x)至少有－4，－2,0,2,4这5个零点，故D正确．故选BCD.
12．[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；
f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；
∵当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，
当x∈(1,3)时，2－x∈(－1,1)，
f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；
易知当x∈(0,2)时，f(x)>0，
∵f(x)的最小正周期是4，
∴f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正确．
三、填空题
13．[解析]　由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f(x)＋f(－x)＝0，由此方程求出a的值．函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x －2－x lg a＋2－x－2x lg a＝0，即2x＋2－x－(2x＋2－x)lg a＝0，∴lg a＝1，∴a＝10.
14．[解析]　由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.
15．[解析]　因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.
16．[解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2)．
∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
17．[解析]　由已知可构造y＝f(x)的示意图象，
所以f(x)>0的解集为(－12，0)∪(12，＋∞).
【B级　能力提升】
1．[解析]　因为x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)在(0，＋∞)
上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．
2．[解析]　因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即
f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期
为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝
f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确，故选BD.
3．[解析]　因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，
所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)>0，
当x∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，
所以由xf(x－1)≥0可得Error!
或Error!或x＝0.
解得－1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D.
4．[解析]　因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝
f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，
得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)
＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1
－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝
－3，故选A.
5．[解析]　解法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶
函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2
－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
解法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，所以－(a2－2)＝2a－12，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
解法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，
所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
6．[解析]　(1)若函数f(x)＝ax＋b
x2＋1
是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，则f(－x)
＝－ax＋b
x2＋1
＝－f(x)＝－
ax＋b
x2＋1
解得b＝0，
又∵f(12)＝25.
∴
1
2
a
(1
2)2＋1
＝
2
5
，
解得a＝1，
故f(x)＝
x
x2＋1
.
(2)证明：任取区间(－1,1)上的两个实数m，n，且m<n，则f(m)－f(n)＝
m
m2＋1
－
n
n2＋1
＝
(m－n)(1－mn)
(m2＋1)(n2＋1)
.
∵m2＋1>0，n2＋1>0，m－n<0,1－mn>0，
∴f(m)－f(n)<0，
即f(m)<f(n)．
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
7．[解析]　(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即在f(－x)＝f(x＋2)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.
当x∈[－1,0)时，
即－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.
故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.
当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.
从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.。