2018年福建漳州市普通高中毕业班质量检查试卷

2018年福建漳州市普通高中毕业班质量检查试卷
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知集合{}30,2,1,0,11x A
x B x +⎧⎫==--⎨⎬+⎩⎭
…，则A
B
的子集个数为
（A ）1
（B ）2
（C ）3 （D ）4
(2) 已知i 是虚数单位，且()1i 7i
m n +=
+（m n ∈R ,），则i 2i
m n m n +-的虚部等于 （A ）
17
（B ）
314
（C ）1
5
（D ）3
5
(3) 已知命题4:0,4
p x
x x ∀>+
>，则p ⌝为 （A ）4:04
p x x x
⌝∀+，剟
（B ）4:04
p x x x
⌝∃+
，剟 （C ）4:04
p x x x
⌝∃
>+
=，
（D ）4:04
p x x x
⌝∃
>+
，…
(4) 某市组织了一次高三调研考试，考后统计的数学成绩()80,100N ξ
，则下列说法中
不正确的是
（A ）该市这次考试的数学平均成绩为80分
（B ）分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 （C ）分数在110以上的人数与分数在50分以下的人数相同 （D ）该市这次考试的数学成绩的标准差为10 (5) 已知圆锥曲线2
2
1m x y
+=的一个焦点与抛物线2
8x
y
=的焦点重合，则此圆锥曲线的离
心率为
（A ）2
（B 3（C 2
（D ）不能确定
(6) 某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是
该几何体俯视图的是
(7) 执行右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值是
（A ）2
017
（B ）1008 （C ）3024 （D ）3025
(8) 若将函数
()co s sin f x x x
=-的图象向右平移m 个单位后恰好与
函数()
y f x '=-的图象重合,则m 的值可以为
（A ）π4 （B ）
π2
（C ）
3π4
（D ）π
(9) 我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”：在下雨时，用一个圆台形的天池
盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量约为
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸，1寸约等于
33m m
）
（A ）33m m （B ）66
m m
（C ）99
m m
（D ）132
m m
(10) 已知
,,a b c
分别是A B C △的内角
,,A B C
所对的边，点M
为A B C △的重心．若
33
a M A
b M B M C ++
=0
，则C
=
（A ）
π4
（B ）
π2
（C ）
5π6
（D ）
2π3
(11) 过抛物线:C 2
8y
x
=的焦点作直线l 与C 交于A B ,两点，它们到直线3x =-的距离之和
等于7，则满足条件的l （A ）恰有一条 （B ）恰有两条
（C ）有无数多条
（D ）不存在
(12) 已知函数
2017
()sin f x x
x x
=--+，若π0,2θ
⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭,()()2
c o s
3s i n 320
f
m f m θθ++-->恒成立，则实数m 的取值范围是 （A ）1,3⎡
⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
（B ）1,3⎛
⎤
-∞-
⎥⎝
⎦
（C ）1,
3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
（D ）1
,3⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
（A ） （B ） （C ） （D ）
其中正确命题的个数为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． (13) 已知向量a ，b 满足2
⋅a b
=
，且b
=，则+a
b
在b 方向上的投影为 .
(14) 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：
甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名．
若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是 . (15) 已知函数2()ln f x x x a x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . (16) 在A B C △中，90
B A C
∠=，4
B C
=，延长线段B C 至点D ，使得4B C
C D
=，若
30
C A
D ∠=，则AD = .
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 前5项和为50，7
22a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，
131n n b S +=+.
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n c 满足1211
2
n n n
c c c a b b b +++⋅⋅⋅⋅+
=,n *∈N ，求122017c c c ++⋅⋅⋅+的值.
(18)（本小题满分12分）
漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0.5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资．
（Ⅰ）求雕刻师当天收入(单位：元)关于雕刻量n （单位：粒，n ∈N ）的函数解析式()f n ； （Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n （单位：粒），整理得下表：
以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．
（ⅰ）在当天的收入不低于276元的条件下，求当天雕刻量不低于270个的概率； （ⅱ）若X 表示雕刻师当天的收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望．
（19）（本小题满分12分）
如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱111A B C A B C -中，1A A B =
，四边形
11B C C B 为矩形，过1A C 做与直线1B C 平行的平面1A C D 交A B
于点D ．
（Ⅰ）证明：
C D A B ⊥；
（Ⅱ）若1A A 与底面111A B C 所成角为60o ，求二面角11
B A
C C --的余弦值．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆222
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>的离心率为
2
，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若圆2
2
:1O x y +=的切线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，线段A B 的中点为M ，求O M 的最大值．
B
C 1
A
C
A 1
1
D
（21）（本小题满分12分） 已知函数
()(3)e x
f x x a x =-+，a ∈R ． （Ⅰ）当1a
=时，求曲线()
f x 在点(2,
(2))f 处的切线方程；
（Ⅱ）当[0,e )a ∈时，设函数()
f x 在()1,+∞上的最小值为()
g a ，求函数()g a 的值域．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

(22)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，已知点P
(2,0)
，曲线C 的参数方程为
{
2
4,
4x t y t
==(t
为参数)．以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （Ⅱ）过点P 且倾斜角为π4
的直线l 交曲线C 于B A ,两点，求AB .
(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x x a x a =++-，a ∈R ． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）若不等式()5f x ≤的解集为A ，且2A ∉，求a 的取值范围．
2018年普通高中毕业班质量检查 理科数学试题答案及评分参考
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）D （3）D （4）B （5）A （6）D （7）D （8）B
（9）C
（10）D
（11）D
（12）A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． (13) (14)乙 (15) (16)
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）解: （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．
依题意得11
54550,2
622,a d a d ⨯⎧
+
=⎪⎨⎪+=⎩ 解得1
4
a =，3d =， ············································ 2分
所以1(1)31
n a a n d n =+-=+. ··············································································· 3分 当1n
=时，21314
b b =+=，
当2n ≥时，131n n b S +=+， 131n n b S -=+，
以上两式相减得13n n n b b b +-=，则14n n b b +=， ············································· 4分 又214b b =，所以14n n b b +=，n *∈N . ······························································· 5分 所以{}n b 为首项为1，公比为4的等比数列， 所以1
4
n n
b -=． ······································································································· 6分
（Ⅱ）因为
1211
2
n n n
c c c a b b b ++
+⋅⋅⋅⋅+
=，n *
∈N 当2n ≥时，
1211
21
n n n c c c a b b b --+
+⋅⋅⋅⋅+
=，
以上两式相减得
13n n n n
c a a b +=-=， 所以1
334
n n n c b -==⨯，2n ≥. ··········· 8分
当1n =时，
121
c a b =，所以1217c a b ==，不符合上式， ·································· 9分
31
[,)2+
∞7
所以122017c c c ++⋅⋅⋅+22016
73(444)=+++⋅⋅⋅+ ········································· 10分
2016
2017
4(14
)
734
3
14
-=+⨯
=+-. ······································ 12分
(18)解：（I ）当250n ≥时，()250 1.2 1.7(250) 1.7125f n n n =⨯+⨯-=-, 当250n <时，() 1.2f n n =, 所以 1.7125,250,
()()1.2,250
n n f n n n n -≥⎧=∈⎨
<⎩
N ． ·
························································· 4分 （II ）（ⅰ）设当天的收入不低于276元为事件A ，设当天雕刻量不低于270个为事件B , 由（I ）得“利润不低于276元”等价于“雕刻量不低于230个”，则()0.9P A =， 所以()()()
0.30.14|0.9
9
P
A B P B A P
A +=
=
=
． ···························································· 7分
（ⅱ）由题意得(210)252,(230)276,f f ==(250)300,(270)334,(300)385,f f f === X 的可能取值为252,276,300,334,385． 所以(252)0.1,(276)0.2,P X P X ==== (300)0.3,(
334)0.3,
(
3P X P X P X ======
································· 10分
X 的分布列为
()2520.1
2760.2
300
0.3334
0.3
38
E X ∴=⨯+⨯+
⨯+⨯+⨯=． ··································································································································· 12分 （19）解：（Ⅰ）连接1A C 交A C 于点E ，连接D E .
因为1B C ∥平面1A C D ，1B C ⊂平面1A B C ，平面1A B C I 平面1A C D D E =， 所以1B C D E ∥． ·········································································································· 2分 又因为四边形11A C C A 为平行四边形，
所以E 为1A C 的中点，所以E D 为1A C B △的中位线，所以D 为A B 的中点． 又因为A B C △为等边三角形，所以C D A B ⊥. ······················································· 4分 （Ⅱ）过A 作A O ⊥平面111A B C 垂足为O ，连接1A O ，设2A B =．
因为1A A 与底面111A B C 所成角为60o ，所以160A A O =o
∠．
在1R T A A O △
中，因为1A A =
所以1A O =
，3A O =．
因为A O ⊥平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ， 所以A O ⊥11B C .
又因为四边形11B C C B 为矩形，所以1B B ⊥11B C ，
因为11B B A A ∥，所以11B C ⊥1A A .
因为1A A A O A =I ，1A A ⊂平面1A A O ，A O ⊂平面1A A O ，
所以11B C ⊥平面1A A O ． 因为1A O ⊂平面1A A O ，所以11B C ⊥1A O .
又因为1A O =O 为11B C 的中点．
········································································································································· 7分
以O 为原点，以11,,O A O B O A uuu r uuu r uur
的方向为x 轴，y 轴，
z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.
则)10,0A ，()10,1,0C -，()0,0,3A ，()10,1,0B .
因为(
)
110A B A B ==uuu r uuuu r
，
所以()
3B
，1,,322D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
因为()
111,0A C A C ==
-
-uuu r uuuu r
，
所以()1,3C -,
(
)
1,1,3A B =-uuu r
，()110,2,0B C B C ==-uuu r uuuu r
，
()
1,
1,3A C =
--uuu r
，11,,322A D ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
uuur . ·
··························································· 8分 设平面1B A C 的法向量为(),,x y z =n ，
由100
A B B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r
uuu r
，n n
得300y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，
，
令x =
2z =，所以平面1B A C
的一个法向量为)
0,2=
n ．
B
C 1
A
C
A 1
B 1
D E
设平面11A C C 的法向量为(),,a b c =m ，
由11
10,0
A C A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uuuu r
uuu r
得030b b c ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，
令a =
3,1b c =-=，所以平面11A C C
的一个法向量为(
)
3,1=
-m ．10分
所以co s ,91
⋅=
=
n m n m n m
，
因为所求二面角为钝角，所以二面角11B A C C --
的余弦值为91
-
·········· 12分
（20）解：（I ）22
b
=，所以1b
=,
2
a
=
，解得2
a
=．
所以椭圆C 的标准方程
2
2
1
4
x
y
+=．·········································································· 4分 （II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)
M x y ，易知直线l 的斜率不为0，则设:l x
m y t
=+．
因为l 与圆O
1
=，即22
1t m
=+； ··············································· 6分
由22
44
x y x m y t
⎧+=⎨
=+⎩消去x ，得2
22
(4)240
m y m ty t +++-=，
则2222
2
2
=44(4)(4)16(4)480
m t t m
m
t ∆--+=-+=>，1
22
24
m t y y m
+=-+，
02
4m t y m
=-
+，0
02
44
t x m y t m
=+=
+，即2
2
4(
,)
4
4
t m t M
m
m
-
++， ························· 8分
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4(16)
(1)(16)
(
)(
)4
4
(4)
(4)
t m t t m m m
O M
m
m
m
m +++=+=
=
++++， ························· 9分
设2
4
x m
=+，则4
x
≥，2
2
2
2
(3)(12)
369112525136()8
16
16
x x O M
x
x
x
x
-+=
=-+
+=--+
≤
，
当8x
=时等号成立，所以O M
的最大值等于
54
． ················································ 12分
（21）解: 由题意得()(2)x
f x x e a
'=-+， ······································································· 1分
(Ⅰ)当1a
=时，()(2)1x
f x x e '=-+，所以(2)1
f '=，
又因为
2
(2)2
f e =-+，
则所求的切线方程为2
(2)2
y e x --+=-，即2
x
y e
--=． ······························· 4分
（Ⅱ）设()
()h x f x '=，则()(1)0
x
h x x e
'=->对于1x ∀>成立，
所以()h x 在(1,)+∞上是增函数，又因为[0,)a e ∈，则(1)0h e a =-+<，(2)0h a =≥，
所以()h x 在(1,)+∞上有唯一零点x m
=（(1,2]m ∈）． ············································ 6分
则函数
()
f x 在(1,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增，
因此当[0,)a e ∈时，函数()
f x 在(1,)+∞上的最小值为
()f m ． ······························ 8分
因为(2)0
m
m
e
a -+=，则(2)m
a m e
-=-，当[0,)a e ∈时，有(1,2]m ∈．
所以函数()
f x 有最小值
2
()(3)(2)(33)m
m
m
f m m e
m m e
m
m e
=---=-+-， ···· 10分
令2
()(33)m
m m m e
ϕ=-+-（(1,2]m ∈），
则2
()
()0m
m m m e
ϕ'=-+<在(1,2]上恒成立，所以()m ϕ在(1,2]上单调递减，
因为2
(2)
e
ϕ=-，(1)
e
ϕ=-，所以()m ϕ的值域为)2
,e e ⎡--⎣
， 所以()g a 的值域为)2
,e e ⎡--⎣
． ·················································································· 12分 （22）选修4—4：坐标系与参数方程 解: （Ⅰ）因为{
2
4,
4,
x t y t ==消t
得曲线C 的普通方程为2
4y x
=． ······································· 2分
c o s ,s i n
x y ρθρ
θ==，∴2
2
s in 4c o s ρθρθ=，
即曲线C 的极坐标方程为2
s in 4c o s ρθθ=． ························································· 5分 （Ⅱ）因为直线l 过点P
(2,0)
且倾斜角为
4
π
，
所以直线l
的标准参数方程为2,2
(2
x s s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），
····································· 7分 将其代入2
4y x
=
，整理可得2
160s --=， ·················································· 8分
2
()4160∆=-+⨯>，
设,A B 对应的参数分别为12,s s 则
12
16s s s s +==-，
所以12A B s s =-==
= ············· 10分
（23）解：(Ⅰ)因为1a =，所以()11f x x x =++-11x x +-+≥2=，
当仅当(1)(1)0x x +-≤时，即11x -≤≤时，()f x 的最小值为2． ···················· 5分 （Ⅱ）因为2A ∉，所以(2)5f >，即225a a ++->， ········································· 7分
当2a <-时，不等式可化为225a a ---+>，解得52
a <-
，所以52
a <-
；
当22a -≤≤时，不等式可化为225a a +-+>，此时无解；
当2
a>时，不等式可化为225
a a
++->，解得
5
2
a>，所以
5
2
a>；
综上，a的取值范围为
55
,,
22
⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．···················································10分。